駱蘭蘭，馬新生

(浙江外國(guó)語(yǔ)學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院，浙江杭州310012)

杭州市7年中考數(shù)學(xué)試題的主成分分析

駱蘭蘭，馬新生*

(浙江外國(guó)語(yǔ)學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院，浙江杭州310012)

利用主成分分析方法對(duì)杭州市2005～2011年的中考數(shù)學(xué)試題進(jìn)行了研究，結(jié)合基本統(tǒng)計(jì)計(jì)算結(jié)果，分析得出近年來(lái)中考試卷主要考查了學(xué)生的空間想象能力、應(yīng)用意識(shí)、推理論證能力、運(yùn)算求解能力以及抽象概括能力，并給出了歷年試卷考查內(nèi)容的變化趨勢(shì).

主成分分析;中考數(shù)學(xué);杭州市

1 引言

各類高中招生文化考試是以初中畢業(yè)生為對(duì)象的學(xué)能選拔性考試［1］.分析杭州市近年來(lái)的中考試卷結(jié)構(gòu)是否緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)、有效地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和綜合素質(zhì)，對(duì)初中學(xué)生進(jìn)行高效學(xué)習(xí)和教師的教學(xué)具有一定的指導(dǎo)作用.目前，關(guān)于中考數(shù)學(xué)試題的命題趨勢(shì)、試卷結(jié)構(gòu)的分析在國(guó)內(nèi)已有一些研究.張福君［2］從試題特點(diǎn)、對(duì)教學(xué)的啟示等方面對(duì)遵義市的整套考卷進(jìn)行了分析，采用定性研究和基本統(tǒng)計(jì)分析方法得出了試卷考查內(nèi)容全面、知識(shí)分配合理的結(jié)論，指出中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)必須立足課本.文獻(xiàn)［3-5］分別分析了全國(guó)各地近幾年中考考查學(xué)生空間觀念與能力型試題的顯著特點(diǎn)與命題趨向.文獻(xiàn)［6］則以中考必考的內(nèi)容“數(shù)與式”作為研究點(diǎn)，分析了各地的中考卷，發(fā)現(xiàn)多數(shù)地區(qū)控制了數(shù)與式運(yùn)算的步驟，且試題中融入了學(xué)生熟悉的生活背景，讓師生感到數(shù)學(xué)不再枯燥.

綜合現(xiàn)今中考數(shù)學(xué)試題的研究，我們可以發(fā)現(xiàn)，作者一般是采用定性研究和基本統(tǒng)計(jì)相結(jié)合的方法，以某一類試題或部分試卷作為研究對(duì)象，來(lái)分析這些試題的變化趨勢(shì)，或某年試卷的總體情況，而較少采用完整的數(shù)據(jù)來(lái)分析某地區(qū)試卷在一個(gè)較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)的總體變化情況、每年的試題究竟考查學(xué)生哪些數(shù)學(xué)能力、以及這些數(shù)學(xué)能力又是通過(guò)哪些試題來(lái)體現(xiàn)等初中師生十分關(guān)注的問(wèn)題.基于此，本文首先詳細(xì)分析了杭州市2005～2011年的每一道中考數(shù)學(xué)試題的考查知識(shí)點(diǎn)，得到了7年試題考查內(nèi)容的全部數(shù)據(jù)，然后結(jié)合基本統(tǒng)計(jì)分析，對(duì)這批數(shù)據(jù)采用主成分分析方法［7］進(jìn)行了詳細(xì)研究，得出了7年來(lái)杭州中考試卷主要考查學(xué)生各種數(shù)學(xué)能力的統(tǒng)計(jì)規(guī)律.

2 統(tǒng)計(jì)分析

2.1 基本統(tǒng)計(jì)分析

根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》中的考試內(nèi)容分布以及歷年試卷中涉及的知識(shí)點(diǎn)，制作了從2005到2011年的考試命題雙向細(xì)目表，得到7年每道試題考查的知識(shí)點(diǎn).通過(guò)統(tǒng)計(jì)各考核知識(shí)點(diǎn)在試卷中所占的分值，將分值從高到底進(jìn)行排列，得到了歷年試卷的主要考核知識(shí)點(diǎn)及分布趨勢(shì)，分別見表1和表2.

