張金成

(中央黨校函授學院，安徽廣德242200)

迄今為止，在數(shù)學的各個領域，已經(jīng)建立了很多數(shù)學演繹系統(tǒng)，如自然數(shù)系統(tǒng)、歐氏幾何系統(tǒng)、公理集合論系統(tǒng)、群論系統(tǒng)等.

羅素在《數(shù)學原理中》中給出的命題邏輯演算系統(tǒng)，是邏輯演繹系統(tǒng).在命題邏輯演算的基礎上，希爾伯特又建立了謂詞演算系統(tǒng)，后來經(jīng)過邏輯學家的簡化、完善，形成了完整的邏輯演繹系統(tǒng).演繹系統(tǒng)的本質(zhì)特征是系統(tǒng)內(nèi)部的無矛盾性，如果一個演繹系統(tǒng)可以得出矛盾，那么這個系統(tǒng)就會崩潰.經(jīng)典邏輯認為矛盾即為錯誤，因此經(jīng)典邏輯排除矛盾.在經(jīng)典邏輯中若出現(xiàn)矛盾將導致整個體系“崩潰”，因為經(jīng)典邏輯有一個“鄧斯·司各特定律 A，?A├B”，即矛盾將導致一切都成立，一切都不成立，因此該體系是無用的［1］.

無矛盾的演繹邏輯系統(tǒng)已經(jīng)發(fā)展得很完善，但由于悖論及處理矛盾的需要，近來又出現(xiàn)了容納矛盾的邏輯系統(tǒng).

1 矛盾的再研究

1.1 容納矛盾的邏輯系統(tǒng)的現(xiàn)狀

在數(shù)學領域中，人們逐漸意識到矛盾的不可排除性，自從20世紀60年代以來，一些邏輯學家開始研究在數(shù)學、邏輯中容納矛盾，他們希望放棄一致性，或者兼容矛盾，因此產(chǎn)生了一門嶄新的邏輯——容納矛盾的邏輯.

目前有關容納矛盾的邏輯的形式系統(tǒng)有很多，如美國邏輯學家R.Brandom的不協(xié)調(diào)邏輯、澳大利亞學者Priest的悖論邏輯、巴西邏輯學者Da Costa的次協(xié)調(diào)邏輯［2］.

在對待矛盾的形式處理上，不同的邏輯也有不同的處理方式，他們都以小心謹慎的態(tài)度改造經(jīng)典數(shù)理邏輯.但是為了容納矛盾，其邏輯系統(tǒng)的人造成份太多，并不是對自然界和人類思維領域本身應有的矛盾規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，他們所建立的形式系統(tǒng)還是探索性的、初步的和不成熟的.

筆者認為在數(shù)學、邏輯中容納矛盾這種方案是正確的，只要建立起正確的形式系統(tǒng)，就可以建立一個容納矛盾的數(shù)學基礎.無論是不協(xié)調(diào)邏輯、超協(xié)調(diào)邏輯，還是次協(xié)調(diào)邏輯，這些邏輯系統(tǒng)僅僅能容納矛盾，不能徹底解決矛盾，這是因為這些邏輯系統(tǒng)在矛盾的本質(zhì)規(guī)律的形式表述上是不精確的.本文在對歐氏幾何與非歐幾何的矛盾進行研究的基礎上，提出一個容納矛盾的新系統(tǒng)S.

1.2 相互矛盾的系統(tǒng)

19世紀初，俄羅斯數(shù)學家羅巴切夫斯基在試圖證明歐氏幾何的第5公理(平行公理)時，發(fā)現(xiàn)了“平行公理”既不能被證明，也不能被否證，歐氏幾何平行公理是獨立的，從而發(fā)現(xiàn)了一種全新的幾何——非歐幾何(羅氏幾何).后來，德國數(shù)學家黎曼又發(fā)現(xiàn)了另一種非歐幾何——黎氏幾何.

