葉偉楠，董吉洪

(1.中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機械與物理研究所，吉林 長春130033;2.中國科學(xué)院 研究生院，北京100039)

1 引 言

在空間相機中，主鏡不僅直接決定空間相機的光學(xué)性能，而且關(guān)系到空間相機的力學(xué)特性、熱穩(wěn)定性以及相機的制造難度和成本［1］。由于主鏡設(shè)計的重要性，國內(nèi)外的科研工作者為此傾注了大量精力。歐美先進國家已經(jīng)能夠制備口徑＞2 m的主鏡［2］，而國內(nèi)由于起步相對較晚，雖然也取得了一定的成果，但是相關(guān)研究都是針對口徑為250 ～1 000 mm 的主鏡［3-5］。對于更大口徑的主鏡，由于鏡體重量、支撐結(jié)構(gòu)及加工工藝等諸多因素的限制，難以達到鏡面面形精度的要求。為了提高主鏡的各方面性能，主鏡的輕量化設(shè)計是一個重要途徑。由于運載火箭能力以及航天器制造難度和成本等多方面的限制，航天器的有效載荷需要嚴格控制，所以減輕空間相機的主鏡及其支撐組件的重量，能夠降低發(fā)射的難度，提高升空的可行性。從另一個方面講，做地面試驗時主鏡受重力影響會導(dǎo)致面形精度下降，因此較輕的主鏡質(zhì)量有利于降低重力的影響，減小支撐結(jié)構(gòu)的設(shè)計難度。

主鏡的輕量化設(shè)計主要包括結(jié)構(gòu)設(shè)計和參數(shù)優(yōu)化。結(jié)構(gòu)設(shè)計主要是針對各種輕量化形式的對比和選擇，而在選定了某種輕量化形式以后，則需要對主鏡鏡體的具體結(jié)構(gòu)參數(shù)進行優(yōu)化設(shè)計，以達到性能最佳、質(zhì)量最輕等目的。目前，主鏡輕量化結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計多采用拓撲優(yōu)化法或有限元軟件法［6］，但這些方法有較大的局限性，不能同時對主鏡的支撐位置和結(jié)構(gòu)尺寸等關(guān)鍵參數(shù)進行全局的優(yōu)化設(shè)計。本文引入了基于Kriging 近似模型的多目標(biāo)遺傳優(yōu)化方法，對2 m 口徑SiC主鏡的輕量化結(jié)構(gòu)參數(shù)進行了全局優(yōu)化設(shè)計。

2 Kriging 近似模型的多目標(biāo)遺傳優(yōu)化方法

先考慮這樣一個問題，如圖1 所示，對于x∈［a，b］上的未知函數(shù)f(x) =y，可以通過檢測的方法得到f(t) =T，t為［a，b］上的任意值。為了求得f(x) 在定義域內(nèi)的最大或最小值，可以先檢測出均勻分布于［a，b］上的M個輸入值tn的輸出值Tn，然后對M個樣本點(tn，Tn) 用插值法求得函數(shù)FM(x) ，F(xiàn)M(x) 作為f(x) 的近似函數(shù)。只需求得FM(x) 的最大值FMmax(h) =H，然后將h帶入f(x) ，得到f(h) =H'，比較H和H'，如果誤差很小，則認為f(h) =H'為f(x) 的最大值; 如果誤差較大，則把(h，H') 作為第M+1 個樣本點求得新的插值函數(shù)FM+1(x) ，如此迭代下去，直到近似函數(shù)的最大值和原函數(shù)的檢測值近似相等，就可以認為使得近似函數(shù)取得最大值的輸入量同時使得原函數(shù)f(x) 取得了最大值，這是求單一輸入輸出量最優(yōu)解的常用方法。

圖1 f( x) 和其近似函數(shù)F( x)Fig.1 Curves of f( x) and its approximate function F( x)

上述求最優(yōu)解的方法如果擴展到多個輸入輸出量的復(fù)雜情況，就可以總結(jié)步驟如下:

