張志英，張風(fēng)薇

(同濟大學(xué) 機械工程學(xué)院，上海200092)

目前在大型離散制造企業(yè)如船舶和飛機制造中，動態(tài)空間調(diào)度是一個典型問題，它是指在空間布局的基礎(chǔ)上兼顧時間效率，綜合考慮空間因素和時間因素相互制約、相互影響的耦合關(guān)系，從而來安排生產(chǎn)調(diào)度計劃.針對這類問題，目前專家學(xué)者普遍采用的解決方法是人工智能優(yōu)化算法和基于規(guī)則的啟發(fā)式方法［1］.

針對船舶建造過程中的空間調(diào)度問題，Lee等提出了基于船舶形狀的啟發(fā)式調(diào)度規(guī)則［2］;鄭俊麗等運用形狀相似和工藝相似策略，提出了一種縮短最大完工時間的船舶分段空間調(diào)度算法［3］;陳潔等運用運籌學(xué)方法結(jié)合場地平均時空利用率指標(biāo)構(gòu)建綜合加工優(yōu)先順序、交貨期等因素的非線性規(guī)劃模型［4］.然而，上述方法都將船舶分段空間調(diào)度假定為在一個確定的生產(chǎn)環(huán)境中進行，實際船舶分段建造過程中往往存在大量不確定因素如急件插入和隨機的設(shè)備故障等，而且還存在大量不精確信息如分段開工時間、完工時間和加工時間等，以及不完備信息如原材料的質(zhì)量狀況、在制品生產(chǎn)情況等.這些不確定因素、不精確和不完備信息會導(dǎo)致分段及其關(guān)聯(lián)件的建造不能按照計劃進行，出現(xiàn)提前/拖期等現(xiàn)象，最直接體現(xiàn)在對加工時間的影響，使得加工時間表現(xiàn)為模糊數(shù)［5］或隨機分布，如正態(tài)分布［6］.因此，這種由隨機環(huán)境產(chǎn)生的調(diào)度方案也不是唯一的，根據(jù)計劃人員對生產(chǎn)環(huán)境給出的不同評估，在不同影響因子條件下將有不同的調(diào)度方案.這就需要研究不確定環(huán)境下的調(diào)度問題，針對各種置信水平的不確定生產(chǎn)環(huán)境提出可行的調(diào)度解.張麗華等在加工時間和工件交付期都服從指數(shù)分布的條件下，提出了最優(yōu)調(diào)度的幾個性質(zhì)，并運用動態(tài)規(guī)劃的方法給出了求解最優(yōu)解的算法［7］;朱海平等提出一種支持多目標(biāo)和多優(yōu)先級車間調(diào)度策略的隨機規(guī)劃模型，并給出了求解算法，從而在不確定的車間信息環(huán)境下做出正確調(diào)度策略［8］;R.Tavakkoli-Moghaddam等提出了解決設(shè)備布局問題的數(shù)學(xué)模型，運用該模型能最小化設(shè)備、廠房布局的總成本［9］.

本文綜合考慮了分段空間調(diào)度問題中的時空耦合性以及不確定因素造成的加工時間隨機性，建立加工時間不確定環(huán)境下的船體分段空間調(diào)度模型，結(jié)合某大型船廠實際生產(chǎn)數(shù)據(jù)進行驗證，得出不同置信水平下的調(diào)度解，結(jié)果表明該方法更符合船廠分段建造調(diào)度的實際情況.

1 問題描述與假設(shè)

在船舶分段建造中，空間調(diào)度問題普遍存在.與以往生產(chǎn)知識確定下的分段調(diào)度相比，該類問題主要體現(xiàn)在分段建造的時間還受到其關(guān)聯(lián)件的影響，并且加工時間不再是唯一確定的，而是服從隨機分布的變量.而一般的船體分段建造空間調(diào)度問題可以簡化為分段最大包絡(luò)投影面積以及時間因素的三維裝箱模型，在時間約束方面，若分段之間具有緊前緊后關(guān)系，那么后續(xù)分段只有在前面的分段生產(chǎn)完畢后才能開始生產(chǎn)，而如果分段帶有旁板等關(guān)聯(lián)件的，分段和旁板的加工時間必須滿足它們的關(guān)聯(lián)約束.在空間方面，分段和分段之間不允許出現(xiàn)干涉現(xiàn)象，分段放置也不允許超出場地邊界.若假設(shè)場地和分段的投影都為矩形，則分段建造空間調(diào)度模型如圖1所示.