非歐幾何與歐氏幾何相比，具有如下特點:

1)歐氏幾何與非歐幾何有幾條公理是相同的;

2)歐氏幾何與非歐幾何有1條公理是相矛盾的;

3)歐氏幾何與非歐幾何內(nèi)部是相對一致的，但是歐氏幾何與非歐幾何之間是相矛盾的;

4)歐氏幾何與非歐幾何是相互翻譯的，即歐氏幾何與非歐幾何是同構(gòu)的.

類似于非歐幾何產(chǎn)生的例子，在科學界還有很多，具有一般的規(guī)律性，這種思維方式很值得研究，本文試圖把這種思維方式一般化，抽象出一般的思維公理，模擬其思維過程，建立一個新的邏輯系統(tǒng).

人們知道，歐氏幾何由5組公理組成:結(jié)合公理Ⅰ1-8、順序公理 Ⅱ1-4、合同公理 Ⅲ1-5、連續(xù)公理Ⅳ1-2和平行公理Ⅴ.其中Ⅰ ～Ⅳ稱為絕對幾何公理體系，記為絕對幾何公理體系∏ ={Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ}.平行公理有以下3種:

1)歐氏平行公理Ⅴ:過已知直線外一點，只能作惟一一條直線與已知直線平行.

2)羅氏平行公理?Ⅴ:過直線外一點，至少可以作2條直線與已知直線平行.

3)黎氏平行公理?Ⅴ:過直線外一點，不可以作直線與已知直線平行.

以上3種相互矛盾的平行公理與絕對幾何公理體系結(jié)合，可以產(chǎn)生3種相互矛盾的幾何，即歐氏幾何、羅氏幾何和黎氏幾何.用?Ⅴ表示平行公理的否定命題，在絕對幾何公理體系中，∏├/Ⅴ，且∏├/?Ⅴ，Ⅴ在∏中是不可判定命題，即第5公理在絕對幾何體系中是獨立的［3］.

歐氏幾何與非歐幾何可以分別表示為∏∪{Ⅴ}={I，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ}歐氏幾何公理體系、∏∪{?Ⅴ}={Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，?Ⅴ}非歐幾何公理體系.歐氏幾何公理體系∏∪{Ⅴ}={Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ}的內(nèi)部是相容的，非歐幾何公理體系∏∪{?Ⅴ}={Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，?Ⅴ}的內(nèi)部也是相容的.但是∏∪{Ⅴ}與∏∪{?Ⅴ}是矛盾的，所以∏∪{Ⅴ}與∏∪{?Ⅴ}不能合并在一起，它們分別處于2個不同的領域，即歐氏幾何領域與非歐幾何領域.從這里可以看到，矛盾可以在不同的領域成立.

歐氏幾何學、羅氏幾何學、黎曼幾何學是3種互有區(qū)別的幾何學，這3種幾何學各自所有的命題都構(gòu)成了一個嚴密的公理體系，各公理之間滿足一致性、完備性和獨立性，因此這3種幾何學都是正確的.

從羅巴切夫斯基、黎曼創(chuàng)立的非歐幾何學中，可以得出一個極為重要的、具有普遍意義的結(jié)論:邏輯上互相不矛盾的一組假設都有可能提供一種新的理論.

一般地，用A表示矛盾的正命題，?A表示矛盾的反命題，以上A與?A是一種相互矛盾的否定方式，但它們能在不同的條件下成立，這種可以在不同條件下成立的思維方式，稱它為辯證矛盾思維.它正是非歐幾何產(chǎn)生的思維方式，其本質(zhì)是研究不同領域中相互否定的命題的表示和邏輯規(guī)律.

1.3 正域、反域與不動域

把一個原命題成立的領域叫做正域，而把相對于正域之外的其否定命題成立的領域叫做反域.

例1 正數(shù)領域、實數(shù)領域、歐氏幾何領域叫做正域，則負數(shù)領域、虛數(shù)領域、非歐幾何領域叫做反域.