(1) 抽樣，即隨機或按一定規(guī)律抽出一定數(shù)量的樣本點X，實際問題中的抽樣通過Isight 進行試驗設(shè)計來實現(xiàn)。樣本點越多，分布越均勻，就越能準確地描述整個樣本空間。樣本空間可按照其樣本點數(shù)量的有限性和無限性，分為有限樣本空間和無限樣本空間。譬如對0 ～10 間的數(shù)字抽樣，如果數(shù)字無最小單位量，則0 ～10 間可以抽出無數(shù)個樣本點，為無限樣本空間。但是如果最小單位量為1，則樣本點只有0 ～10 間的11 個整數(shù)，為有限樣本空間。

(2) 檢測或仿真分析，目的是得到樣本輸入量X的對應(yīng)輸出量Y。只有能夠通過檢測或仿真分析等手段得到對應(yīng)輸出量的問題才能用近似模型的方法求最優(yōu)解。

(3) 建立近似模型，也就是用數(shù)學(xué)工具建立輸入量集合X到輸出量集合Y的映射。這個映射能近似地反映所求問題的輸入輸出量之間的關(guān)系。

(4) 求近似模型的最優(yōu)解。根據(jù)建立映射所采用的數(shù)學(xué)模型，選擇合理的求解算法，得到近似模型的最優(yōu)解。

(5) 最優(yōu)解可靠性的判斷。通過檢測或仿真分析等手段得到近似模型最優(yōu)解輸入量Xm的實際輸出量Y'm，比較Y'm和Ym。對于有限樣本空間問題，Y'm=Ym，則Y'm為可靠的最優(yōu)解; 反之則不可靠，需要迭代重新求解。對于無限樣本空間問題，Y'm≈Ym，則Y'm為可靠的最優(yōu)解; 反之則不可靠，需要迭代重新求解。

(6) 迭代求最優(yōu)解。如果近似模型的最優(yōu)解被判斷為不可靠，則需要把新樣本點(Xm，Y'm) 加入到近似模型的建立中，修正近似模型的準確性。如此反復(fù)迭代修正，直到最優(yōu)解判斷為可靠為止。

圖2 給出了求解方法的大致流程。

圖2 近似模型方法尋優(yōu)流程Fig.2 Optimization process of approximate model method

該優(yōu)化思路具體到主鏡的輕量化結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計中，即通過試驗設(shè)計和仿真分析建立近似模型，然后對近似模型進行優(yōu)化求解，再采用迭代法修正近似模型的準確性以得到最佳的輕量化結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計。

為了能夠用數(shù)學(xué)模型準確地模擬實際問題，近似模型的建立方法十分重要。Kriging 模型是一種估計方差最小的無偏估計模型，它能夠提供一種精確的插值，同時能夠覆蓋整個試驗區(qū)域。與回歸分析相比，Kriging 模型更具優(yōu)勢［7］，它常能夠提供更好的全局預(yù)測。對于給定輸入條件，能夠確定輸出值的仿真試驗。對于全局的Kriging 模型，要求試驗設(shè)計能夠均勻地充滿樣本空間，傳統(tǒng)的試驗設(shè)計抽樣往往存在點堆積的問題［8］，而拉丁超立方試驗設(shè)計則是一種能相對均勻地填滿整個試驗區(qū)間的設(shè)計［9］，并且每個試驗變量水平只使用一次。Kriging 模型的優(yōu)化求解一般較為復(fù)雜，所以優(yōu)化算法常常采用不受數(shù)學(xué)求導(dǎo)和連續(xù)性限制的遺傳算法。遺傳算法是模擬達爾文生物進化論的自然選擇和遺傳學(xué)機理的生物進化過程的計算模型，是一種通過模擬自然進化過程搜索最優(yōu)解的方法。該算法主要特點是直接對結(jié)構(gòu)對象進行操作，不存在求導(dǎo)和函數(shù)連續(xù)性的限定，具有內(nèi)在的隱并行性和更好的全局尋優(yōu)能力;采用概率化的尋優(yōu)方法，能自動獲取和指導(dǎo)優(yōu)化的搜索空間，自適應(yīng)地調(diào)整搜索方向，不需要確定的規(guī)則［10］。

