汪宏年，商慶龍，朱天竹，李舟波

1.吉林大學(xué)物理學(xué)院，長(zhǎng)春 130012 2.吉林大學(xué)地球探測(cè)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，長(zhǎng)春 130026

用多分量感應(yīng)資料快速重建層狀地層的縱橫向電阻率和水平界面深度

汪宏年1，商慶龍1，朱天竹1，李舟波2

1.吉林大學(xué)物理學(xué)院，長(zhǎng)春 130012 2.吉林大學(xué)地球探測(cè)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，長(zhǎng)春 130026

研究建立用多分量感應(yīng)測(cè)井資料同時(shí)快速重建水平層狀橫向同性介質(zhì)中橫向與縱向電阻率和層界面深度的有效方法。首先，利用電磁場(chǎng)攝動(dòng)方程、電導(dǎo)率函數(shù)與模型參數(shù)關(guān)系方程以及模式匹配算法得到電磁場(chǎng)并矢Green函數(shù)的半解析解，建立多分量感應(yīng)測(cè)井響應(yīng)的Frèchet導(dǎo)數(shù)矩陣的快速算法；在此基礎(chǔ)上，借助于規(guī)范化處理和奇異值分解技術(shù)，給出同時(shí)反演水平層狀地層中各個(gè)地層的縱、橫向電阻率以及層界面深度的迭代過程，實(shí)現(xiàn)理論合成資料與輸入資料的最佳擬合。數(shù)值計(jì)算證明，該反演算法能夠取得較滿意的反演效果。

感應(yīng)測(cè)井；Frèchet導(dǎo)數(shù)矩陣快速算法；各向異性地層電阻率和層界面的同時(shí)反演

0 引言

多分量感應(yīng)測(cè)井作為能夠同時(shí)測(cè)量地層縱橫向電阻率的一種新測(cè)井技術(shù)，在薄交互層、裂縫等各向異性地層評(píng)價(jià)中發(fā)揮著重要作用［1］。與各種常規(guī)測(cè)井儀器不同，多分量感應(yīng)測(cè)井儀器增加了與井軸方向完全垂直的發(fā)射和接收線圈系（共面線圈系），其測(cè)量信號(hào)能夠提供地層縱向電阻率信息；但由于多分量感應(yīng)測(cè)井儀器產(chǎn)生的相應(yīng)的感應(yīng)電磁場(chǎng)空間分布不再具有軸對(duì)稱性，且電場(chǎng)方向與地層界面也不再平行，這樣會(huì)在地層界面上產(chǎn)生積累面電荷而導(dǎo)致共面線圈系的測(cè)井響應(yīng)更加復(fù)雜［2－7］①張燁，汪宏年，陶宏根，等.基于耦合標(biāo)勢(shì)與矢勢(shì)的有限體積法模擬非均勻各向異性地層中多分量感應(yīng)測(cè)井三維響應(yīng).地球物理學(xué)報(bào)，待刊.。數(shù)值計(jì)算結(jié)果顯示，共面線圈系的測(cè)量結(jié)果受井眼和層界面的影響均很大，特別在薄層上或?qū)咏缑娓浇霈F(xiàn)負(fù)響應(yīng)。根據(jù)共面線圈系的視電導(dǎo)率σa，xx和σa，yy的大小無法直接估計(jì)出地層縱向電阻率的真實(shí)變化情況，必須建立一套有效的數(shù)據(jù)處理技術(shù)，以便從測(cè)量結(jié)果中提取出地層電阻率和層界面。根據(jù)筆者目前掌握的資料，多分量感應(yīng)資料的處理方法主要有2種：一種是Michael等［1］提出的最小二乘法提取縱橫向電阻率方法，該方法直接利用均勻介質(zhì)中電磁場(chǎng)的解析表達(dá)式提取地層電阻率參數(shù)，由于沒有考慮層界面影響，其處理結(jié)果只是消除了地層的趨膚效應(yīng)，在地層厚度較小的交互層上或?qū)咏缑娓浇鼘㈦y以取得滿意效果；另一種方法是Zhang等［8］借助迭代反演同時(shí)提取層界面和地層電阻率的算法，該算法中沒有建立計(jì)算目標(biāo)函數(shù)下降方向的快速有效方法，所以其效率往往很低。對(duì)于層狀地層來說，如果不考慮井眼影響，多分量感應(yīng)數(shù)值模擬仍然屬于2.5維問題［2，4］，通過Fourier變化方法可將其轉(zhuǎn)化成3個(gè)軸對(duì)稱向量場(chǎng)的求解問題，借助模式匹配方法可以實(shí)現(xiàn)快速正演計(jì)算。如果將這種快速數(shù)值模擬技術(shù)與攝動(dòng)理論結(jié)合起來，建立一套有效的Frèchet導(dǎo)數(shù)的快速算法［9－10］，就能夠?qū)崿F(xiàn)多分量感應(yīng)資料的快速迭代反演。

筆者將研究并建立這種用微分方程反演理論建立起來的多分量感應(yīng)資料的快速反演方法，將包括攝動(dòng)方程與Frèchet導(dǎo)數(shù)矩陣的快速計(jì)算，以及縱橫向電阻率和層界面的迭代反演等內(nèi)容，最后通過數(shù)值模擬結(jié)果檢驗(yàn)在水平層狀垂直井眼中的反演結(jié)果。