表1 2005～2011年杭州市中考數(shù)學(xué)試卷中主要考查點(diǎn)的分值統(tǒng)計(jì)

表2 2005～2011年杭州市中考數(shù)學(xué)試卷中主要考查點(diǎn)的分值變化趨勢(shì)

由分析表1主要考查點(diǎn)的分值數(shù)據(jù)可知，杭州市近7年來(lái)的中考數(shù)學(xué)試題主要考查了方程與方程組、函數(shù)、圖形的相似、圓、三角形、代數(shù)式等內(nèi)容，所占比例恰當(dāng);試卷命題思路呈現(xiàn)連續(xù)性和穩(wěn)定性的特點(diǎn)，考查內(nèi)容基本上以數(shù)感與符號(hào)意識(shí)、空間觀念與幾何直觀為主、數(shù)據(jù)分析觀念為輔，且“數(shù)與代數(shù)”和“空間與圖形”始終處于核心地位，試題主要檢測(cè)學(xué)生的數(shù)感與符號(hào)意識(shí)以及空間觀念與幾何直觀等數(shù)學(xué)基本能力、數(shù)學(xué)基本思想方法，體現(xiàn)初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)既要使學(xué)生有數(shù)學(xué)知識(shí)的增長(zhǎng)，也要使學(xué)生有數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展的目標(biāo).但2007年以后的考查內(nèi)容有所變化，即統(tǒng)計(jì)知識(shí)所占的比重有大幅增加，突出了對(duì)學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念的考查.

由分析表2分值分布的總體趨勢(shì)數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，“代數(shù)式”“函數(shù)”“三角形”等內(nèi)容始終是這些年的著重考查點(diǎn)，具有重要的地位;“方程與方程組”近兩年趨于穩(wěn)定;“圖形的相似”這一知識(shí)點(diǎn)在試卷中所占的比重有逐漸下降的趨勢(shì)，而“統(tǒng)計(jì)”近些年來(lái)卻備受重視，在試卷中所占的比重有逐漸上升的趨勢(shì).

2.2 主成分分析

2.2.1 歷年試卷的主要考查點(diǎn)

對(duì)杭州市2005～2011年的中考數(shù)學(xué)試卷制作考試命題雙向細(xì)目表，統(tǒng)計(jì)出歷年考卷中的主要知識(shí)點(diǎn)分布，分別將“有理數(shù)的意義”“求相反數(shù)與絕對(duì)值”……“三角形的有關(guān)概念”等知識(shí)點(diǎn)依次記為變量X1，X2，…，X98.

2.2.2 主成分分析

將數(shù)據(jù)集(X1－X98)導(dǎo)入SPSS軟件，依次點(diǎn)擊Analyze-Data Reduction-Factor進(jìn)入Factor Analysis(在SPSS中，主成分分析與因子分析均在Factor Analysis模塊中完成.)進(jìn)行一系列的操作，即可得到輸出結(jié)果［8］，見表3.

表3 輸出結(jié)果:解釋的總方差

由輸出結(jié)果表3可知，前面5個(gè)主成分y1～y5的累積方差占全部方差的88.9%，基本上保留了原來(lái)指標(biāo)的信息，這樣原來(lái)的98個(gè)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為5個(gè)新指標(biāo)，大大降低了維數(shù).根據(jù)SPSS軟件得到主成分系數(shù)矩陣，5個(gè)主成分y1～y5的線性組合為:

第一主成分y1中“平行四邊形”“矩形等四邊形的性質(zhì)”“整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)”和“切線的性質(zhì)”等變量的系數(shù)絕對(duì)值較大，其余變量的系數(shù)相當(dāng)，所以第一主成分是x23，x2，x43，x79，x68，x71，x26，x1，x84，x48，x88，x3的綜合變量，主要是全等三角形的概念、正多邊形的概念、平面直角坐標(biāo)系的概念等.三角形、正多邊形、平面直角坐標(biāo)系等都是“空間與幾何”中的內(nèi)容且都涉及對(duì)概念的理解，主要反映了對(duì)學(xué)生的空間圖形的有關(guān)概念考查，它是義務(wù)教育階段初步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力的一個(gè)重要學(xué)習(xí)內(nèi)容.空間圖形的有關(guān)概念是空間想象能力的基本內(nèi)容，是培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的空間想象能力的基本教學(xué)目的.因此，第一主成分反映了對(duì)學(xué)生的空間想象能力的考查.

第二主成分y2是x55，x47，x97，x16，x7，x4，x95，x53，x87，x93，x63，x81，x85，x8，x20的綜合變量，主要是“勾股定理的運(yùn)用”“因式分解”“分式的基本性質(zhì)”等知識(shí).這些知識(shí)點(diǎn)主要是運(yùn)用于解決現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)量關(guān)系，因此，第二主成分反映了對(duì)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)的考查.

第三主成分y3是x57，x60，x77，x14，x89，x70，x61，x80，x62，x22，x46，x74的綜合變量，主要是“圓心角與圓周角的關(guān)系”“圓錐的側(cè)面積和全面積”“銳角三角函數(shù)sinA，cosA，tanA的概念”“平方差公式的推導(dǎo)”等知識(shí).這些知識(shí)點(diǎn)主要考查學(xué)生可以根據(jù)這些概念進(jìn)一步尋找證據(jù)、給出其他命題的證明或舉出反例，同時(shí)也可以去論證其他數(shù)學(xué)命題的真實(shí)性.因此，第三主成分反映了對(duì)學(xué)生的推理論證能力的考查.