正域與反域是什么關系?正數(shù)領域與負數(shù)領域可以一一對應;實數(shù)領域和虛數(shù)領域也可以一一對應;歐氏幾何領域和非歐幾何領域可以相互翻譯等等.通過分析可知，一般現(xiàn)實情況下，正域與反域是一種此消彼長的不等價關系，這是因為矛盾的雙方發(fā)展不均衡，某一方處于缺損狀態(tài);但在理想狀況下，正域與反域之間的關系是:性質(zhì)相反，一一對應的兩個同構(gòu)世界.

很多正域與反域是一種等價的均衡關系，數(shù)學理論上、物理理論上的矛盾域多是等價的.因此，討論正域與反域上等價的邏輯關系具有重要意義.

定義1 若有一個正世界個體域+α={t1，t2，…，tn}，通過某種反變關系f，所得到一個新的反變世界個體域 -α ={f(t1)，f(t2)，…，f(tn)}，且ti≠f(ti)，在+α中的元素都具有性質(zhì)P，即命題P(t)成立;在 -α中的元素都具有性質(zhì)?P，即命題?P［f(t)］成立.把+α叫做正域，-α叫做反域，反域也記為 - α =1，2，…，n}.

在定義1中，+α與-α是對等關系(均衡的、同構(gòu)的或可翻譯的).

在以上概念的基礎上，把矛盾命題重新進行形式化描述如下.

1)A:在歐氏幾何領域，過已知直線外一點，只能作惟一一條直線與已知直線平行，形式描述為A+α.

2)非A:在非歐幾何領域，過已知直線外一點，并非只能作惟一一條直線與已知直線平行，形式描述為?A-α.

A+α表示正域+α中的命題A，A-α表示反域-α中的命題A，即在非歐幾何領域，過已知直線外一點，只能作惟一一條直線與已知直線平行.?A-α表示反域-α中的命題?A，?A+α表示正域+α中的命題?A，即在歐氏幾何領域，過已知直線外一點，并非只能作惟一一條直線與已知直線平行.這樣，矛盾命題都有2種表示方式.

定義2 在相同域上的否定命題Aα與?Aα(即A+α與?A+α或 A-α與?A-α)，稱之為經(jīng)典矛盾命題;在不同域上的否定命題(A+α與?A-α或 A-α與?A+α)，稱之為非經(jīng)典矛盾命題或辯證矛盾.

實際上，矛盾命題在不同域上成立，矛盾也就被化解了，辯證矛盾就是已經(jīng)被化解或者解釋清晰后的矛盾.

由于公式的變化，公理在不同域中有些變化，經(jīng)典邏輯公理［4］在正域中變?yōu)?

經(jīng)典邏輯公理在反域中對應變?yōu)?

由于經(jīng)典邏輯的公理在正域和反域上都是成立的，因此對正反2個域上都成立的命題，不再用上標+α、-α來區(qū)分這2個域，而上標只標為α，或者與經(jīng)典邏輯公式一樣不標.如 Aα→(Bα→Aα)和A→(B→A)在正反2個域上都成立，這2個表示的是一個意思.

正域和反域往往不是對立的，它們中間還可能有一個既具備正域性質(zhì)又具備反域性質(zhì)的中間域，如正數(shù)和負數(shù)中間有中間數(shù)0.

在正域和反域中，若存在某些個體k1，k2，…，kn，通過某種反變關系 f，有 f(ki)=ki，則把個體 k1，k2，…，kn所形成的集合叫做關于映射f的不動域，記為 +e={k1，k2，…，kn}，-e={f(k1)，f(k2)，…，f(kn)}.由于 f(k1)=k1，f(k2)=k2，…，f(kn)=kn，所以 +e={k1，k2，…，kn}={f(k1)，f(k2)，…，f(kn)}=-e.

定義3 對于一個正域+α={t1，t2，…，tn}與反域 -α ={f(t1)，f(t2)，…，f(tn)}上的反變關系 f，若存在某些個體 k1，k2，…，kn，通過反變關系 f，有f(ki)=ki，則把個體 k1，k2，…，kn所形成的集合叫做關于映射f的不動域，統(tǒng)一記為

例2 若f(x)=-x，則正數(shù)領域、負數(shù)領域關于映射f(x)=-x的不動域是e={0}.

