馮亮，佟福山

(哈爾濱工程大學(xué)船舶工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

深海潛器作為資源勘探、事故處理的重要裝備得到了廣泛的應(yīng)用.通常情況，下潛深度為1 000 m左右的潛水器和潛艇采用承壓性高、內(nèi)部空間大的加肋圓柱殼結(jié)構(gòu)作為其耐壓殼體.因此為了保證人類的生命安全，對(duì)加肋圓柱殼極限強(qiáng)度的研究是有重要意義的.

文獻(xiàn)［1］通過解析梁柱復(fù)雜穩(wěn)定性問題得出強(qiáng)度穩(wěn)定綜合理論方法(combined theory of strength and stability，CTSS)，該方法在球殼的極限強(qiáng)度計(jì)算上的半經(jīng)驗(yàn)半解析的公式已經(jīng)得到了很好的應(yīng)用，但其解析的計(jì)算方法的關(guān)鍵——綜合因子n的計(jì)算問題還沒有得到很好的解決.

本文通過對(duì)彈性基礎(chǔ)梁復(fù)雜彎曲綜合因子N的解算，得以應(yīng)用CTSS的解析法對(duì)彈性基礎(chǔ)梁復(fù)雜彎曲的穩(wěn)定性進(jìn)行計(jì)算，從而得出圓柱殼和加肋圓柱殼殼板失穩(wěn)的臨界應(yīng)力公式.最后通過與實(shí)驗(yàn)結(jié)果和王曉天等工作的比較，證明了CTSS的解析法適用于圓柱殼極限強(qiáng)度的計(jì)算.

1 梁柱復(fù)雜彎曲時(shí)的失效解

圖1所示的是受復(fù)雜載荷的梁柱，對(duì)于這樣的結(jié)構(gòu)其失效模式有2種:1)失效模式是橫向均布載荷q占主導(dǎo)，軸向載荷N為輔助，結(jié)構(gòu)最終會(huì)由于彎曲而失效，對(duì)于這種失效模式，文獻(xiàn)［2］給出了輔助函數(shù)的解決方案，即軸向應(yīng)力對(duì)結(jié)構(gòu)的彎曲失效產(chǎn)生不利的影響;2)失效模式是軸向載荷N占主導(dǎo)，橫向載荷q為輔助，此時(shí)結(jié)構(gòu)會(huì)由于穩(wěn)定性不足而破壞，也就是常說的失穩(wěn)破壞.

圖1 梁柱載荷作用Fig.1 Load of beam-column

文獻(xiàn)［3］對(duì)于此種情況進(jìn)行具體解算，最后得出橫向載荷和初始撓度會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性產(chǎn)生不利影響，并且給出了相應(yīng)的計(jì)算公式，即

其中:n為簡支梁的綜合因子，其解析式為

2 彈性基礎(chǔ)梁復(fù)雜彎曲時(shí)的臨界解

文獻(xiàn)［4］給出彈性基礎(chǔ)梁在邊界條件為簡支的情況下臨界解:

由文獻(xiàn)［3-5］可知，橫向載荷以及初始撓度對(duì)于結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響可用綜合因子的修正來計(jì)算.于是，彈性基礎(chǔ)梁復(fù)雜彎曲的臨界解:

其中:N為彈性基礎(chǔ)梁的綜合因子.

對(duì)于彈性基礎(chǔ)梁，其綜合因子N的算式可通過對(duì)簡支梁的綜合因子n的修正得到.由文獻(xiàn)［2］可知，彈性基礎(chǔ)對(duì)梁中間彎矩的影響系數(shù)為χ1(μ)，于是得出彈性基礎(chǔ)梁的綜合因子:

其中:

3 圓柱殼和加肋圓柱殼的臨界解

3.1 圓柱殼的臨界解

由文獻(xiàn)［6］可知，有限長薄壁圓柱殼軸對(duì)稱彈性變形微分方程為

式(6)是把圓柱殼看成由許許多多梁帶組成，研究任意一根梁帶得到的.就其結(jié)構(gòu)而言，是一個(gè)連續(xù)的彈性基礎(chǔ)梁的復(fù)雜彎曲方程.

于是由式(3)得，圓柱殼受均勻外壓力時(shí)的殼板臨界壓力:

臨界應(yīng)力:

當(dāng)綜合因子N=1時(shí)，由式 (7)得

式(9)是僅存在軸向壓力作用在圓柱殼艙壁時(shí)殼板失穩(wěn)的臨界解.

當(dāng)壓力沿母線壓縮時(shí)，由式(9)得閉合圓柱形薄殼的臨界解:

式(10)是經(jīng)典線性解.

由此得出，圓柱殼的壓力無論是作用在艙壁上還是作用在母線上，其周向載荷和初始撓度的存在對(duì)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定降低的程度可用綜合因子N來修正，即圓柱殼的極限強(qiáng)度可以用CTSS方法進(jìn)行計(jì)算.