圖1 包含5 個分段 B={B1，B2，B3，B4，B5}，其中 P1、P2分別是 B1、B2的旁板，受 B1、B2的關(guān)聯(lián)約束作用.當(dāng)旁板P2在建造過程中遇到不確定因素，加工時間延長同時直接影響到B2、B52個分段.由于P2的拖期使得B2的加工時間也相應(yīng)地增加，此外B5拖期會超出整個場地的生產(chǎn)周期.在這種情況下，需要重新安排分段和旁板在場地上的位置，使得分段能按計劃完工，減少因不確定因素額外產(chǎn)生的成本.而一般旁板開工時間和對應(yīng)分段開工時間有關(guān)聯(lián)約束，因此旁板的調(diào)整需考慮對應(yīng)分段的時間和空間的安排，對于圖1的模型，當(dāng)產(chǎn)生上述不確定情況時，一種調(diào)整方法是將B5重新布局，如圖2所示.

圖1 分段空間調(diào)度模型Fig.1 Block spatial scheduling model

由圖2可知，經(jīng)過調(diào)整后的分段和旁板滿足時間和空間約束，同時減少了因不確定因素對其他分段產(chǎn)生的影響，具有較高的生產(chǎn)效率.

在船體分段建造的諸多不確定因素中，加工時間不確定最常見，這里主要考慮因分段關(guān)聯(lián)件旁板加工時間而引起分段加工時間的不確定性.因此，該類問題可描述為:在一個調(diào)度計劃周期內(nèi)有n個待調(diào)度的船體分段 B={B1，…Bi，…，Bn}，每個分段Bi對應(yīng)有若干個旁板，總共有x個旁板(其中i代表分段編號，i≥1;x代表旁板總數(shù)，x≥0)，將所有旁板按最早開工時間排序得旁板集合P={P1，…，Pg，…，Px}，分段和旁板在m個場地上加工.

圖2 調(diào)整后的調(diào)度結(jié)果Fig.2 The schedu ling result after adjust ment

在加工時間不確定的分段建造動態(tài)空間調(diào)度問題中需要滿足以下約束:

1)待調(diào)度的分段和旁板抽象為其垂直投影的最小包絡(luò)矩形，假設(shè)矩形只有0°和90°2種放置狀態(tài)，令長邊li/lg平行于x軸的狀態(tài)為1，反之為0;

2)場地形狀假設(shè)為矩形.場地k長度為Lk，寬度為Wk，設(shè)場地左下角為坐標(biāo)原點(0，0)，建立以長度方向為x軸，寬度方向為y軸，豎直方向為時間z軸的三維坐標(biāo)系(以上均為正方向);

3)一個分段和旁板不能同時在不同的加工平臺上加工，且一旦開始加工，必須等到完成后才能移出;

4)由于分段和旁板的加工時間受不確定因素影響，在實際生產(chǎn)中體現(xiàn)為以計劃給出的加工時間為均值，服從某種隨機分布的變量.本文假定分段和旁板的實際開工時間、加工時間和完工時間都服從正態(tài)分布，而僅有最早開工時間和交貨期為確定值;

5)假設(shè)人員充分，設(shè)備無故障，忽略分段和旁板的吊運時間和其他物料的準備時間，即認為僅有旁板加工過程中的不確定性能傳遞給與它相應(yīng)的分段，并且這種不確定性能積累從而影響到分段建造的空間調(diào)度結(jié)果，最直觀表現(xiàn)為分段和旁板的加工時間為服從正態(tài)分布的隨機變量.

在滿足上述約束條件下，由于生產(chǎn)環(huán)境不確定因素影響造成分段建造的提前和拖期，提前完工產(chǎn)生存儲成本，拖期完工產(chǎn)生延遲成本.本文以旁板建造加工時間的偏差作為整體分段建造調(diào)度過程中唯一不確定影響因素，建立加工時間不確定條件下的分段建造空間調(diào)度模型.為了描述這個模型，這里引入時空占用成本(time-space occupied costs，TSOC)指標(biāo).

由于分段建造提前完工和拖期完工產(chǎn)生的成本不一樣，一般拖期完工比提前完工產(chǎn)生的成本要大很多，而不同分段由于尺寸差異，占用的空間成本也不同.本文以分段和旁板的最大包絡(luò)投影面積和實際完工時間對交貨期的偏差量乘積為時空占用成本，有以下相關(guān)定義:

定義1 對長為l，寬為w的分段，若完工時間c早于交貨期d，則它的提前時空占用成本:

其中α是分段的提前完工懲罰成本.

