王 婷 李 濤 費(fèi)樹岷 楊 欣

(1東南大學(xué)復(fù)雜工程系統(tǒng)測量與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210096)

(2南京航空航天大學(xué)自動化學(xué)院，南京 210016)

混合變時延中立型控制系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性新準(zhǔn)則

王 婷1李 濤2費(fèi)樹岷1楊 欣2

(1東南大學(xué)復(fù)雜工程系統(tǒng)測量與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210096)

(2南京航空航天大學(xué)自動化學(xué)院，南京 210016)

研究了具有混合區(qū)間變時延和分式不確定性的中立型控制系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性.首先，在系統(tǒng)參數(shù)不確定性不存在時，通過構(gòu)造改進(jìn)型的Lyapunov-Krasovskii泛函，利用Jesnen積分不等式并引入少量自由權(quán)矩陣，綜合矩陣凸組合與交互式凸組合等方法，有效估計了Lyapunov-Krasovskii泛函導(dǎo)函數(shù)上界，并基于線性矩陣不等式建立了時延相關(guān)的漸近穩(wěn)定性判據(jù).考慮系統(tǒng)參數(shù)具有不確定性時，通過引入改進(jìn)的有界實(shí)引理，給出了系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性準(zhǔn)則，且易于借助Matlab工具箱中的LMI進(jìn)行驗(yàn)證.數(shù)值算例和比較結(jié)果說明該準(zhǔn)則的保守性較弱.

中立型控制系統(tǒng);時延導(dǎo)數(shù)相關(guān);魯棒穩(wěn)定性;不確定性;線性矩陣不等式

時延現(xiàn)象廣泛存在于各種實(shí)際的控制系統(tǒng)中.時延的存在往往會導(dǎo)致系統(tǒng)控制效果不佳，甚至造成系統(tǒng)不穩(wěn)定.因此，分析時延現(xiàn)象對系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響以及如何利用或消除這種影響是當(dāng)前控制理論領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一.許多控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可用中立型泛函微分方程來描述［1-2］，即時延同時存在于狀態(tài)及其導(dǎo)函數(shù)中，這類動態(tài)系統(tǒng)因而被稱為時延中立型系統(tǒng)，如人口動態(tài)模型、分布式網(wǎng)絡(luò)模型、加熱溫度控制模型等［3］.對這類系統(tǒng)的研究主要圍繞著采用有效方法以減少穩(wěn)定性判據(jù)保守性而展開［4-15］.時延系統(tǒng)結(jié)論的保守性可表征為關(guān)于時延常數(shù)的靈敏度，若結(jié)論相對于時延靈敏度較高，則其保守性相對較弱.近十年來，研究者們得出了許多關(guān)于時延中立型控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的結(jié)論［4-13］.Samli等［4-5］通過構(gòu)造特殊的Lyapunov-Krasovskii泛函，探討了一般時延中立系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性問題.Gao等［6-7］在對穩(wěn)定性進(jìn)行分析的過程中，將非線性項(xiàng)作為擾動項(xiàng)進(jìn)行處理.Han［8-9］利用時延分割方法，建立了判定時延中立型系統(tǒng)保守性較小的穩(wěn)定性準(zhǔn)則.此外，在實(shí)際情形中，系統(tǒng)精確的數(shù)學(xué)模型往往難以得到，時延中立型系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性受到了廣泛關(guān)注［10-13］，然而在估計Lyapunov-Krasovskii泛函導(dǎo)函數(shù)上界時，一些重要的函數(shù)項(xiàng)常被忽略，且沒有考慮變時延導(dǎo)函數(shù)下界對結(jié)論保守性與適用范圍的影響［14］.凸組合方法因能有效降低保守性而得到了廣泛應(yīng)用［13-14］.Park等［15］提出了一種交互式凸組合方法，可更為有效地降低保守性.

本文研究了變時延與分布時延不確定中立型控制系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性.通過構(gòu)造新穎的Lyapunov-Krasovskii泛函，并綜合凸組合技術(shù)，有效估計了Lyapunov-Krasovskii泛函導(dǎo)函數(shù)的上界.在考慮時延及其導(dǎo)函數(shù)上下界均可測的情況下，基于LMIs，給出了系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的相關(guān)判據(jù).最后，利用數(shù)值算例說明該準(zhǔn)則的有效性.

