潘亞麗

(淮北師范大學 數(shù)學科學學院，安徽 淮北 235000)

帶粗糙核參數(shù)型的Marcinkiewicz積分在齊次Morrey－Herz空間的有界性

潘亞麗

(淮北師范大學 數(shù)學科學學院，安徽 淮北 235000)

證明了帶粗糙核參數(shù)型的Marcinkiewicz積分在齊次Morrey－Herz空間及其在弱齊次Morrey－Herz空間上的有界性，推廣了以往的結果.

參數(shù)型Marcinkiewicz積分算子;粗糙核;齊次Morrey－Herz空間

0 引言

設 Sn－1為Rn(n≥2)中的單位球面，dσ=dσ(x')表示 Sn－1上的Lebesgue測度.

設 Ω∈L1(Sn－1)是零次齊次函數(shù)，滿足

其中

Stein[1]證明了若 Ω在 Sn－1上滿足 Lipα(0＜α＜1)條件時，μΩ是(p，p)和弱(1，1)有界的，其中1＜p＜2.H?mander[2]在1960年首先定義了參數(shù)型Marcinkiewicz積分并考慮了它的 Lp有界性問題，隨后參數(shù)型Marcinkiewicz積分的研究受到更多學者的青睞.近來，文獻[3]中考慮了帶有變量核參數(shù)型Marcinkiewicz積分與 Lipβ(Rn)函數(shù)生成的交換子在Herz型Hardy空間上的有界性.同時，Lu等[4]引進了齊次Morrey－Herz空間.Marcinkiewicz積分算子在此空間的有界性結論也陸續(xù)出現(xiàn).本文將建立帶粗糙核參數(shù)型的Marcinkiewicz積分在齊次Morrey－Herz空間上的有界性.

先給出一些必要的定義.帶粗糙核參數(shù)型的Marcinkiewicz積分定義如下:

設 k∈Z，令 Bk=｛x∈Rn，|x|≤2k｝，Ck=BkBk－1，并記 χk=χCk為 Ck的特征函數(shù).

其中

其中

1 定理及證明

本文的主要結論如下:

定理1 對某個 r＞0，設 Ω∈Lr(Sn－1)是Rn的零階齊次函數(shù)，且滿足(1)式，假如0＜p≤∞，1＜q＜∞，λ＞0，若 α和 q滿足下列條件之一:

注:ρ=1時，以上結論即是文獻[5]中的相應結果，因此我們的工作推廣了已有的結果.

為證定理需要以下引理

引理2[7]如果 Ω∈L log L(Sn－1)，ρ＞0，則μΩρ是弱(1，1)型，即

其中 C是常數(shù)，不依賴 f.|E|表示集合 E的Lebesgue測度.

于是

首先考察 F2，由在 Lq(Rn)上的有界性可得

對F1考察

注意到 x∈Ck，y∈Cj，j≤k－2，則|x－y|～|x|，于是

由Minkowski不等式及(3)式，有

下面估計 E2，由Minkowski不等式，并注意到|x－y|～|x|，有

最后估計 F3，注意到 x∈Ck，y∈Cj，j≥k+2，有|x－y|～|y|，于是

類似于 E1，E2的估計方法有

于是定理結論在條件(i)下成立.

下面證明在條件(ii)下定理結論也成立.首先，F(xiàn)2的估計與條件(i)下的估計相同，下面估計 F1，由Minkowski不等式和H?lder不等式

同理，類似條件(i)的證明可得

則

定理1證畢.

先估計 V1，用定理1的證明中對E1'的估計方法，由Minkowski不等式，可知

對 V2，同定理1中對的估計和上面對 V1的估計，易得

因此有

定理2得證.

[1]STEIN E M.On the function of Littlewood－Paley，Lusin and Marcinkiewicz[J].Trans Amer Math Soc J，1958，88:430－466.

[2]H?MANDER L.Estimates for translation invariant operators in Lpspaces[J].Acta Math，1960，104:93－140.

[3]陶祥興，位瑞英.可變核Marcinkiewicz積分交換子在Herz型Hardy空間上的有界性[J].數(shù)學物理學報，2009，29A(6): 1 508－1 517.

[4]LU Shanzhen，Xu Lifang.Boundedness of rough singular integral operators on the homogeneous Morrey－Herz spaees[J].Hokkaido Mathematical Journal，2005，34(2):299－314.

[5]陶雙平，司穎華.帶粗糙核的Marcinkiewicz積分算子在齊次Morrey－Herz空間的有界性[J].西北師范大學學報:自然科學版，2007，43(1):1－7.

[6]MUCKENHOUPT B.Weighted norm inequalities for singular and fractional integrals[J].Trans Amer Math Soc，1971，161: 249－261.

[7]FAN Dashan，SATO S.Weak type(1，1)estimates for Marcinkiewicz integrals with rough kernels[J].Tohoku Math J，2001，53:265－284.

[8]陳冬香，陳杰誠.帶粗糙核的Marcinkiewicz積分算子在Herz空間的有界性[J].數(shù)學進展，2005，34(5):591－599.

[9]陶祥興，張松艷.非齊次粗糙核參數(shù)型Marcinkiewicz積分算子 Hp的有界性[J].數(shù)學學報:中文版，2011，54(1):97－110.

[10]瞿萌，束立生.一類帶粗糙核的Marcinkiewicz積分算子 Lp的有界性[J].山東大學學報:理學版，2011，46(6):22－28.

[11]陳冬香，陳曉莉，傅尊偉.具有粗糙核的交換子在齊次Morrey－Herz空間的CBMO估計[J].數(shù)學學報:中文版，2009，52 (5):861－872.

[12]張松艷，陶祥興.廣義Campanato空間上粗糙核參數(shù)型Marcinkiewicz積分[J].數(shù)學物理學報，2010，30A(1):154－166.

[13]潘亞麗，王信松，李昌文.分數(shù)次積分在加權Hardy空間上的有界性[J].南京大學學報數(shù)學半年刊，2010，27(1):134－140.

Abstract:The boundedness results on the homogeneous Morrey－Herz spaces and weak Morrey－Herz spaces were established for the parametric Marcinkiewicz integral operator with rough kernels，which extends results that have been achieved in previous research.

Key words:parametric Marcinkiewicz integral;rough kernels;homogeneous Morrey－Herz spaces

Boundedness of Parametric M arcinkiew icz Integrals w ith Rough Kernel on the Homogeneous M orrey－Herz Spaces

PAN Ya－li
(School of Mathematical Sciences，Huaibei Normal University，235000，Huaibei，Anhui，China)

O 174.2

A

2095－0691(2012)03－0001－07

2012－01－05

安徽省教育廳自然科學研究重點項目(2006KJ069A);安徽省高等學校省級自然科學研究項目(KJ2011B152，KJ2012B166);淮北師范大學青年科研項目(2011xqxm－42)

潘亞麗(1981－ )，女，安徽淮北人，講師，碩士，研究方向:調(diào)和分析與逼近論.