定義2 對長為l，寬為w的分段，若完工時間c晚于交貨期d，則它的拖期時空占用成本:

其中β是分段的拖期完工懲罰成本.

定義3 對帶關(guān)聯(lián)約束的分段，還有旁板加工時間偏差累積產(chǎn)生的偏差時空占用成本:

其中，|var(p)|表示分段加工時間p受不確定因素影響的偏差值，ξp表示概率P條件下，服從標(biāo)準正態(tài)分布的變量.

對于選定生產(chǎn)周期內(nèi)的分段和旁板總的時空占用成本，由于它既包含提前時空占用成本和拖期時空占用成本，還有旁板加工時間偏差累積產(chǎn)生的偏差時空占用成本，因此總的時空占用成本為這三部分成本的累加和.

定義4 對于選定生產(chǎn)周期內(nèi)的分段和旁板總的時空占用成本:

針對加工時間不確定的分段空間建造模型，它的目標(biāo)是最小化TSOC，以得到不同置信水平下的調(diào)度解.根據(jù)以上假設(shè)，含關(guān)聯(lián)約束的加工時間不確定分段建造空間調(diào)度問題解可表示為

其中:η為根據(jù)實際生產(chǎn)情況選擇的置信水平;i、g表示分段號和旁板號;xi、yi表示分段i左下點坐標(biāo);xg、yg表示旁板g左下點坐標(biāo);zi表示分段i實際開工時間;zg表示旁板g實際開工時間;dxi/dxg表示分段i/旁板g相對于場地的放置方向，若長邊li/lg平行于x軸，則dxi/dxg為1，反之為0;fi/fg表示分段i/旁板g經(jīng)過計劃后放置的場地.

2 不確定空間調(diào)度模型

2.1 機會約束下的不確定規(guī)劃模型

分段空間調(diào)度問題通常用非線性規(guī)劃模型來描述.而考慮不確定因素的調(diào)度問題，由于目標(biāo)函數(shù)和約束條件已經(jīng)不能按通常意義理解，因此要考慮有別于確定條件下調(diào)度模型的新理論和算法.機會約束規(guī)劃就是這樣一類符合不確定條件下含隨機變量的新規(guī)劃理論，其特點是隨機約束條件至少以一定的置信水平成立.下面引入文獻［16］給出的機會約束和不確定規(guī)劃的概念.

假設(shè)x是一個決策向量，E是一個概率分布已知的隨機向量，由x和E確定的n個目標(biāo)函數(shù)記為fi=(x，e)，1 ≤ i≤ n，它受制于 m 個約束函數(shù)gj=(x，e)，1≤j≤m.由于目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)都具有隨機性，因此只能通過置信概率的形式對目標(biāo)和約束進行描述.因此，對應(yīng)的機會約束可以表示為P{gj(x，E)≤0}≥α j，1≤j≤m，其中 P 表示隨機事件gj(x，E)≤0發(fā)生的概率，αj為置信概率;若規(guī)劃問題的目標(biāo)是fi=(x，E)，1≤i≤n盡可能小，可取置信概率為βi，則任一目標(biāo)函數(shù)表示為

基于多機會約束的多目標(biāo)不確定性規(guī)劃模型可表示為

2.2 不確定空間調(diào)度策略

在船舶分段建造過程中，分段在場地上的加工時間是服從某種分布的隨機變量，因此分段的完工時間也是不確定的，分段建造空間調(diào)度約束可以描述為機會約束.假設(shè)有n種置信水平，則受關(guān)聯(lián)約束的加工時間不確定分段建造空間調(diào)度模型將產(chǎn)生n個調(diào)度解，分別歸為集合 S1，S2，…，Sn，每個集合對應(yīng)的置信概率分別為 α1，α2，…，αn，令空間調(diào)度的空間和時間約束為

減少因提前、拖期產(chǎn)生的時空占用成本是調(diào)度的主要目標(biāo).設(shè)不同隨機因素的影響下，置信概率分別為 η1，η2，…，ηr，用機會約束描述為

綜合2.1和2.2節(jié)，受關(guān)聯(lián)約束的加工時間不確定的分段建造空間調(diào)度問題在已知分段和旁板的尺寸、交貨期，加工時間均值和偏差的情況下不確定規(guī)劃模型為

根據(jù)以上理論和假設(shè)，對受關(guān)聯(lián)約束的加工時間不確定的分段建造空間調(diào)度模型進行建模，詳見2.3 節(jié).