1 系統(tǒng)描述與引理

式中，x(t)∈Rn為狀態(tài)向量;C∈Rn×n為常數(shù)矩陣;A(t)=A+ ΔA(t)，B(t)=B+ ΔB(t)，D(t)=D+ΔD(t)，其中 A，B，D∈Rn×n為常數(shù)矩陣.

假設(shè)1v(t)，τ(t)為時變函數(shù)且滿足

式中，τ0，τm，μ0，μm，vm，σ0，σm為給定常數(shù).

假設(shè)2 ΔA(t)，ΔB(t)，ΔD(t)為未知時變矩陣函數(shù)且滿足

考慮如下形式的混合時延中立型控制系統(tǒng):

式中，F(xiàn)，J，Ei(i=1，2，3)為已知常數(shù)矩陣;Λ(t)為未知時變函數(shù)矩陣，且滿足 ΛT(t)Λ(t)≤I.

引理1對于任意常數(shù)矩陣W∈Rn×n，W=WT＞0，函數(shù)0≤r(t)≤rM，及向量函數(shù)˙x:［－rm，0］→Rn，則

引理2 函數(shù)f1(t)，f2(t)，…，fN(t):Rm→R在Rm子區(qū)間Γ取正值且滿足f1(t)/α1+f2(t)/α2+…+fN(t)/αN:?！鶵，其中 αi＞0 且 ∑iαi=1，則函數(shù)在區(qū)間 Γ 上的交互凸組合函數(shù)fi(t)滿足，對任意函數(shù)成立.

引理3 如果I－GTG ＞0成立，定義 Υ(t)={Δ(t)=Σ(t)［I－GΣ(t)］－1，ΣT(t)Σ(t)≤I}，并給定適當(dāng)維數(shù)矩陣 H，J，R且 H 對稱，如果 H+JΔ(t)R+(JΔ(t)R)T＜0成立，則存在常數(shù) δ＞0使得

2 時延相關(guān)穩(wěn)定性準(zhǔn)則

首先，考慮系統(tǒng)(1)不確定性不存在的情況，即考慮如下的正則系統(tǒng):

可得如下定理.

定理 1 假定‖C‖ ＜1，對于條件(2)和(3)中給定常數(shù) τ0，τm，μ0，μm，υ0，υm，σ0，σm，如果存在n×n正定常數(shù)矩陣 P，P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7，Q，R，U，V，W，以及任意n×n常數(shù)矩陣 H1，H2，H3，X，Y，Z，使得下式成立:

式中

則系統(tǒng)(4)是漸近穩(wěn)定的.

證明 基于式(2)和(3)，選取如下的Lyapunov-Krasovskii泛函:

借助引理1，計算出Vi(x(t))(i=1，2)沿著系統(tǒng)(4)狀態(tài)軌線的導(dǎo)函數(shù)，即

根據(jù)引理2，由式(5)和式(9)可得

同時，對于任意適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣Hi(i=1，2，3)，由式(4)可得

綜合式(8)～(13)，可以推導(dǎo)出

式中

根據(jù)凸組合定義，式(6)能保證Υ(t)＜0成立，即一定存在一個正常數(shù)χ＞0，對于任意x(t)≠0，使得成立.根據(jù) Lyapunov-Krasovskii穩(wěn)定性定義可知，系統(tǒng)(4)是漸近穩(wěn)定的.證明完畢.

根據(jù)定理1及引理3，得到系統(tǒng)(1)的魯棒穩(wěn)定性判據(jù).

定理 2 假定‖C‖ ＜1，對于條件(2)和(3)中給定的常數(shù) τ0，τm，μ0，μm，υ0，υm，σ0，σm，如果存在n×n正定常數(shù)矩陣 P，P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7，Q，R，U，V，W，任意n×n常數(shù)矩陣 H1，H2，H3，X，Y，Z 以及常數(shù) δj＞0，μj＞0，使得下式成立:

則系統(tǒng)(1)是魯棒穩(wěn)定的.

證明 根據(jù)定理1的證明方法和結(jié)論，分別將結(jié)論(6)中的矩陣A，B，D用A(t)=A+FΔ(t)E1，B

根據(jù)引理3可知，一定存在2個常數(shù) ρj＞0，υj＞0，使得

成立.根據(jù)Schur補(bǔ)定義，假定δj=ρ－2j，μj=υ－2j，可以得到式(17)等價于式(16)成立，因此定理2成立.證明完畢.