Aα是集合 α 上的命題，A+α、A-α、Ae分別是正域命題、反域命題和不動域命題.

不動域是從正域到反域的映射過程中保持原地不變的所有個體形成的集合，不動域既具備正域性質(zhì)，又具備反域性質(zhì).在不動域中P(k)與?P［f(k)］相互否定，即自身與自身相互否定.不動域與不動點相類似，函數(shù)的不動點，在數(shù)學中是指被這個函數(shù)映射到其自身的一個點.設f是從x到x的一個映射或運動，把每一點x移到點f(x).方程f(x)=x的解恰好就是在f這個運動下被留在原地不動的點，故稱不動點.不動點就是自指代方程的解［5］.

例3 設在平面上給定一個以O為中心，R為半徑的圓C，P是平面上異于點O的任一點，在射線OP上，考慮其中一點P'滿足OP·OP'=R2，稱P'為P的反演點，將點P變到點P'的過程稱為反演變換.反演變換是一個關于圓的對稱變換，容易證明，圓外的每一點P'通過變換對應于圓內(nèi)的每一點P，圓心O對應于平面上無窮遠點，圓上的點對應它自己，即圓上的點是關于反演變換的不動點.

因此，正域與反域是關于某個映射f的對稱變換，+α中的項t對應-α中的項，不動域中的項對應它自己.

1.4 正反域?qū)ε甲儞Q公理

下面將進一步研究跨域的命題之間的關系，即正命題P+α與反命題?P-α之間是什么關系?

首先考慮歐氏幾何與非歐幾何之間的關系，在證明非歐幾何(以羅氏幾何為例)的相容性時，使用了一種單位圓的內(nèi)部的線性變換，即非歐幾何的龐加萊模型.有了由一個圓代表的非歐平面和非歐變換，那么以此可建立非歐點、非歐直線、非歐角、非歐距離、非歐圓、非歐三角形等非歐概念，并建立相關的非歐命題.每一個非歐幾何的概念、命題都可以變換(翻譯)成歐氏幾何的概念和命題，反之也成立.

通過大量例子，可以發(fā)現(xiàn) P+α與?P-α是等價的，如歐氏幾何與羅氏幾何是同構(gòu)的，它說明一個命題等價于它反域中的否定命題，即應有公理P+α??P-α成立.

定義4 正域+α、反域-α、不動域e集合的并集U，即U=+α∪e∪-α，稱之為全域.

設命題P是關于正域+α、反域-α的一個劃分，若 P=+ α，則?P=- α，f:U→U，ti∈ + α，i∈- α，i=f(ti)，有 P(t)??P().

根據(jù)以上分析，可以引進一條新公理:P+α??P-α.

定義5 稱公理P+α??P-α為正反域?qū)ε甲儞Q公理.

1.5 悖論是邏輯思維領域的“不動點”

為了弄清悖論的機理，還是從分析一個函數(shù)自指代方程的不動點開始.

一般地，函數(shù)y=f(x)，如果用x取代y，得函數(shù)方程x=f(x)，則把x=f(x)叫做y=f(x)的自指代方程.如果方程x=f(x)有解x0，那么x0就是自指代方程的不動點.

點x0把實數(shù)集合分成2個性質(zhì)相反的集合，其中一個集合中的元素滿足性質(zhì)P，另一個集合中的元素滿足性質(zhì)?P，而不動點x0可以看成具有2個矛盾性質(zhì)P與?P的點，這就是悖論形成的內(nèi)在機理.

關于函數(shù)不動點有“Brouwer不動點定理”:設f∶［0，1］→［0，1］是連續(xù)映射，則必存在 x0∈［0，1］，使f(x0)=x0.這是一維的Brouwer不動點定理，不動點定理可以推廣到二維以及n維歐氏空間中(即平面上的單位閉圓盤B2具有不動點性質(zhì)，即任一連續(xù)映射f:B2→B2具有不動點).

