韓擁軍

(銅陵職業(yè)技術學院，安徽 銅陵 244000)

關于復射影空間中若干子流形問題的研究

韓擁軍

(銅陵職業(yè)技術學院，安徽 銅陵 244000)

文章從系統(tǒng)層面整體分析了復射影空間中的各種子流形，對其進行簡單分類和典型分析，研究了子流形的曲率與幾何的數(shù)學關系，掌握了復射影空間中若干子流形的基本特質，證明了所推理的若干積分公式的正確性。

復射影空間；CR子流形；一般子流形；全臍子流形

一、全實全臍和全實偽臍子流形定理研究

1.準備

多維度的向量空間，假設為n維，定義 Cn，列舉多個（n）復數(shù)以一定序列排列成為數(shù)組，構建復向量空間。將其中各種元素標記為Z,集合設定為Z=(Z1，…Zn)。

故可認定h為Cn上的K度量，取其實為

2.定理

假定CPi+j是i+j維的復射影空間，全純截曲率為3，其實維子流形上的一點的切向空間如果被變換到自身的話，那么就可以將CPi+j定義為是全純子流形；但是，如果其實維子流形上的一點的切向空間沒有變換到其自身上，而是在該點的一個垂直空間上，那樣的話CPi+j的定義就為全實子流形。上述兩種定義的不變子流形是CPi+j唯一具有的，也可以理解為CPi+j的變化對于其中的任何一點的切向的空間的曲率是不會產生影響的。

對于CPi+j的全實子流形

3.基本公式

CPi+j基本公式：

4.定理證明

二、具有平坦法叢的一般極小子流形

1.基本概念

假定M是一個具有近復結構的復流形。子流形N作為以相等距離浸入于復流形M。如果在N的浸入子流形上，取屬于它的任何一點的切向空間，如果按照近復結構的變換方式使得在這個點的垂直空間內能夠找到它的切向空間，那么我們稱N是屬于M的一個全實子流形或全純子流形；如果N上任意一點的變換方式正好與前者相反，那么我們稱N是M的一般性的子流形。一個特殊的情況就是，如果當且僅當滿足codimN=1時，那么N被稱為是屬于M的實超曲面。

2.定理

（?。┚哂腥珳y的、平坦法叢的一般極小子流形在復射影空間中是不存在的；

三、CR-子流形

接下來我們就開始證明，

接下來再對上式中最右端中括號中的項進行計算，

由上式的計算結果，我們可以得到以下結論：

由此定理（ⅱ）的證明就完成了。

4.基本公式

（?。┘僭OCPm的CR-流形是M2i+j，且M2i+j是無邊界緊致的可以定向的連通流形。對于一個光滑的映射f：M2i+j→R作為一個次調和函數(shù)應用在M2i+j流形上，也就是能夠滿足不等式，由此可得，函數(shù)f是一個常值函數(shù)。即表示為：

同理，假設CPm的CR-極小子流形是M2i+j，且M2i+j是無邊界緊致的可以定向的連通流形。對于一個光滑的映射f： M2i+j→R作為一個次調和函數(shù)應用在M2i+j流形上，也就是能夠滿足不等式，由此也可得到函數(shù)f是一常值函數(shù)。即表示為：

在這里我們要考慮的一種特殊情況就是，對于一般CR-極小子流形M2i+j，能夠滿足的是：

（ⅱ）假設CPm的CR-流形是M2i+j，且M2i+j是無邊界緊致的可以定向的平坦法叢的連通流形。那么，

[1]Chen B Y，Ogiue K.On totally real submanifolds[J].Trans AMS，1974,193:257-266.

[2]徐林林，薛春華.微分幾何[M].合肥：中國科學技術大學出版社，1997.

[3]Chern S S,do Carmo M,Kobayashi S,Minimal submanifolds of a sphere with second fundamental form of constant length,Functional Analysis and Related Fields[M].Spring-Verlage,1970,59-75.

[4]Yano K,Kon M.Generic submanifolds[J].Ann.Mat.Pura. Appl,1980,123:59-92.

[5]Bejancu A,Kon M,Yano K.CR-submanifolds of a complex space form[J].J.Diff.Geom.,1981,16:137-145.

[6]Tashiro Y,Tachibanna S.On Fubinian and C-Fubinian manfolds[J].Kodai Math.Sem.Rep.,1963,15:176-183.

[7]沈一兵.關于復射影空間中的一般極小子流形[J].數(shù)學進展，1986,15（2）：205-210.

[8]東瑜昕.復射影空間中的CR-子流形[J].數(shù)學學報，1993,36（3）：321-334.

[9]Kon M.Real minimal hypersurface in a complex projective space[J].Proc.A.M.S.,1980,79:285-288.

（責任編輯：劉忠義）

O174

A

1671-752X（2012）02-0067-03

2012-04-26

韓擁軍（1968-），女，安徽銅陵人，銅陵職業(yè)技術學院信息工程系講師，碩士，研究方向：泛函微分方程。

2012年安徽省教育廳一般項目（編號：KJ2012B197）研究成果。