3.2 加肋圓柱殼的臨界解

文獻(xiàn)［6］描述了3種失效模式，分別是殼板失穩(wěn)、支骨失穩(wěn)、整體失穩(wěn).其中可以把第2種失穩(wěn)模式看成是第3種的特殊情況來計(jì)算.當(dāng)肋骨足夠強(qiáng)時(shí)，發(fā)生殼板失穩(wěn)，此時(shí)充分的發(fā)揮了殼板的承載作用;當(dāng)肋骨比較弱時(shí)，發(fā)生整體失穩(wěn)，此時(shí)并沒有完全發(fā)揮殼板的承載能力作用.

由文獻(xiàn)［7］可知加肋圓柱殼的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)復(fù)雜彎曲的彈性基礎(chǔ)梁，如圖2.

肋骨柔度A1，剛度K=當(dāng)肋骨的剛度大于臨界剛度時(shí)，即殼板發(fā)生失穩(wěn)，當(dāng)肋骨的剛度小于臨界剛度時(shí)，肋骨發(fā)生移動(dòng)，即整體失穩(wěn).

圖2 彈性基礎(chǔ)梁Fig.2 Elastic foundation beams

由文獻(xiàn)［4］可知當(dāng)彈簧支座單跨度壓桿的彈性支座剛度足夠大時(shí)，其失穩(wěn)的臨界壓力可按照簡支的邊界條件計(jì)算.同理，彈性基礎(chǔ)梁的單跨梁在同樣條件下也可以按照簡支的邊界條件進(jìn)行計(jì)算.于是在肋骨剛度大于臨界剛度時(shí)，并且加肋圓柱殼的殼板結(jié)構(gòu)系數(shù)φ小于臨界系數(shù)時(shí)(后面將說明這個(gè)問題)，加肋圓柱殼殼板失穩(wěn)的臨界解可按式(7)計(jì)算.當(dāng)肋骨剛度小于臨界剛度時(shí)，由文獻(xiàn)［2］中間彈性支座的雙跨梁的失效模式可推知彈性支座發(fā)生移動(dòng)，結(jié)構(gòu)發(fā)生整體失穩(wěn)，此時(shí)結(jié)構(gòu)的臨界解可按照文獻(xiàn)［6］中的整體失穩(wěn)公式進(jìn)行計(jì)算:

并且由分析可知，此類圓柱殼可以通過加大肋骨來提高承壓能力.當(dāng)加肋圓柱殼板的結(jié)構(gòu)系數(shù)φ大于臨界系數(shù)時(shí)，結(jié)構(gòu)的失效模式發(fā)生改變，即由穩(wěn)定失效轉(zhuǎn)變?yōu)閺?qiáng)度失效.應(yīng)該采用文獻(xiàn)［2］的輔助函數(shù)方法進(jìn)行校核.

4 圓柱殼綜合因子N的取值

4.1 適用條件

以上結(jié)論是基于彈性基礎(chǔ)梁復(fù)雜彎曲由于穩(wěn)定性失效所得出的結(jié)論，所以對(duì)結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)系數(shù)φ=σ0/σE是有要求的.

文獻(xiàn)［3］對(duì)簡支梁失效模式進(jìn)行了探討，結(jié)構(gòu)參數(shù)在θ≤φ≤3+－2時(shí)，式(1)任意載荷都能解出臨界解，即此時(shí)結(jié)構(gòu)失效模式是穩(wěn)定失效;當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)僅滿足(1－)2≥φ≥3+e－2時(shí)，并不是所有的載荷m都能解出臨界解，即當(dāng)橫向載荷q大到一定程度時(shí)，這種結(jié)構(gòu)的失效模式是強(qiáng)度失效，應(yīng)該采用文獻(xiàn)［2］的輔助函數(shù)方法進(jìn)行校核.

對(duì)于彈性基礎(chǔ)梁，由于彈性基礎(chǔ)的存在，結(jié)構(gòu)存在臨界解的范圍應(yīng)該更大.所以結(jié)構(gòu)系數(shù)按照以上范圍來取值是趨于保守的.

對(duì)于圓柱殼結(jié)構(gòu)來說，殼板結(jié)構(gòu)系數(shù)為

結(jié)構(gòu)系數(shù)φ在以上范圍內(nèi)，即小于臨界系數(shù)時(shí)，圓柱殼的結(jié)構(gòu)存在臨界解，解的大小如式(7);當(dāng)結(jié)構(gòu)系數(shù)φ大于臨界系數(shù)時(shí)，結(jié)構(gòu)不存在臨界解，結(jié)構(gòu)由于強(qiáng)度問題所破壞，應(yīng)按照文獻(xiàn)［2］的輔助函數(shù)方法進(jìn)行校核.

4.2 綜合因子N的取值

經(jīng)上面的分析，圓柱殼的綜合因子N與彈性基礎(chǔ)梁的綜合因子N的算式是同一的，如式(4).但不同的是，對(duì)于圓柱殼來說需要借助簡支梁綜合因子n的極值來求出具體的數(shù)值.

根據(jù)文獻(xiàn)［3］，對(duì)于簡支梁柱綜合因子n的算式和取值范圍為

只考慮橫向載荷時(shí)

只考慮初始撓度時(shí)

綜合考慮橫向載荷和初始撓度時(shí)

對(duì)于圓柱殼的綜合因子:

其中:

相當(dāng)于式(4)中取b=1.

