樊迎迎，劉卓夫，湯泰青

（哈爾濱理工大學(xué) 通信工程系，黑龍江 哈爾濱 150080）

Hilbert-Huang算法研究

樊迎迎，劉卓夫，湯泰青

（哈爾濱理工大學(xué) 通信工程系，黑龍江 哈爾濱 150080）

非線性、非平穩(wěn)信號(hào)處理一直是熱點(diǎn)問(wèn)題。Hilbert-Huang變換是一種新的信號(hào)處理方法，它通過(guò)經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解EMD算法和Hilbert變換能夠得到信號(hào)的時(shí)間-頻率-能量分布特征。但其在應(yīng)用中，處理結(jié)果精確度不高?；谔岣逪ilbert-Huang變換的處理結(jié)果的精確度，提出了一些改進(jìn)方法，通過(guò)MATLAB進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了改進(jìn)方法的可行性及有效性。

Hilbert-Huang變換；經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解；固有模態(tài)函數(shù)；曲線擬合

生活中存在很多非線性、非平穩(wěn)信號(hào)需要我們對(duì)其進(jìn)行處理分析，而傳統(tǒng)的信號(hào)分析如傅立葉變換和小波分析都建立在線性、高斯性和平穩(wěn)性的基礎(chǔ)上[1]，因此它們不適合用于非平穩(wěn)信號(hào)。文中介紹的希爾伯特-黃變換 （Hilbert-Huang Transform，簡(jiǎn)稱(chēng)HHT）是一種全新的信號(hào)處理方法，對(duì)于處理非線性、非平穩(wěn)信號(hào)有清晰的物理意義，能夠得到信號(hào)的時(shí)間-頻率-能量分布特征，且是一種自適應(yīng)性的信號(hào)處理方法[2]。

1 HHT基本原理

1.1 EMD基本原理方法

EMD的基本原理和算法描述如下。

1.1.1 本征模態(tài)函數(shù)（IMF）定義

本征模態(tài)函數(shù)必須滿(mǎn)足以下2個(gè)條件[3]:

1）在全局特性上看，整個(gè)數(shù)據(jù)的極值點(diǎn)數(shù)和過(guò)零點(diǎn)數(shù)相差不能超過(guò)一個(gè)；

2）在局部特性上看，任意數(shù)據(jù)點(diǎn)處由局部極大值點(diǎn)定義的包絡(luò)線和局部極小值定義的包絡(luò)線的均值都為0。

1.1.2 經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（EMD）：假設(shè)任何信號(hào)都可以由一系列的IMF所組成，這些IMF表征著信號(hào)的內(nèi)在波動(dòng)特征。EMD過(guò)程就是將非線性不平穩(wěn)信號(hào)由高頻到低頻分解成若干個(gè)IMF的過(guò)程，并且每個(gè)IMF的頻率分辨率也是隨著原始信號(hào)的變化而變化，是一種自適應(yīng)的信號(hào)處理方法。

對(duì)信號(hào)x（t），其信號(hào)分解過(guò)程[4]為：

1）首先求出序列x（t）所有的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，再利用三次樣條曲線進(jìn)行插值擬合，得到數(shù)據(jù)的上、下包絡(luò)線，并計(jì)算出上、下包絡(luò)線的均值m1，從而求出原始數(shù)據(jù)序列x（t）和包絡(luò)均值的差值h1=x（t）-m1。

2）判斷h1是不是IMF，如果不是則對(duì)其重復(fù)上述過(guò)程，直到第k次的h1k為IMF，令c1=k1k，c1為從原始數(shù)據(jù)中提取出來(lái)的第1個(gè)IMF，包括信號(hào)的最高頻率成分。

3）求出原數(shù)據(jù)x（t）與第 1 個(gè) IMFc1的差值r1=x（t）-c1，將r1作為新數(shù)據(jù)序列重復(fù)上述過(guò)程，可以遞推得到其他IMF，直至趨勢(shì)分量rn單調(diào)或只有一個(gè)極值。

4）原數(shù)據(jù)序列最終可分解為：

其中rn為趨勢(shì)分量，為單調(diào)函數(shù)或均值函數(shù)，代表信號(hào)的平穩(wěn)趨勢(shì)；c1，c2，…，cn為所得到的各個(gè)IMF分量，包含了信號(hào)由高頻到低頻段的不同成分。

1.2 HHT時(shí)頻分析方法

HHT處理非平穩(wěn)信號(hào)的過(guò)程包含了上述EMD分解過(guò)程，并且進(jìn)一步將由EMD分解得到的每一個(gè)IMF進(jìn)行Hilbert變換，從而形成原始信號(hào)的Hilbert譜。具體如下：

圖1 由EMD法分解的仿真信號(hào)的IMFFig.1 IMF of the simulated signal through empirical mode decomposition

式中，Re表示取實(shí)部。

式（3）中每個(gè)分量的幅值和相位都是隨時(shí)間變化的時(shí)間函數(shù)。式（3）的右部稱(chēng)為信號(hào)x（t）的Hilbert時(shí)頻表示，記為：

應(yīng)用式（4）可以將信號(hào)的時(shí)間-頻率-幅值的三維關(guān)系表達(dá)出來(lái)。

圖2 仿真信號(hào)的Hilbert譜圖Fig.2 Hilbert spectrum of the simulated signal

上述EMD分解和對(duì)應(yīng)的Hilbert變換統(tǒng)稱(chēng)為Hilbert-Huang變換。

2 HHT的問(wèn)題及改進(jìn)

2.1 擬合方法的改進(jìn)