不動點的性質(zhì)已經(jīng)不僅僅局限于代數(shù)和函數(shù)領域，它已經(jīng)延伸到集合論、離散數(shù)學和計算機等其他各個領域［6］.

下面看“羅素悖論”.集合分為2類:1)自身是自身的元素，看成是正域.即+α={x|x∈x};2)自身不是自身的元素，看成是反域.即-α={x|?(x∈x)}.現(xiàn)在構(gòu)造第2類集合全體組成的集合R，即x∈R??(x∈x)，問集合R是哪類集合?即用R去自指代.無論集合R是哪類集合，即能得到羅素悖論:R∈R??(R∈R)［7］.

在正域與反域之間存在一個不動域e={x|(x∈x)∧?(x∈x)}，它既有正域性質(zhì)，又有反域性質(zhì).羅素集合 R={x∶x?x}，是滿足 R∈R??(R∈R)的解，是正域與反域的不動點.次協(xié)調(diào)邏輯的創(chuàng)始者Da Costa與Arruda已經(jīng)初步建立了正反域集合理論，并研究了羅素集合的一些性質(zhì).同樣，邏輯思維領域也存在不動點，無論什么悖論，它們都是“正反域?qū)ε甲儞Q公理P+α??P-α”在不動域e上的特殊表現(xiàn)形式.

2 容納矛盾系統(tǒng)S與悖論定理

2.1 容納矛盾的新系統(tǒng)

在以上一階語言的基本符號、形成規(guī)則和定義下，引入上述公理和基本符號，可以在經(jīng)典命題演算邏輯［1］的基礎上建立如下系統(tǒng).

1)命題演算公理.

2)正反域?qū)ε甲儞Q公理:P+α??P-α.

3)演繹推理規(guī)則.分離規(guī)則:若├Aα，且├Aα→Bα，則├Bα.

定義6 由上述命題演算公理、正反域?qū)ε甲儞Q公理和演繹推理規(guī)則3個部分組成的系統(tǒng)，叫做容納矛盾系統(tǒng)S.

在系統(tǒng)S中，其中，α可以是+α，也可以是-α、e或U;并且在同一域中，它們都是經(jīng)典定理.其實α是+α、-α、e、U時，所有的變元都成立，這種所有變元都成立的公式就是經(jīng)典公式，以后可以省略其上標α.

2.2 相同域中的命題演算定理

由于容納矛盾系統(tǒng)S是經(jīng)典邏輯的擴展，所以所有經(jīng)典邏輯的定理與演算模式在系統(tǒng)S中都是有效的.

定理1 在相同的域中，經(jīng)典定理邏輯的所有定理都成立，如:

1)同一律:Aα→Aα;

2)排中律:Aα∨?Aα;

3)不矛盾律:?(Aα∧?Aα);

4)雙否律:??Aα?Aα.

定理2 Aα，?Aα├Bα，即經(jīng)典鄧斯·司各特定律仍然成立.

以上定理說明，經(jīng)典矛盾可以得出一切公式都是定理，仍然導致系統(tǒng)整個演算崩潰.

2.3 跨越正域與反域之間的命題演算定理

由于P+α、P-α是跨越了2個不同的領域，利用2個不同領域的變換，可以得到跨越了2個不同領域的一些新的演變定理.

定理 3 ?P+α?P-α.

定理3是正反域?qū)ε甲儞Q公理的另一種形式，說明了一個命題等價于它反域中的否定命題.例如“三角形內(nèi)角和等于180°”等價于反域中“三角形內(nèi)角和不等于180°”.

定理 4 ?(P+α?P-α).

定理4說明了同一個命題在2個不同領域中不是等價的.例如“實數(shù)域中，數(shù)的平方大于零(非零數(shù))”與“虛數(shù)域中，數(shù)的平方大于零”不等價.