5 極限強(qiáng)度計(jì)算與結(jié)果對(duì)比分析

5.1 CTSS對(duì)結(jié)構(gòu)極限強(qiáng)度的求解方法

由文獻(xiàn)［8］的中衍生比例定律可推知，線性臨界應(yīng)力是結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要平衡參數(shù).CTSS是通過這個(gè)平衡參數(shù)與強(qiáng)度利用率函數(shù)即切線模量因子曲線方程結(jié)合來對(duì)結(jié)構(gòu)極限強(qiáng)度問題進(jìn)行求解的，它分為2個(gè)部分:1)通過采用材料的切線模量因子曲線來解決結(jié)構(gòu)的物理非線性問題;2)通過采用結(jié)構(gòu)的綜合因子n來解決結(jié)構(gòu)由于橫向強(qiáng)度和初始缺陷所引起的幾何非線性問題.其表達(dá)式如下:

式中:ψ =σcr/σ0，Φ =nφ，φ =σ0/σE為結(jié)構(gòu)系數(shù).

5.2 與高強(qiáng)鋼加肋圓柱殼實(shí)驗(yàn)研究的對(duì)比分析

據(jù)文獻(xiàn)［9］模型實(shí)測(cè)，與材料實(shí)驗(yàn)拉伸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示.

模型材料的力學(xué)性能是通過拉伸實(shí)驗(yàn)得到的，屈曲應(yīng)力 σs為 321.73 MPa，比例極限 σp是187.29 MPa，彈性模量 E 為 209 269.7 MPa.材料應(yīng)力應(yīng)變曲線非線性表達(dá)式如下:

表1 實(shí)測(cè)模型幾何尺寸Table 1 The size of the modemm

由此應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可得材料的切線模量因子曲線如圖3所示.

圖3 鋼材切線模量因子曲線Fig.3 Tangent modulus factor curve

強(qiáng)度利用率函數(shù)［1］

通過式(11)、12)、(15)和(16)取值后，計(jì)算結(jié)果如表2.

表2 實(shí)驗(yàn)、常規(guī)算法以及本文算法結(jié)果對(duì)比Table 2 Comparison of calculation results MPa

從結(jié)果來看，這5個(gè)模型的實(shí)驗(yàn)值與本文殼板失穩(wěn)結(jié)果吻合的很好，誤差不超過4%.由于在計(jì)算圓柱殼綜合因子N時(shí)引入了梁柱結(jié)構(gòu)綜合因子n的極值，使得本文的算法偏于保守，也因此對(duì)于模型ST2、ST3、ST5，本文計(jì)算結(jié)果相對(duì)較小.但對(duì)于模型ST1、ST4，本文計(jì)算結(jié)果相對(duì)較大，是由于模型ST1、ST4的肋骨較小，對(duì)殼板的支撐不足所致.不過從總體上來說，本文的方法簡單有效，可以用于對(duì)圓柱殼以及加肋圓柱殼的極限強(qiáng)度的預(yù)測(cè).

同時(shí)，本文的解析結(jié)果在理論上證明了文獻(xiàn)［10-11］的結(jié)論，并且在分析的基礎(chǔ)上增加了對(duì)圓柱殼綜合因子N的分析.由文獻(xiàn)［5］可知橫向強(qiáng)度與初始撓度對(duì)結(jié)構(gòu)的影響是相同的，并且都可以用綜合因子n的形式表達(dá).所以通過引入綜合因子n使得本文的計(jì)算方法擴(kuò)展到對(duì)含初始撓度圓柱殼的極限強(qiáng)度解算.

5.3 含初始撓度的加肋圓柱殼的極限強(qiáng)度解算

CTSS方法是通過綜合因子N的取值來修正初始撓度對(duì)于對(duì)圓柱殼穩(wěn)定性的影響.其取值按式(14)、(15)計(jì)算.這里特別要指出當(dāng)初始撓度過大時(shí)，結(jié)構(gòu)由穩(wěn)定性失效轉(zhuǎn)化為強(qiáng)度失效，所以應(yīng)該采用文獻(xiàn)［2］的輔助函數(shù)方法進(jìn)行校核.

6 結(jié)論

1)本文通過對(duì)彈性基礎(chǔ)梁和圓柱殼結(jié)構(gòu)綜合因子N的具體解算，得以應(yīng)用CTSS方法去解決這兩種結(jié)構(gòu)的復(fù)雜穩(wěn)定性問題.通過與實(shí)驗(yàn)結(jié)果和王曉天等人的工作比較，證明了CTSS方法在圓柱殼結(jié)構(gòu)殼板極限強(qiáng)度計(jì)算上的適用性.

2)通過本文的計(jì)算補(bǔ)充了CTSS方法在彈性基礎(chǔ)梁和圓柱殼結(jié)構(gòu)的計(jì)算方法，也拓展了CTSS的應(yīng)用范圍.

3)CTSS方法是一種新興的方法，其發(fā)展只有幾十年，還有許多結(jié)構(gòu)的綜合因子需要解算，這些工作還需力學(xué)工作者的進(jìn)一步研究.

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