2.3 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型

空間調(diào)度非線性規(guī)劃模型如下:

目標(biāo)函數(shù)(1)表示在不同置信水平η(ξP)下，將旁板建造隨機性對分段建造產(chǎn)生的影響最小化，同時所引起的分段建造提前、拖期成本也最小化.

約束(2)表示旁板最早開工時間和分段最早開工時間之間的關(guān)系.其中，ti、tg分別代表分段i旁板g的最早開工時間;a代表旁板上胎和分段上胎的時間關(guān)系.

約束(3)～(9)表示同一場地內(nèi)的分段和旁板的放置位置不允許重合.其中，xi、yi、zi代表分段 i的左下前坐標(biāo)，xg、yg、zg代表旁板g的左下前坐標(biāo);lig、rig、fig、big、uig、vig、Sik、Sgk是決策變量，當(dāng)分段 i在旁板g的左邊時，lig等于1，否則為0;當(dāng)分段i在旁板g的右邊時，rig等于1，否則為0;當(dāng)分段i在旁板g的前邊時，fig等于1，否則為0;當(dāng)分段 i在旁板g的后邊時，big等于1，否則為0;當(dāng)分段i比旁板g先加工時，uig等于1，否則為0;當(dāng)分段i比旁板g后加工時，vig等于1，否則為0;當(dāng)分段i/旁板g被安排在場地k上加工時，Sik/Sgk等于1，否則為0.

約束(10)～(16)表示同一場地內(nèi)的分段和分段的位置放置不允許重合.

約束(17)～(23)表示同一場地內(nèi)的旁板和旁板的位置不允許重合.

約束(24)和(25)表示加工過程中的分段和旁板位置唯一，只有等加工完畢后才允許從胎位移出.

約束(26)～(29)表示待調(diào)度分段和旁板不能超過場地邊界.

約束(30)和(31)表示待調(diào)度分段和旁板只能在所有前序工作提供完善生產(chǎn)資料的情況下才能開始加工.

約束(32)表示待調(diào)度分段和旁板的參考點坐標(biāo)都為非負.該模型考慮旁板建造對分段建造的影響，將旁板加工時間進行隨機處理，以分段建造提前或拖期產(chǎn)生的時空占用成本最小化為目標(biāo)，對分段加工涉及的時間和空間因素給出調(diào)度結(jié)果.

3 實例驗證與分析

3.1 實驗例證

為了驗證上述模型的正確性，本文以上海某大型船廠的分段和旁板建造空間調(diào)度數(shù)據(jù)為例，利用LINGO 11.0 軟件，在處理器為 1.86 GHz，內(nèi)存為1 GB的計算機上進行求解.實驗包括以下輸入?yún)?shù):

1)待調(diào)度分段的數(shù)量、尺寸、最早加工時間、加工時間、交貨時間、提前完工懲罰成本、拖期完工懲罰成本;

2)待調(diào)度旁板的數(shù)量、尺寸、最早加工時間、旁板上胎與分段上胎時間關(guān)系、旁板加工時間均值和偏差，其中偏差為計算機隨機產(chǎn)生的符合標(biāo)準正態(tài)分布的隨機數(shù);

3)場地數(shù)量和尺寸.具體輸入數(shù)據(jù)見表1～3.

表1 待調(diào)度分段信息Table 1 Scheduling blocks information

表2 待調(diào)度旁板信息Table 2 Scheduling subsidiary parts information

表3 場地信息Table 3 Platform in formation m

通過不同置信水平對分段建造空間調(diào)度問題的求解，得到調(diào)度結(jié)果如表4所示，模型運行參數(shù)如表5.