定理 5 P+α∨P-α.

定理5說明了同一個命題必然在一個領域中成立.例如“實數(shù)域中，數(shù)的平方大于零(非零數(shù))”和“虛數(shù)域中，數(shù)的平方大于零”必然成立.

定理 6 ?(P+α∧P-α).

定理6說明了同一個命題必然在2個不同領域中不能同時成立.例如“歐氏幾何領域中，三角形內(nèi)角和是平角”和“非歐幾何領域中，三角形內(nèi)角和是平角”不能同時成立.

定理7 在系統(tǒng) S 中，?(P+α∧?P-α)，P+α∧?P-α都不是定理(這在以下的語義模型中可以得到檢驗)，即辯證矛盾不必然是定理.

定理 8 如果├P+α，則├P+α∧?P-α，即 P+α和?P-α可以同時成立，即辯證矛盾可以同時成立.

由于系統(tǒng)S是一個處理矛盾的系統(tǒng)，它也可以被看成是一個容納矛盾的系統(tǒng).在系統(tǒng)S中，有一些公式是不可證的(見定理9～10)，這在以后的語義模型中可以得到證明.

定理9 在系統(tǒng)S中，

都不是定理.

以上定理說明，非經(jīng)典矛盾P+α∧?P-α不會得出一切公式，因此不會導致整個演算崩潰.

定理 10 在系統(tǒng) S 中，?(P+α∧?P-α)與P+α∧?P-α都不是定理.

這在以后的語義模型中可以得到檢驗，即非經(jīng)典矛盾不必然是定理.

2.4 “悖論定理”與不動域中的命題演算定理

定理11(悖論定理)Pe??Pe.

證明 由正反域?qū)ε甲儞Q公理可以知道，在正域與反域中，P+α??P-α;在不動域中，P+e??P-e;在不動域中，+e=-e=e，Pe??Pe.所以 Pe是關于正反域上Pe??Pe的不動命題，正反域上的不動命題就是悖論，不動域命題是邏輯思維領域的不動點(筆者以后將證明“羅素悖論”也是集合論領域的一個不動點).因此可以看出“悖論”在系統(tǒng)S中不再是被排除的怪物，它是系統(tǒng)的一個定理.

定理12 在不動域中，命題?Pe→(Pe→Be)、Pe∧?Pe、Pe∧?Pe→Be、Be都是定理.

由以上不動域的定理可以看出，不動域e是一個悖論性的域，其中的命題既真又假，其中任何命題都成立，任何命題又都不成立.在這個悖論性域中不能建立命題演算，經(jīng)典邏輯演算在其中塌縮為一個邏輯命題，即Be.命題演算在不動域e中的崩潰，并不影響整個邏輯系統(tǒng)在正反域上的有效.我們并不能證明Bα是定理，因此整個邏輯系統(tǒng)是成功的.

Da Costa的次協(xié)調(diào)系統(tǒng)Cn沒有嚴格區(qū)分矛盾，矛盾仍然用A∧?A表示，該系統(tǒng)與經(jīng)典邏輯相沖突.系統(tǒng)S把矛盾放在不同域上區(qū)分為經(jīng)典矛盾和非經(jīng)典矛盾，系統(tǒng)是經(jīng)典系統(tǒng)的擴展，不與經(jīng)典邏輯相沖突.

Da Costa的次協(xié)調(diào)系統(tǒng)Cn使經(jīng)典邏輯的鄧斯·司各特定律Aα，?Aα├Bα失效，但且沒有科學的依據(jù).系統(tǒng)S中鄧斯·司各特定律并沒有失效，但是非經(jīng)典矛盾下“P+α，?P-α├B+α”是失效的［2］.

Da Costa的次協(xié)調(diào)系統(tǒng)Cn雖然可以容納矛盾，但是并沒有把矛盾解釋清晰.系統(tǒng)S表明P∧?P可以為真，實際上是矛盾的雙方在不同域中可以為真或不動域命題可以為真，即 P+α∧?P-α和 Pe∧?Pe可以為真.

