李 濤，張洵安

(西北工業(yè)大學 力學與土木建筑學院，西安 710129)

巨子型有控結構體系是國內外學者較為關注的一種新型結構體系，這種結構體系是在巨型框架結構的基礎上，解除主結構與子結構之間的約束(見圖1，圖2)，使子結構具有一定的質量調頻功能，形成一種新的結構控制原理和方法［1－4］。MSCSS的構造特點，決定了該結構體系具有大跨度的巨型梁，為了減小在豎向荷載作用下的安全隱患，應在巨型梁與子結構層之間設置附加柱，附加柱也是巨子型有控結構體系的構造特點之一。

圖1 巨型框架結構Fig.1 Mega frame structure

圖2 巨子型有控結構體系Fig.2 MSCSS

由于附加柱層的附加柱數(shù)量較少，在水平荷載作用時，附加柱層不可避免地成為結構體系的薄弱層。附加柱對巨子型有控結構體系在風及地震作用下的動力響應有著較大的影響［5］，隨著對MSCSS的不斷深入研究，學者們發(fā)現(xiàn)，不僅附加柱的數(shù)量對MSCSS的動力特性有較大影響［6］，而且附加柱與巨型梁之間連接方式對結構的影響也不容忽視，因此有必要對該層構件在不同連接方式情況下的動力響應進行研究，找到附加柱最合理的連接方式。

近年來發(fā)展的概率密度演化理論，從狀態(tài)空間描述和隨機事件描述的不同角度理清了概率守恒原理的物理意義［7］，可以較好地用來進行非線性系統(tǒng)的隨機反應分析。工程結構在具有強烈隨機性的地震、風等的荷載作用下，將會表現(xiàn)出很強的非線性。以往對巨子型有控結構體系的研究是基于對線性確定性系統(tǒng)的分析，所采用的力學結構計算參數(shù)及荷載激勵都是一些確定的數(shù)量?，F(xiàn)有研究表明，只有在本原系統(tǒng)關于這類模型系統(tǒng)的變異性較小時，上述分析才能給出較為實際的結果［8］。為了更準確地描述當材料特性具有隨機性時巨子型有控結構體系在隨機激勵下的動力特性，找到附加柱與巨型梁之間的合理連接形式，本文利用切球點法，確定結構以彈性模量和地震加速度峰值為隨機變量的代表點，借鑒概率密度演化方法，得出不同連接方式情況下附加柱應力的概率密度函數(shù)，求出附加柱應力的均值及標準差，在與無釋放水平約束情況進行對比后，提出釋放附加柱與巨型梁之間的水平約束更有利于提高附加柱層的抗震性能，從而進一步完善了MSCSS的構造理論。同時，不規(guī)則的附加柱應力概率密度函數(shù)曲線中計算結果表明，MSCSS在受到平穩(wěn)隨機地震激勵時，其附加柱應力響應為非平穩(wěn)隨機過程，而MSCSS的其它動力響應的平穩(wěn)性則有待進一步研究。

1 概率密度演化方法

1.1 概率密度演化理論

概率密度演化理論的基礎是根據概率守恒原理，導出廣義的概率密度演化方程，從而獲得結構響應概率信息。概率密度演化在求解動態(tài)系統(tǒng)響應量的統(tǒng)計規(guī)律方面實現(xiàn)了對客觀系統(tǒng)的正確反映，在統(tǒng)計規(guī)律從輸入量傳入到輸出量的求解過程中，降低了計算的難度和工作量。

對于一個n自由度的非線性結構，在考慮結構和激勵的隨機性后，其運動方程可以表示為［10］:

在研究關鍵部位的應力和應變狀態(tài)，關鍵截面的內力和變形狀態(tài)時，可以將所要研究的物理量表示為Z=(Z1，Z2，…，Zm)，則 Z 可以表示為:

根據概率守恒原理，由(Z(t)，Λ)構成的系統(tǒng)是概率保守的，聯(lián)合概率密度 pZΛ(z，ζ，t)滿足廣義概率密度演化方程［10］:

初始條件為:

式中z0為Z(t)的初始值，δ(·)是Dirac函數(shù)。通過數(shù)值積分方法對方程(5)進行求解，可以得到pZΛ(z，ζ，t)，而Z(t)的概率密度函數(shù)可以表示為:

本文中所要考察的物理量為巨子型有控結構體系附加柱的應力，因此，m=1，僅需要求解一維偏微分方程。從式(5)可以看出，概率密度的遷移是由結構反應的速度引起的［10］。