表4 實驗驗證結(jié)果Table 4 Experiment results

表5 部分模型運行參數(shù)Table 5 Part of model operation parameters

3.2 實驗結(jié)果分析

以上實驗結(jié)果給出了不確定環(huán)境下分段和旁板的具體加工信息.其中，置信水平越高，表示該種生產(chǎn)水平越接近確定條件下的生產(chǎn)環(huán)境.用該模型得到的可行調(diào)度方案是較優(yōu)的，相對確定條件下的生產(chǎn)環(huán)境更接近船廠實際的生產(chǎn)情況.由于目標(biāo)函數(shù)、變量和約束中都含有隨機變量、隨機約束，此外該模型涉及多場地的空間調(diào)度方法，因此這個模型的計算工作量相對較大，求解的模型規(guī)模不宜過大.從表4、5可以看出，當(dāng)模型規(guī)模為5個分段和2個旁板時，模型求解時間在5 min左右，而模型求解時間和目標(biāo)最優(yōu)值與置信水平并沒有嚴格的相關(guān)關(guān)系.如當(dāng)置信水平為0.95時，CPU運行時間為00:04:02，分段提前、拖期時空占用成本為1 047.028 0;而當(dāng)置信水平下降為0.85時，CPU運行時間減少為00:03:13，分段提前、拖期時空占用成本減少為661.951 0;當(dāng)置信水平繼續(xù)下降為0.75時，CPU運行時間又增加為00:08:06，分段提前、拖期時空占用成本減少為429.631 7.由此可見，加工時間不確定條件下的空間調(diào)度的時空占用成本并不唯一，它取決于不確定環(huán)境的置信水平.而空間調(diào)度問題在考慮了旁板對分段的關(guān)聯(lián)約束后，問題變得更為復(fù)雜，需要考慮更多的約束，這樣就大大增加了計算量.

3.3 確定條件下空間調(diào)度實驗分析

確定條件下的空間調(diào)度問題是不確定條件下空間調(diào)度問題的一個特殊子問題.當(dāng)置信水平為1，分段和旁板加工時間等于它們的均值，偏差為0時，隨機空間調(diào)度問題就轉(zhuǎn)化為確定性問題.由于不存在不確定因素造成的分段提前或拖期時空占用成本，目標(biāo)函數(shù)改變?yōu)榉侄?旁板加工場地時空利用率最大化，如下

為比較2種情況下的空間調(diào)度問題，應(yīng)用相同數(shù)據(jù)進行調(diào)度實驗，調(diào)度結(jié)果見表6，模型運行參數(shù)見表7.

表6 確定條件下的實驗驗證結(jié)果Table 6 Experimental results in the certain environment

表7確定條件下部分模型運行參數(shù)Table 7 Part of model operation parameters in the certain environment

將表5和表7進行比較可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)不確定問題轉(zhuǎn)變?yōu)榇_定問題時，在變量數(shù)和約束數(shù)相同前提下，相同規(guī)模的空間調(diào)度問題的模型求解時間卻大大減少.而由于問題的確定化，使得場地的利用率也大大提高，只需要在3號場地完成即可.因此，在不考慮不確定因素的前提下，該算法可以求解較大規(guī)模的模型，并且得到較優(yōu)的仿真結(jié)果.而不確定因素由于將問題隨機化，通常要結(jié)合機會約束和不確定規(guī)劃等理論進行建模，主要解決的是不同置信水平下調(diào)度問題的求解，因此模型需要考慮開工時間、加工時間、完工時間等隨機變量，此外還要考慮旁板對相關(guān)分段的關(guān)聯(lián)約束，這就比確定條件下不具有關(guān)聯(lián)關(guān)系的調(diào)度模型復(fù)雜得多，CPU運行時間就會大大增加.

4 結(jié)論

本文考慮了船廠生產(chǎn)過程中存在的不確定因素，提出針對不確定加工時間的分段建造空間調(diào)度非線性規(guī)劃模型，重點分析因旁板生產(chǎn)中產(chǎn)生的提前、拖期因素導(dǎo)致的分段建造計劃的偏離.旁板加工時間用正態(tài)分布隨機數(shù)表達，而不同的置信水平將產(chǎn)生不同的隨機偏差，這些偏差對對應(yīng)分段的空間布局和加工時間產(chǎn)生影響.通過Lingo11.0對該非線性模型的求解，得出了不同置信水平下比較理想的調(diào)度解.由于該模型相對以往的研究加入了隨機變量因素和關(guān)聯(lián)件的時空影響，使得該模型更為復(fù)雜，也更接近于船廠的實際生產(chǎn)情況.

另一方面，該模型對于大規(guī)模空間調(diào)度問題很難進行求解.因此在今后的研究中，擬將問題規(guī)?？s小化或引入變量將非線性模型線性化，使得該模型也能適用于大規(guī)模的空間調(diào)度模型，此外在提高計算效率方面也有很多研究工作要深入開展.

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