系統(tǒng)S與經(jīng)典系統(tǒng)的對比及修正如表1，其中，正域與反域之間通過公理P+α??P-α可以轉(zhuǎn)換，辯證矛盾命題成立.

表1 各個域上命題演算的對比Table 1 The comparison of propositional calculus on each field

3 容納矛盾系統(tǒng)S的語義模型

3.1 語義解釋

定義7 容納矛盾系統(tǒng)S的模型是一個有序二元組(α，V)，記為 M=(α，V)，α 是正反世界上的個體域，V稱為以α為個體域的賦值，它滿足以下3個條件的函數(shù):

1)對于系統(tǒng)中的每一個t，都有V(t)∈α;

2)對于系統(tǒng)中的一個n元謂詞An(n=1，2，…)都有V(An)?αn，即V(An)是α×α×…×α的一個子集，是α上的一個n元關系;

3)正域 + α ={t1，t2，…，tn}，反域 - α ={1，2，…，n}，即正域與反域是對等的，U=+ α∪e∪ - α.

命題集合2α={A|A?α}，A∈2α是 α 的子集合.Aα是集合α上的命題，α是域的變元，只可能是+α、-α、e、U 4種.

定義8 容納矛盾系統(tǒng)S的模型為M=(α，V)，其中賦值V滿足S中公式A的遞歸定義:

2)如果A是公式B→C，V(B→C)=1當且僅當V(B)=0或 V(C)=1;V(B→C)=0當且僅當V(B)=1且V(C)=0;

3)如果A是公式B∧C，V(B∧C)=1當且僅當V(B)=1且 V(C)=1;V(B∧C)=0當且僅當V(B)=0或V(C)=0;

4)如果A是公式B∨C，V(B∨C)=1當且僅當V(B)=1或 V(C)=1;V(B∨C)=0當且僅當V(B)=0且V(C)=0;

5)如果 A是公式?B，V(?B)=1當且僅當V(B)=0;V(?B)=0當且僅當V(B)=1;

6)如果 A是公式 P+α或 P-α(P 是 +α、-α 的一個劃分)，V(P+α)=1 當且僅當V(P-α)=0;V(P-α)=1 當且僅當 V(P+α)=0;

7)如果 A是公式 Pe，V(Pe)=1當且僅當V(Pe)=0，Pe是正反域上的不動命題.

定義9 容納矛盾系統(tǒng)S中，若在單一的域α中，Aα在模型M=(α，V)中，恒有 V(Aα)=1，即 M?Aα，則公式Aα稱作系統(tǒng)S的有效公式，即為永真公式［8］.

3.2 元定理

依據(jù)以上解釋，可以證明容納矛盾系統(tǒng)S的元定理.

引理1 容納矛盾系統(tǒng)S中的全部公式可以翻譯成經(jīng)典命題演算系統(tǒng)的公式，即系統(tǒng)S與經(jīng)典命題演算系統(tǒng)等價.

證明 容納矛盾系統(tǒng)S中的任意公式，如果只在一個域中，即只含有單一的+α，則記為F(+α)，或含有單一的-α，則記為F(-α)，這種在一個域中的公式就可以被認為是經(jīng)典公式，統(tǒng)一記它為F(α).如果系統(tǒng)S中的任意公式跨越正反2個域，則統(tǒng)一記它為F(+α，-α).根據(jù)公理P+α??P-α可以得到P-α??P+α，任一個含有-α反域的公式可以替換成正域命題演算公式.因此，系統(tǒng)S中跨越正反2個域的公式F(+α，-α)，一定可以轉(zhuǎn)化成只含有單一+α的F(+α)，或只含有單一-α的F(-α)，即系統(tǒng)S中的任意公式可以轉(zhuǎn)化成經(jīng)典命題演算公式F(α).所以，容納矛盾系統(tǒng)S與經(jīng)典命題演算系統(tǒng)等價.