3 2 m 口徑SiC 主鏡輕量化結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計

為了驗證上述方法在主鏡輕量化結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化中的可行性，本文采用集成了拉丁超立方試驗設(shè)計、Kriging 近似模型和多目標(biāo)遺傳算法( NSGA II) 的工程優(yōu)化軟件ISIGHT，以2 m 口徑的SiC 材質(zhì)卡塞格林光學(xué)系統(tǒng)主鏡為例，對其輕量化結(jié)構(gòu)參數(shù)進行了優(yōu)化設(shè)計。

3.1 主鏡的技術(shù)指標(biāo)

主鏡材質(zhì)為SiC，口徑為2 m，球面鏡曲率半徑為4 m，要求鏡體質(zhì)量＜250 kg，重力作用下，要求主鏡面形精度PV≤0.1λ，RMS≤0.02λ，其中λ=632.8 nm。

3.2 主鏡的基本結(jié)構(gòu)設(shè)計

根據(jù)設(shè)計要求，SiC 主鏡直徑為2 000 mm，鏡面曲率半徑為4 000 mm。按卡塞格林光學(xué)系統(tǒng)的要求，主鏡中心開孔孔徑為400 mm。SiC 主鏡采用背部封閉式的單拱形狀，輕量化孔為三角形，背部面板直徑取1 800 mm，拱形面加強筋厚度取10 mm。采用18 點的背部支撐，支撐孔徑取80 mm。除上述已確定的設(shè)計參數(shù)，將主鏡鏡面厚度tf、背部面板厚度tb、中心厚h、筋板厚度tw、三角形輕量化孔邊長l、支撐內(nèi)圈半徑R1和支撐外圈半徑R2等7 個參數(shù)作為待定變量進行參數(shù)優(yōu)化。主鏡基本形狀如圖3 所示。

圖3 主鏡的基本形狀Fig.3 Basic shape of the primary mirror

3.3 主鏡輕量化結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化

主鏡優(yōu)化設(shè)計的目的是在某種特定的工況下尋求主鏡鏡面厚度tf、背部面板厚度tb、中心厚h、筋板厚度tw、三角形輕量化孔邊長l、支撐內(nèi)圈半徑R1和支撐外圈半徑R2等7 個設(shè)計變量的最佳組合，使得主鏡在面形精度PV 和RMS 滿足某預(yù)設(shè)指標(biāo)的前提下質(zhì)量m最小，或使得主鏡在質(zhì)量m小于某預(yù)設(shè)指標(biāo)的前提下面形精度PV 和RMS最優(yōu)。

依據(jù)前人的設(shè)計經(jīng)驗，主鏡在水平放置的情況下受重力影響最大，面形精度最差［11］; 豎直放置的情況下受重力影響最小，面形精度最好。雖然空間相機實際工作在微重力環(huán)境下，主要受溫度變化的影響，但是在空間遙感器發(fā)射升空前需要對相機做很多地面實驗和檢測，所以相機主鏡必須具有承受1g重力的力學(xué)能力。為了模擬相機在軌工作的狀態(tài)，在對主鏡做地面實驗和檢測時通常采用豎直放置，因此在做單鏡的設(shè)計分析時通常使重力場垂直于光軸方向［12］。

主鏡的基本形狀和仿真分析的工況作為優(yōu)化模型的固有屬性，相當(dāng)于前文所舉二維事例中的函數(shù)f(x) ，優(yōu)化過程中不能更改。主鏡的7 個參數(shù)相當(dāng)于事例中的輸入量x，主鏡質(zhì)量m、鏡面面形精度PV 和RMS 相當(dāng)于事例中的輸出量y，需要通過仿真分析求得試驗抽樣輸入量對應(yīng)的輸出量，然后建立近似模型，迭代求解。