第四主成分y4可以看成是x17，x45，x86，x34，x98，x69，x94，x35，x92，x19，x83，x75的綜合變量，主要是“分式的運(yùn)算”“等腰、等邊、直角三角形的概念”“解一元一次方程”“眾數(shù)與中數(shù)的計(jì)算”等知識(shí).從《課程標(biāo)準(zhǔn)》可知，數(shù)感主要是指數(shù)與數(shù)量表示、數(shù)量大小比較、數(shù)量和運(yùn)算結(jié)果的估計(jì)、數(shù)量關(guān)系等方面的感悟.“分式的運(yùn)算與解方程”等知識(shí)便是對(duì)數(shù)量關(guān)系的感悟;“中數(shù)與眾數(shù)的計(jì)算”是對(duì)數(shù)量和運(yùn)算結(jié)果的估計(jì).掌握了以上的知識(shí)，有助于學(xué)生根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理，能根據(jù)問(wèn)題的條件，尋找與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑.數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力在形成理性思維中發(fā)揮著獨(dú)特的作用.故第四主成分反映了對(duì)學(xué)生的運(yùn)算求解能力的考查.

同樣，第五主成分y5可以看成是x6，x30，x29，x40，x46，x69，x90，x65，x96，x67，x41，x52，x76，x15的綜合變量，主要是“預(yù)測(cè)變量的變化規(guī)律”“用函數(shù)刻畫變量關(guān)系”等知識(shí).從《課程標(biāo)準(zhǔn)》中得知抽象概括能力就是從具體的、生動(dòng)的實(shí)例，在抽象概括的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)研究對(duì)象的本質(zhì);從給定的大量信息材料中概括出一些結(jié)論，并能應(yīng)用于解決問(wèn)題或做出新的判斷.“預(yù)測(cè)變量的變化規(guī)律”“用函數(shù)刻畫變量關(guān)系”便是用函數(shù)這個(gè)重要的數(shù)學(xué)模型來(lái)刻畫數(shù)量關(guān)系和事物的變化規(guī)律，從而幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)事物之間的內(nèi)在聯(lián)系.所以，第五主成分反映了對(duì)學(xué)生抽象概括能力的考查.

根據(jù)以上的5個(gè)主成分，我們可以分析得到如下結(jié)論:杭州市2005～2011年的中考數(shù)學(xué)主要考查了學(xué)生的空間想象能力、應(yīng)用意識(shí)、推理論證能力、運(yùn)算求解能力以及抽象概括能力，基本上與《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》［9］1－8的理念相符合，但對(duì)學(xué)生的數(shù)據(jù)圖表處理能力以及創(chuàng)新意識(shí)的考查還有所欠缺.

2.2.3 主成分得分

對(duì)照雙向細(xì)目表，將標(biāo)準(zhǔn)化后的原始數(shù)據(jù)代入5個(gè)主成分表達(dá)式，可計(jì)算出各主成分得分，見表4.這些數(shù)據(jù)中有不少是負(fù)數(shù)，并不表明它所考查的能力為負(fù)，僅表示該能力與平均水平的相對(duì)關(guān)系.

表4 2005～2011年杭州市中考數(shù)學(xué)試卷的主成分得分統(tǒng)計(jì)

分析表4數(shù)據(jù)，2005年數(shù)學(xué)試卷中的第四主成分的得分的絕對(duì)值最大，說(shuō)明2005年的試卷主要考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力;2006年是第四主成分的得分絕對(duì)值最大，因此2006年的中考數(shù)學(xué)側(cè)重考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力;同樣的，我們可以得到2007年主要考查的是學(xué)生的推理論證能力，2008年主要考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力;在2009年，位于首位的是第一主成分，主要考查學(xué)生的空間想象能力; 2010年首要考查學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，2011年則主要考查學(xué)生的推理論證能力.

與表1對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，主成分分析結(jié)果與基本統(tǒng)計(jì)結(jié)果吻合度非常高:2005年“方程與方程組”“函數(shù)”這兩部分內(nèi)容在試卷中所占的比重最大，學(xué)生要順利求解問(wèn)題就必須具備深厚的運(yùn)算求解能力;2006年，“三角形”“方程與方程組”被著重考查;2007年的考卷，涉及“函數(shù)”“統(tǒng)計(jì)”的問(wèn)題最多，強(qiáng)調(diào)了對(duì)學(xué)生的運(yùn)算求解、推理論證能力的檢測(cè);而2008年的試卷中，涉及“函數(shù)”與“三角形”的問(wèn)題最多;“三角形”與“統(tǒng)計(jì)”是2009年的主要考查知識(shí)點(diǎn);2010年的試卷注重“代數(shù)式”“方程與方程組”等知識(shí)，側(cè)重考查學(xué)生的應(yīng)用意識(shí);2011年的試卷十分注重“函數(shù)”“方程與方程組”等知識(shí)，需要有較好的推理論證技巧.這從一個(gè)側(cè)面說(shuō)明，利用主成分分析的方法來(lái)研究中考數(shù)學(xué)試題是有效的.