由于容納矛盾系統(tǒng)S與經(jīng)典命題演算系統(tǒng)等價，所以經(jīng)典邏輯的元定理在系統(tǒng)S中仍然成立，根據(jù)引理1可以很容易證明以下的定理13～18.證明方法與經(jīng)典邏輯系統(tǒng)方法相同［9-10］，這里不再給出.

定理13(可靠性定理) 若 S├Aα，則 M0?Aα或 V(Aα)=1.

定理14(一致性定理) 在+α與-α中，不存在公式 Aα，使得├Aα和├?Aα同時成立.

定理15(句法可判定性定理) 存在一般程序，判定一公式是否為容納矛盾系統(tǒng)S的定理.

定理16(語義可判定性定理) 存在一般程序，判定一公式是否為容納矛盾系統(tǒng)S的有效公式.

定理17(完全性定理) 在容納矛盾系統(tǒng)S中，若 M0?Aα或 V(Aα)=1，則 I0├Aα.

定理18(不一致性定理) 在不動域e中，存在公式Pe，使得├Pe和├?Pe同時成立.

4 結(jié)論

現(xiàn)行的所有數(shù)學分支基本上都可以建立在集合論的基礎上，但是，自從集合論發(fā)現(xiàn)了悖論以后，圍繞著數(shù)學基礎的爭論產(chǎn)生了三大學派——形式主義、邏輯主義和直覺主義.無論哪個學派，關于數(shù)學基礎的最終意義目前還沒有解決.

什么是數(shù)學基礎?筆者認為數(shù)學基礎就是全部數(shù)學的管理體制，當然它也是數(shù)學的一部分.這個管理機構(gòu)有多個層次，最基本的應該是邏輯系統(tǒng)，次一級的是各個具體領域中的數(shù)學公理系統(tǒng)，數(shù)學公理系統(tǒng)只在具體某個數(shù)學領域中起作用，而邏輯系統(tǒng)無論在哪個層次都是通用的.

為什么要建立數(shù)學基礎?不建立數(shù)學基礎不行嗎?筆者認為建立數(shù)學基礎的原因是數(shù)學中出現(xiàn)了悖論、矛盾等.為了在數(shù)學中化解矛盾，就必須建立數(shù)學基礎，它是數(shù)學發(fā)展到一定階段的必然產(chǎn)物.就像人類社會的國家政府機構(gòu)的建立一樣，是矛盾發(fā)展到不可調(diào)和的產(chǎn)物.

由于矛盾命題在不同領域中都可以為真，所以在容納矛盾系統(tǒng)S中，任何數(shù)學真理都只是在一定的條件下是真理，超出一定的條件它就成了謬誤.任意命題A本身并沒有真假，或者既可能是真也可能是假，當它相對于自身的域都是真的，相對于非自身的域都是假的.因此，數(shù)學真理都是相對的，只有在一個相對于自身的領域，數(shù)學真理才具有絕對性.

［1］S.C.克林.元數(shù)學導論［M］.莫紹揆，譯.北京:科學出版社，1984.

［2］桂起權.次協(xié)調(diào)邏輯與人工智能［M］.武漢:武漢大學出版社，2002.

［3］傅章秀.幾何基礎［M］.北京:北京師范大學出版社，1984.

［4］HAMILTON A G.Logic for mathematicians［M］.Cambridge，UK:Cambridge University Press，1978.

［5］江澤涵.不動點類理論［M］.北京:科學出版社，2011.

［6］張奠宙，顧鶴榮.不動點定理［M］.沈陽:遼寧教育出版社，1995.

［7］汪芳庭.數(shù)學基礎［M］.北京:科學出版社，2001.

［8］何華燦.泛邏輯學原理［M］.北京:科學出版社，2001.

［9］桂起權，陳曉平.辯證邏輯形式化的研究綱領［J］.云南社會科學，1992(5):43-49.

［10］胡世華，陸鐘萬.數(shù)理邏輯基礎［M］.北京:科學出版社，1981.