易菊燕，羅祠軍，陳 誠(chéng)

(暨南大學(xué) 數(shù)學(xué)系，廣州510632)

1 引言及主要定理

考慮下列廣義KDV－Burgers方程的一般初邊值問(wèn)題

其中:f是充分光滑的函數(shù)，u±是給定的常數(shù).假設(shè)f是嚴(yán)格凸的，即存在某個(gè)正常數(shù)α使得

并且假定特征速度f(wàn)'(u±)滿(mǎn)足

對(duì)邊界條件作如下假設(shè)

在全空間上考慮與式(1)相應(yīng)的雙曲守恒律Riemann問(wèn)題

其弱熵解是一個(gè)稀疏波

當(dāng)δ=0時(shí)，(1)1稱(chēng)為Burgers方程.關(guān)于Burgers方程的Cauchy問(wèn)題和初邊值問(wèn)題的解收斂到稀疏波的漸近性研究已有了不少的結(jié)果[1－3].當(dāng) μ ＞0，δ∈R時(shí)，Z·A·Wang和C·J·Zhang[4]討論了(1)1的Cauchy問(wèn)題.當(dāng)u-＜u+時(shí)，在小初值擾動(dòng)及小強(qiáng)度的條件下，證明了此Cauchy問(wèn)題存在惟一整體解，并且解漸近收斂到稀疏波.當(dāng)μ=1，δ=-1時(shí)，文獻(xiàn)[5]討論了廣義Kdv－Burgers方程初邊值問(wèn)題解的大時(shí)間性態(tài)，在對(duì)初邊值做適當(dāng)小性限制或使f滿(mǎn)足某種增長(zhǎng)條件下，運(yùn)用L2-能量方法在u-＜u+的條件下得到稀疏波解的整體存在性.本文在u-＜u+，小初值擾動(dòng)及小強(qiáng)度的條件下，研究一般初邊值問(wèn)題(1)的解的整體存在性及解衰減到一個(gè)稀疏波的衰減率，并由此澄清了一般邊界條件對(duì)解的衰減率的影響.

記號(hào)注釋:文中用Ca，b表示僅依賴(lài)于a，b的一般正常數(shù)，或在沒(méi)有混淆的情況下，簡(jiǎn)記C，Lp=Lp((0，∞))表示一般Lebesgue空間，其范數(shù)為表示一般的Sobolev空間，其范數(shù)為記表示在[0，T]上取值于的k次連續(xù)可微函數(shù)空間.為簡(jiǎn)潔起見(jiàn)，用‖·‖表示‖·‖L2，用‖·‖m表示‖·‖Hm.

2 整體解的漸近收斂性

首先采用Hattori和Nishihara在文獻(xiàn)[6]中的思想來(lái)構(gòu)造稀疏波的光滑逼近函數(shù).定義為如下Cauchy問(wèn)題

由于式(8)1為Burgers方程，利用Hopf－Cole變換能夠得到的顯式表達(dá)式，進(jìn)而定義稀疏波r(x，t)的光滑近似 ω(x，t)為

接下來(lái)，對(duì)邊界進(jìn)行修正，定義修正光滑逼近函數(shù)W(x，t)為

其中:Ψ(x，t)∶=(ω(0，t)-ub(t))e-x，

下面定義擾動(dòng)v(x，t)∶=u(x，t)-W(x，t).則問(wèn)題(1)轉(zhuǎn)化為

引理2.1對(duì)于1≤p≤∞，t≥0，W(x，t)和Q(x，t)滿(mǎn)足

要得出問(wèn)題(11)解的存在性，需要應(yīng)用局部解的存在性和先驗(yàn)估計(jì).

首先定義解空間

命題2.2(局部存在性)假設(shè)v0∈H1(R+)，則存在一個(gè)僅依賴(lài)于‖v0‖1≤M和‖ub(·)-u-‖H1.1的正常數(shù)T，使得問(wèn)題(11)有惟一解v∈X2M(0，T).

類(lèi)似文獻(xiàn)[7]，用標(biāo)準(zhǔn)的迭代方法證明命題2.3.為了把命題2.3中得到的局部解延拓到四分之一平面，還需要得到以下先驗(yàn)估計(jì).