從前文介紹的EMD方法認(rèn)識(shí)到，擬合方法對(duì)求取包絡(luò)線有著重要影響，通過(guò)極值點(diǎn)擬合上下包絡(luò)線，進(jìn)而求均值線的步驟是分解的基礎(chǔ)，也是整個(gè)HHT的起始，這個(gè)過(guò)程決定著HHT分析結(jié)果的可信程度。

HHT的發(fā)明者Huang使用了三次樣條擬合法進(jìn)行包絡(luò)線擬合，但在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)三次樣條擬合法雖然光滑性很好[5]，但容易造成過(guò)沖和欠沖現(xiàn)象，如圖3所示。為了克服三次樣條擬合的缺點(diǎn)，我們需要選擇其他擬合方法來(lái)生成上、下包絡(luò)線，B樣條擬合函數(shù)有許多樣條函數(shù)沒(méi)有的優(yōu)點(diǎn)[4]，如移動(dòng)某個(gè)節(jié)點(diǎn)只會(huì)影響臨近的幾段曲線，便于對(duì)生成的曲線進(jìn)行局部修改，可以靈活地構(gòu)造成任意形狀的曲線等。因而應(yīng)用B樣條擬合法，符合EMD方法的初衷：非線性信號(hào)的局部化處理。

圖3 三次樣條擬合過(guò)沖或欠沖的表現(xiàn)Fig.3 Appearance of overshoot and undershoot of the three times spline curve fitting

2.2 邊界效應(yīng)

HHT的核心是EMD。每個(gè)IMF都需要經(jīng)多次篩選來(lái)實(shí)現(xiàn)，而每次篩選必須找到局部極值點(diǎn)構(gòu)成的包絡(luò)線并用插值法來(lái)計(jì)算出上下包絡(luò)的平均值。因?yàn)樾盘?hào)端點(diǎn)一般不會(huì)是局部極值點(diǎn)，所以必須對(duì)信號(hào)進(jìn)行外延，以確保包絡(luò)線能夠抵達(dá)端點(diǎn)。包絡(luò)線外延不準(zhǔn)確會(huì)引起誤差，而這種誤差會(huì)隨著IMF分解個(gè)數(shù)的增加而向內(nèi)傳播，繼而污染整個(gè)序列，使得最后的分解結(jié)果失去意義。盡管Huang宣稱(chēng)解決了邊界問(wèn)題，但他同時(shí)也指出，EMD方法面臨的邊界問(wèn)題還沒(méi)完全解決，因此解決邊界問(wèn)題對(duì)于HHT的理論研究具有重要意義。

目前主要的邊界處理方法有：線性外拓法；多項(xiàng)式擬合法；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)方法及端點(diǎn)鏡像方法。

胡維平[6]對(duì)這些方法做了比較和總結(jié)：線性外拓法盡管比較粗糙，但它在處理隨機(jī)信號(hào)和漸變準(zhǔn)周期信號(hào)時(shí)優(yōu)于多項(xiàng)式擬合法，鑒于該算法的簡(jiǎn)單高效，可以在實(shí)時(shí)處理的場(chǎng)合得到應(yīng)用；多項(xiàng)式延拓在處理準(zhǔn)周期信號(hào)時(shí)比較出色，但在隨機(jī)信號(hào)上相對(duì)較差，這說(shuō)明多項(xiàng)式法的EMD并不適用于無(wú)規(guī)律的信號(hào)處理；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法由于其預(yù)測(cè)信號(hào)序列方法的局限性，預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度與預(yù)測(cè)的長(zhǎng)度成反比，以及對(duì)隨機(jī)信號(hào)準(zhǔn)確預(yù)測(cè)的困難性，因此無(wú)論是處理隨機(jī)信號(hào)還是漸變準(zhǔn)周期信號(hào)都與鏡像算法有一定的差距；而鏡像法無(wú)論在隨機(jī)信號(hào)還是在準(zhǔn)周期信號(hào)中都以較明顯的優(yōu)勢(shì)成為首選。因?yàn)閷?duì)于長(zhǎng)短周期信號(hào)來(lái)說(shuō)，鏡像法基本上都能夠很好的保留邊界上的信號(hào)特征，在準(zhǔn)周期信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)的處理中都具有很好的作用。

3 結(jié) 論

文中基于提高Hilbert-Huang變換的處理結(jié)果精度，提出了對(duì)EMD算法的改進(jìn)，通過(guò)MATLAB仿真比較各種算法，找到了最合適的算法，解決了Hilbert-Huang算法處理精確度不高的問(wèn)題。

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Research on Hilbert-Huang transform

FAN Ying-ying， LIU Zhuo-fu， TANG Tai-qing
（Department of Communication Engineering，Harbin University of Science and Technology，Harbin150080，China）

Nonlinear and non-stationary signal processing has been always a hot issue.Hilbert-Huang transform is a new signal processing method，which can get the time-frequency-energy distribution characteristics of the signals through the empirical mode decomposition （EMD） and Hilbert transform.But when it is in application， the results gained are not very precise，some improvements are proposed，and it proved feasibility and useful through MATLAB simulation.

Hilbert-Huang transform；empirical mode decomposition；intrinsic mode function；curve fitting

TN911.7

A

1674－6236（2012）06-0023-03

2011-12-31稿件編號(hào)：201112169

樊迎迎（1986—），女，黑龍江雞西人，碩士。研究方向：信號(hào)與信息處理。