為了提高求最優(yōu)解的效率，主鏡優(yōu)化采用有限樣本空間的方法。確定了7 個參數(shù)作為優(yōu)化的輸入量后，為了得到有限的樣本空間，需要規(guī)定各個參數(shù)的取值區(qū)間和最小單位量。將各參數(shù)的取值區(qū)間均分為10 等分，各得到11 個樣本點，0，1，2……10，然后對整體樣本空間通過拉丁超立方試驗設(shè)計進行樣本數(shù)為20 的抽樣。抽樣后將參數(shù)樣本進行CAD 建模，并利用仿真分析和面形參數(shù)擬合得到其質(zhì)量和面形精度參數(shù)，20 個抽樣的輸入輸出量對應(yīng)關(guān)系如表1 所示。

表1 20 個抽樣的輸入輸出量數(shù)據(jù)Tab．1 Input and output data of 20 samples

將表1 作為Database File 建立Kriging 近似模型。ISIGHT 計算出Kriging 插值系數(shù)后，能夠預(yù)測樣本空間內(nèi)任意輸入量對應(yīng)的輸出量，包括非抽樣點，并且能在給定任意6 個輸入量時，描述剩余單一輸入量和任意輸出量之間的函數(shù)關(guān)系。

按設(shè)計要求設(shè)定優(yōu)化的邊界條件質(zhì)量m＜250 kg，面形精度: PV≤0.1λ，RMS≤0.02λ，目標(biāo)函數(shù)為面形精度RMS 的最小值，采用NSGA-II 求近似模型在此邊界條件和優(yōu)化目標(biāo)下的最優(yōu)解。求出最優(yōu)解后，由于Kriging 近似模型的準確性未知，所以不能就此認定近似模型的最優(yōu)解為實際問題的最優(yōu)解，需要進行最優(yōu)解可靠性的判斷。本次主鏡的優(yōu)化設(shè)計采用的是有限樣本空間，所以判斷最優(yōu)解的可靠性時，首先需通過有限元仿真計算出輸入量對應(yīng)的實際輸出量RMS＇，然后比較實際輸出量RMS＇和預(yù)測輸出量RMS，如果相等，可認為Kriging 近似模型在樣本點附近準確性較高，求得的最優(yōu)解可靠，可判定為實際問題的最優(yōu)解。如果不相等則需要迭代修正近似模型的準確度，直至最優(yōu)解可靠。

如表2 所示，經(jīng)過5 次迭代后，主鏡輕量化結(jié)構(gòu)的參數(shù)達到了最優(yōu)，其中質(zhì)量m=243 kg，面形精度PV=25.7 nm，RMS=4.7 nm，均滿足設(shè)計指標(biāo)要求。表3 為最優(yōu)解參數(shù)的實際數(shù)值。

表2 迭代數(shù)據(jù)Tab．2 Iterative data

圖4 為近似模型在最優(yōu)解附近修正之后，各個參數(shù)對面形精度RMS 的影響曲線。

表3 最優(yōu)解參數(shù)Tab．3 Optimal design parameters

圖4 各個參數(shù)對面形精度RMS 的影響曲線Fig.4 Influence curves of each parameter on surface accuracy

4 結(jié) 論

基于Kriging 近似模型的多目標(biāo)遺傳優(yōu)化方法在航空、汽車、機械等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，但在光學(xué)系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計中卻未見采用，故本文做了這方面的嘗試。最終的優(yōu)化結(jié)果顯示: 此方法在主鏡的輕量化結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計中能有效地在邊界條件范圍內(nèi)全局地優(yōu)化多個參數(shù)，求得最優(yōu)解。優(yōu)化得到了質(zhì)量為243 kg 的2 m 口徑SiC 主鏡，面形精度達到了25.7 nm PV，4.7 nm RMS，輕量化率達到了84%。

由此設(shè)想，將主鏡設(shè)計的所有重要變量均參數(shù)化，如材料、主鏡形狀、輕量化孔形狀等，甚至可以與支撐結(jié)構(gòu)的主要設(shè)計參數(shù)共同進行統(tǒng)一的優(yōu)化，尋求最優(yōu)的配合，最終設(shè)計出各方面性能優(yōu)異的主鏡。不過隨著優(yōu)化參數(shù)的增加，要使近似模型更加準確地模擬實際問題，所需的樣本數(shù)量也將增加，這必將帶來巨大的工作量。

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