命題2.3(先驗(yàn)估計(jì))假設(shè)v(x，t)∈X2M(0，t)是問(wèn)題(11)在命題2.3中得到的局部解，滿(mǎn)足先驗(yàn)假設(shè)

則存在不依賴(lài)于T的正常數(shù)C，使得v(x，t)滿(mǎn)足

證明 首先取得擾動(dòng)v(x，t)的L2-估計(jì).(11)1式兩邊同乘以v得

將(13)在R+上關(guān)于x積分，并由式(11)中的邊界條件得

由先驗(yàn)假設(shè)，根據(jù)Sobolev不等式可得到‖v‖∞≤Cδ1，(14)左端第二項(xiàng)可由式(2)及引理2.1(iii)估計(jì)為

其中:ξ夾在W與W+v之間.

由Cauchy不等式，式(14)右端估計(jì)如下

將(17)在(0，t)上關(guān)于t積分，同時(shí)由引理2.1(ii)(iv)得

特別地，有

對(duì)上式應(yīng)用Gronwall不等式，得到

將上式代入式(18)最后一項(xiàng)，可得

利用Wx的有界性和以及Cauchy不等式估計(jì)式(21)左端第二項(xiàng)得

由Cauchy不等式，式(21)右端估計(jì)如下

將上式在(0，t)上關(guān)于t積分，同時(shí)由引理2.1(ii)(iv)及式(20)得

最后由式(20)和式(25)即得所需的估計(jì)式(12).至此命題2.3得證.

引理2.4若g(t)≥0，g∈L1(0，∞))且g'∈L1(0，∞)，那么當(dāng)t→∞ 時(shí)，g(t)→0.

結(jié)合命題2.2，2.3及引理2.4可以得到以下解的整體存在性定理.

3 衰減估計(jì)

由于W(x，t)足夠快地收斂到稀疏波r(x，t)，因此要證明定理1中的估計(jì)式(6)和(7)，只需導(dǎo)出的v(x，t)衰減估計(jì)，因此我們需要建立v的如下L1-估計(jì).

命題3.1(L1-估計(jì))假設(shè)，則問(wèn)題(11)的解v(x，t)滿(mǎn)足

將(11)1式兩邊同乘)得

計(jì)算式(27)左邊的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)，并由引理2.1(iii)得

及

由于K1在R+上的積分等于0，K1＞0，K4＞0.對(duì)式(27)在R+×(0，t)上積分并利用以上估計(jì)式，然后令ε→0即可得到所需估計(jì)式(26).

其中:2≤p＜∞.

特別地，若取|u--ub(t)|，|u'b(t)|=O(1)(1+t)-1則有如下估計(jì)式

證明 首先推導(dǎo)關(guān)于v的收斂率估計(jì).在方程(11)1兩邊同乘以|v|p-2v得

由W及Wx的有界性，式(30)左邊最后一項(xiàng)利用(2)式及引理1(iii)可得

將式(30)右邊第一項(xiàng)在(0，∞)上關(guān)于x積分得

當(dāng)p=2時(shí)，利用分部積分可知(32)是不大于0的.由于p=2時(shí)v相應(yīng)的衰減估計(jì)的證明思路與p＞2時(shí)類(lèi)似，證明過(guò)程略[8-9]，因此此處僅給出其估計(jì)式

將(11)1兩邊同乘以-vxx，利用引理1(ii)(iv)，Cauchy不等式，Gagliardo－Nirenberg不等式，Young不等式及式(33)，可證得vx滿(mǎn)足如下估計(jì)式

特別地，若取|u--ub(t)|，|u'b(t)|=O(1)(1+t)-1則有如下估計(jì)式

下面主要證明p＞2的情形.當(dāng)p＞2時(shí)，(32)可變?yōu)?/p>

將估計(jì)式(31)和(35)代入式(30)，并在(0，∞)上關(guān)于x積分得

其中ε1為任意小的正常數(shù).

最后也類(lèi)似地估計(jì)式(37)右端最后一項(xiàng)得

取ε1足夠小，將以上估計(jì)式代入式(37)可得

利用引理1(ii)(iv)，及(34)式估計(jì)J1，J2，J3得

類(lèi)似地

及

將以上估計(jì)式代入式(39)可得

定理3.2證畢.

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