注1 定理1與定理2在估計Lyapunov-Krasovskii泛函導(dǎo)函數(shù)上界時，巧妙綜合了凸集合定義和交互式凸組合定義，給出了判定系統(tǒng)(1)與系統(tǒng)(4)全局穩(wěn)定且保守性較弱的充分性條件.式(5)，(6)，(14)和(15)所表示的穩(wěn)定性準(zhǔn)則可用Matlab工具箱中的LMI進(jìn)行驗(yàn)證.

注 2 當(dāng)式(7且定理1和2在時延變化率下界不可測時，結(jié)論仍然成立.

3 數(shù)值算例

例1 考慮時延中立型控制系統(tǒng)(4)如下:

式中，0≤c＜1.

設(shè)定c=0.1，υm=1，σ0=σm=0.當(dāng)時延τ(t)導(dǎo)函數(shù)下界可測但不考慮時，由表1可知，文獻(xiàn)［11］中定理1的保守性較本文中定理1弱一些，但差別不明顯.當(dāng)設(shè)定時延τ(t)導(dǎo)函數(shù)下界μ0=0.4時，由表2可知，與文獻(xiàn)［11］中的結(jié)論相比，定理1的保守性明顯降低.因此，當(dāng)時延變化率下界可測時，考慮下界有利于降低結(jié)論保守性.

表1 μ0未知時τm的上界值

表2 μ0已知時τm的上界值

例2 考慮如下所示的不確定性時延中立型系統(tǒng)［15］:

式中，0 ＜c＜1;δi(i=1，2，3，4)為未知參數(shù)，且滿足設(shè)定c=0.1，vm=0.5，σ0=μ0=0，σm=0.1，μm取不同值時，得到τm的上界值(見表3).由表3可知，本文中定理2的保守性明顯弱于文獻(xiàn)［13］中的定理1.

4 結(jié)語

表3 μ0，σ0，vm已知時 τm的上界值

本文研究了具有變時延與分布變時延不確定中立型系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性.通過構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii泛函，利用廣義凸組合定義與Jensen不等式，在同時考慮變時延與導(dǎo)函數(shù)上下界可測時，基于線性矩陣不等式，建立了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定與魯棒穩(wěn)定的相關(guān)判據(jù).最后，通過數(shù)值算例說明該判據(jù)具有較大范圍的適應(yīng)性.

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Novel criterion on robust stability for neutral control systems with mixed time-varying delays

Wang Ting1Li Tao2Fei Shumin1Yang Xin2

(1Key Laboratory of Measurement and Control of Complex Systems of Engineering of Ministry of Education，Southeast University，Nanjing 210096，China)
(2School of Automation Engineering，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China)

The robust stability of neutral control systems with mixed interval time-varying delays and fractional uncertainties is investigated.First，for the system without uncertainties，an improved Lyapunov-Krasovskii functional is constructed.By using the Jesen integration inequality and introducing some free-weighting matrices，the upper bound of the derivative of the Lyapunov-Krasovskii functional is efficiently estimated by combining the matrix convex technique and the reciprocal convex technique and a delay-dependent asymptotical stability criterion is derived based on linear matrix inequalities.When the uncertainties are existent，the sufficient condition on robust stability is established by utilizing the improved bounded real lemma.The conclusion can be checked by the LMI in Matlab toolbox.Finally，the numerical examples and the comparison results show that the conclusion is less conservative than some existent ones.

neutral control system;delay-derivative-dependence;robust stability;uncertainty;linear matrix inequality

TP273

A

1001－0505(2012)02-0274-06

10.3969/j.issn.1001 －0505.2012.02.016

2011-08-26.

王婷(1980—)，女，講師，maygirl1212@sohu.com.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(60904023，60905009，61004032，61172135)、江蘇省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(BK2010507)、國家博士后基金資助項(xiàng)目(201003546).

王婷，李濤，費(fèi)樹岷，等.混合變時延中立型控制系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性新準(zhǔn)則［J］.東南大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2012，42(2):274-279.［doi:10.3969/j.issn.1001 －0505.2012.02.016］