1.2 隨機變量空間中離散代表點的選取

概率密度演化方法的核心之一就是在隨機變量空間中選出離散代表點，在此基礎上進行確定性分析，利用差分方法，求解概率密度方程，進而獲得結構的動力可靠度。根據隨機變量數(shù)量的不同，可以采用不同的選點方法:當僅有一個隨機變量時，可以采用等間距選點方法;有兩至三個隨機變量時，可采用文獻［11］中描述的切球點法進行選點;有多個隨機變量時，則可以采用文獻［12］中描述的數(shù)論點法進行選點。

本文中對巨子型有控結構體系在地震荷載作用下附加柱應力響應的分析中，主要考查當材料的彈性模量隨機變化及地震波幅值隨機變化的情況。這樣，結構材料與激勵共有兩個隨機變量，可采用平面問題的切球點法進行選點。兩個隨機變量為ζ1，ζ2，若λ為標準隨機變量空間中的選點邊界(對于標準正態(tài)分布可取 λ =3.2 ～4.0［11］)，ζ1，ζ2滿足:

若取相外切的等半徑圓的層數(shù)為4層，向外擴展1層，則根據上述選點方法，可選取91個離散代表點，對應91組彈性模量值和地震波幅值，對每一組值在SAP2000中進行確定性分析，求得附加柱的應力及應力的變化速度。之后按照式(7)求解附加柱應力的概率密度函數(shù)，從而可以求出附加柱應力響應的均值及標準差。

2 MSCSS有限元模型及動力計算

2.1 有限元模型

MSCSS的有限元模型如圖3所示。

巨子型有控結構采用主框架3層，每子框架各10層。巨結構層高自下而上依次為46 m、48 m、48 m，子結構層高4 m，結構總寬32 m;巨型柱采用橫截面為1.5 m ×1.5 m ×0.04 m 的方鋼，巨型梁采用截面為1.5 m×1.5 m ×0.03 m 的工字鋼。子結構柱截面為0.3 m ×0.3m ×0.01 m 的方鋼，子結構梁截面為 0.3 m×0.3 m×0.008 m的工字鋼。子結構頂部兩層設置粘滯阻尼器，平面簡化模型見圖3。

圖3 巨子型有控結構體系簡化模型Fig.3 MSCSS simplified model

自然界的很多現(xiàn)象都可以近似的用Gauss過程來描述，因此，在本次研究中，鋼材彈性模量按照以2.06×1011N/m為均值［13］，變異系數(shù)為0.11正態(tài)分布的隨機變量考慮，此時的MSCSS為剛度和阻尼(阻尼矩陣按照質量和剛度比例阻尼計算)均含有隨機變量的隨機結構;而結構所受到的激勵幅值為隨機變量η的Elcetrol地震波，η滿足以6 m/s2為均值，變異系數(shù)為0.11的正態(tài)分布。按照切球點法，選取91組彈性模量及地震波值進行確定性分析?？紤]到材料具有包辛格效應，在計算分析過程中涉及到在塑性階段的反復加卸載，桿件的恢復力模型采用雙線型Kinematic Hardening(隨動硬化)滯回模型。

圖4 恢復力曲線Fig.4 Restoring force curve

2.2 動力計算

利用結構計算軟件SAP2000對MSCSS進行非線性動力分析，在彈性模量及激勵為隨機變量時，巨子型有控結構的動力方程可以表述為:

采用Hiber-Huges-Taytor(HHT)法進行動力方程的求解，HHT法本質上仍然是Newmark方法的發(fā)展，這一方法是Hughes在1987年提出的。HHT法將α系數(shù)引入并修改結構動力方程，如式(12)所示，并對之使用Newmark方法進行求解。

式中α參數(shù)取值為0～1/3之間［14］。

3 結果分析

圖4為一條典型地震動輸入時第一子結構第六層的恢復力與層間位移曲線。從圖中可見，MSCSS已經處于強非線性狀態(tài)，利用概率密度演化方法，可以同時考慮結構參數(shù)與激勵隨機性并相對比較簡單地得到結構的非線性地震響應的解答。

將巨子型有控結構體系分為解除附加柱與巨型梁之間的水平約束(以下簡稱解除附加柱約束)和不解除附加柱與巨型梁之間水平約束(以下簡稱不解除附加柱約束)兩種情況。

圖5為兩種情況下巨子型有控結構體系附加柱內部應力的均值曲線圖。實線為解除附加柱約束情況，虛線為不解除附加柱約束情況。

圖5 應力均值曲線Fig.5 Stress mean curve

圖6 應力標準差值曲線Fig.6 Stress standard deviation curve

圖5中可見，兩種情況的均值都在零值上下微小波動，且波動幅度較為均勻，因此，MSCSS附加柱在考慮結構參數(shù)及激勵隨機性情況下的應力響應可以看做是零均值響應。