計(jì)算出每年的主成分得分絕對(duì)值的平均值，見表4最后一行.分析數(shù)據(jù)可知，第四主成分得分絕對(duì)值的平均值大大高于其他主成分得分絕對(duì)值的平均值，第一、第二、第三主成分得分絕對(duì)值的平均值較為接近，而第五主成分又大大低于其他主成分，這說(shuō)明2005年到2011年的7年中，中考數(shù)學(xué)試題最注重對(duì)學(xué)生運(yùn)算求解能力的考查，對(duì)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)、空間想象能力、推理論證能力的考查則次之，而對(duì)學(xué)生抽象概括能力的要求最低，這大致符合《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》［9］9-10對(duì)初中學(xué)生的能力要求.

3 結(jié)論

(1)基本統(tǒng)計(jì)與主成分分析的結(jié)果比較吻合，利用主成分分析的方法來(lái)研究中考數(shù)學(xué)試卷是有效的.(2)根據(jù)基本統(tǒng)計(jì)的結(jié)果，我們可得杭州市2005～2011年的中考數(shù)學(xué)試題所考查的數(shù)學(xué)知識(shí)基本上是穩(wěn)定的，但從2007年以來(lái)，“統(tǒng)計(jì)與概率”這一知識(shí)考查的分值有所增加.

(3)通過(guò)主成分分析，杭州市2005～2011年的中考數(shù)學(xué)試題主要考查了學(xué)生的空間想象能力、應(yīng)用意識(shí)、推理論證能力、運(yùn)算求解能力以及抽象概括能力，學(xué)生的應(yīng)試成績(jī)可在一定程度反映他們的數(shù)學(xué)能力.

(4)從2005年到2011年這7年的時(shí)間里，杭州市中考數(shù)學(xué)試題最注重對(duì)學(xué)生運(yùn)算求解能力的考查，對(duì)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)、空間想象能力、推理論證能力的考查則次之，而對(duì)學(xué)生抽象概括能力的要求最低.

［1］杭州市普通教育研究室.2009年杭州市各類高中招生文化考試命題實(shí)施細(xì)則［M］.北京:中國(guó)電力出版社，2009: 16-24.

［2］張福君.2005年遵義市數(shù)學(xué)中考試題分析［J］.上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2006，(1，2):8.

［3］馬芳.對(duì)發(fā)展空間觀念中考試題的分析與研究［J］.山西師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2009(S1):18-22.

［4］邵志芳，李二霞.中高考數(shù)學(xué)試題難度的認(rèn)知任務(wù)分析［J］.華東師范大學(xué)學(xué)報(bào):教育科學(xué)版，2010(1):48-52.

［5］李奎.中考能力型試題的命題趨向［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2007(4):46-48.

［6］李雙全.數(shù)與式中考試題分析與精選［J］.中學(xué)生理科月刊，2005(7，8):19-26.

［7］高惠璇.應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析［M］.北京:北京大學(xué)出版社，2005:265-289.

［8］何曉群.多元統(tǒng)計(jì)分析［M］.北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社，2008:173-191.

［9］中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育階段國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)［M］.北京:北京師范大學(xué)出版社，2001.

Principal Component Analysis of the Problems in Mathematical Examination of Senior High School Entrance in the Past 7 Years in Hangzhou

LUO Lanlan，MA Xinsheng
(School of Science and Technology，Zhejiang International Studies University，Hangzhou 310012，China)

In this paper，we mainly use the principal component analysis to research the mathematical examination of senior high school entrance from 2005 to 2011 in Hangzhou.Combined with the basic statistical computation，the principal component analysis shows that the entrance examination mainly examines the space imagination ability，application consciousness，reasoning ability，computation ability and abstract ability of the students.At the same time，it shows the trend of the examination in the past 7 years.

principal component analysis;mathematical examination of senior high school entrance; Hangzhou

O212.4;G632.47

A

2095－2074(2012)03－0098－05

2012－04－10

駱蘭蘭(1990－)，女，浙江義烏人，浙江外國(guó)語(yǔ)學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2008級(jí)本科生.

*通訊作者:馬新生(1966－)，男，江西寧都人，浙江外國(guó)語(yǔ)學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系教授，工學(xué)博士.