圖6為兩種情況下MSCSS附加柱的標準差曲線圖，同樣，實線為解除附加柱約束情況，虛線為不解除附加柱約束情況。

從圖6中可以看到，不解除附加柱約束后的附加柱應力標準差值遠遠高于解除附加柱約束后的應力標準差值，這說明，當將附加柱與巨型梁之間的水平約束釋放之后，附加柱內部的應力較無釋放約束的附加柱的應力大大減小，這使巨子型有控結構體系在地震或風荷載作用下，附加柱不會過早破壞，在一定程度上提高了結構整體的抗震能力。

圖7為解除附加柱約束后，附加柱應力在11.3 s至12.5 s之間的概率密度演化曲面，圖中可以看到，曲面突起部分來回波動，波峰值的高低不同，體現(xiàn)出附加柱應力的概率密度的不規(guī)則性。

圖7 附加柱應力概率密度演化曲面Fig.7 Stress probability density evolution curve surface

圖8為解除附加柱約束的巨子型有控結構體系附加柱應力在5 s、12.4 s及16 s時的概率密度曲線，從圖中可以看到，附加柱應力的概率密度基本上分布在［－1 ×109，1 ×109］N/m2區(qū)間上，且波形的大小、位置均有不同，不同時刻所對應的附加柱應力概率密度函數(shù)差距較大。

圖8 不同時刻的應力概率密度曲線Fig.8 Stress probability density curves at the different time

Q235鋼材的屈服強度為2.35×108N/m2，極限抗拉強度最小值為 3.75 ×108N/m2［15］，圖 9 為不同時刻附加柱應力達到屈服強度時的超越概率，當時間在5.5 s附近時可達到最大概率約為6.2%;圖10為不同時刻附加柱應力達到極限抗拉最小值時的超越概率，當時間為5.5 s時最大概率約為4%。

圖11為解除附加柱約束情況下，巨子型有控結構體系附加柱應力等概率密度曲線。在附加柱應力響應的等概率密度相等的情況下，從圖5至圖11可以看到，巨子型有控結構體系在附加柱與巨型梁之間的水平約束被釋放后，雖然均值及標準差值的波動較小，看起來較為規(guī)則，但概率密度函數(shù)的變化相對要明顯得多。

工程實際中，隨機過程基本上都不是真正平穩(wěn)的，如果一個隨機過程在時間充分長的區(qū)間上，其參數(shù)呈現(xiàn)出均勻性，那么這個隨機過程就可以被看作是平穩(wěn)的隨機過程。如僅從圖5、圖6來看，可以認為巨子型有控結構體系在解除附加柱水平約束后，其附加柱應力響應過程是一個二階平穩(wěn)的隨機過程，但通過附加柱應力概率密度的計算結果考察，其概率密度函數(shù)呈現(xiàn)出強烈的非均勻性，該響應過程為明顯的非平穩(wěn)隨機過程。同時，從計算結果可以看到，由于結構處于非線性受力階段，即使巨子型有控結構體系所受到的激勵是一個平穩(wěn)的隨機過程，其在地震作用下的附加柱應力響應過程也是非平穩(wěn)的，而在整個地震動過程中其位移響應是否也為非平穩(wěn)過程，則有待進一步的研究。

圖9 不同時刻附加柱應力達到屈服強度時的超越概率Fig.9 Probabilistic curve when the additional column stress reaches the yield strength

圖10 不同時刻附加柱應力達到極限抗拉最小值時的超越概率Fig.10 Probabilistic curve when the additional column stress reaches the minimum ultimate tensile strength

圖11 等概率密度時附加柱應力曲線Fig.11 Additional column stress curve with equal probability density

4 結論

釋放巨子型有控結構體系附加柱與巨型梁之間的水平約束，可以有效地降低附加柱應力響應的均值及均方差值，從而整體上提高巨子型有控結構體系抗震能力。同時，通過概率密度演化方法，可以方便的得到結構響應的概率密度演化曲面，而在對該曲面的分析表明巨子型有控結構體系在平穩(wěn)隨機激勵下的附加柱應力響應是一個非平穩(wěn)的隨機過程，這個結論對今后巨子型有控結構體系的深入研究具有較重要的參考價值。

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