1 理論

為簡(jiǎn)單起見，用圖1表示水平層狀各向異性地層。地層由N＋1個(gè)各向異性地層組成，dn（n＝2，3，…，N）表示地層界面深度，每個(gè)地層的電導(dǎo)率珔σn＝diag（σhn，σhn，σvn）是對(duì)角張量，n＝1，2，…，N＋1其中σhn和σvn分別表示地層橫向和縱向電導(dǎo)率。對(duì)于這種層狀地層模型，其電導(dǎo)率空間分布完全由模型向量x＝（σh1，σh2，…，σhn，σv1，σv2，…，σvn，d2，d3，…，dn）確定。建立如圖1所示的坐標(biāo)系xyz，z軸與地層層面垂直，x軸和y軸與地層層面平行。Mp，p＝x，y，z分別是x，y，z正交磁偶極子產(chǎn)生的磁偶極矩，Rp，p＝x，y，z，分別是x，y，z3個(gè)不同方向正交接收線圈位置，如圖1所示，兩者的源距假定為L(zhǎng)。p方向的磁偶極子Mp產(chǎn)生的電場(chǎng)Ep和磁場(chǎng)Hp完全由Maxwell方程確定［2－3］：

其中：Mp＝＾epMpδ（r－rs），＾ep為坐標(biāo)p上的單位向量；r和rs分別為場(chǎng)點(diǎn)和源點(diǎn)位置。磁導(dǎo)率μ（H／m）為常數(shù)；ω（rad／s）為發(fā)射信號(hào)角頻率；因發(fā)射頻率較低故忽略位移電流影響。

圖1 地層模型與坐標(biāo)系Fig.1 Formation model and coordinate system

1.1 攝動(dòng)方程與Frèchet導(dǎo)數(shù)矩陣的快速計(jì)算

利用攝動(dòng)理論，從方程（1）中可直接推導(dǎo)出電導(dǎo)率微小攝動(dòng)δ珔σ與電磁場(chǎng)變化關(guān)系：

引入磁流源電場(chǎng)并矢Green函數(shù)GME（r，rR），磁流源磁場(chǎng)并矢Green函數(shù)GMH（r，rR）：

則利用文獻(xiàn)［10－11］中的結(jié)果，從方程（2）和（3）中可以得到磁場(chǎng)變化δHp的積分解：

其中：rR是接收點(diǎn)位置；上角標(biāo)“T”表示轉(zhuǎn)置。

對(duì)于圖1所示的水平層狀地層，電導(dǎo)率是分片常數(shù)函數(shù)，電導(dǎo)率與模型向量x的各個(gè)分量間滿足如下方程［12］：

其中：δ珔σn＝diag（δσhn，δσhn，δσvn）和δdn分別表示n層上電導(dǎo)率向量和層界面n的微小變化；δ（z）＝H′（z）是Dirac’sδ函數(shù)。

因?yàn)榘l(fā)射源位于井軸上，利用模式匹配算法［2－3］，在進(jìn)行磁場(chǎng)正演計(jì)算的同時(shí)可得到p方向的發(fā)射線圈在地層n上的水平和垂直電場(chǎng)強(qiáng)度各個(gè)分量的半解析解：

方程（3）中磁流源并矢Green函數(shù)珚GME（r，rR）可用同樣的方法得到，其3個(gè)列向量gq（r；rR），q＝x，y，z3個(gè)不同方向正交發(fā)射線圈，具有與方程（9）類似的表達(dá)式：

由于接收點(diǎn)rR可能不在井軸上，方程（10）右端是無限多個(gè)調(diào)和分量的和，將方程（9）和（10）代入方程（4）后，得

此外，將方程（5）代入方程（11）并經(jīng)簡(jiǎn)單整理，則方程（11）右端項(xiàng)中的被積函數(shù)可展開成如下表達(dá)式：

所以方程（11）右端的整個(gè)積分可簡(jiǎn)化為

通過方程（7）和（8）得到的半解析式，方程（13）的右端項(xiàng)中關(guān)于z的積分可以解析得到，而關(guān)于ρ的積分可數(shù)值計(jì)算且積分與源點(diǎn)和接收點(diǎn)的位置無關(guān)，所以可事先計(jì)算并儲(chǔ)存起來以提高積分效率［9，11］。一旦計(jì)算出方程（13）中的各個(gè)積分，并代入方程（11）中，就能夠得到磁場(chǎng)變化與模型向量攝動(dòng)方程：

其中：p和q分別表示發(fā)射線圈和接收線圈的方向；Fqp（rR；rs）是磁場(chǎng)Hqp（rR；rs）相對(duì)于模型向量x的Frèchet導(dǎo)數(shù)。取方程（14）中3個(gè)主分量的虛部后再除以相應(yīng)的儀器常數(shù)，就得到了多分量感應(yīng)測(cè)井3個(gè)主視電導(dǎo)率變化與模型向量攝動(dòng)方程：

其中，Cpp（zR）是記錄點(diǎn)zR處的多分量感應(yīng)測(cè)井視電導(dǎo)率對(duì)模型向量的Fréchet導(dǎo)數(shù)。由于模型參數(shù)δx中包含有電導(dǎo)率和層界面2個(gè)不同物理量綱的物理量，為便于反演計(jì)算，采用規(guī)范化處理技術(shù)將所有變量轉(zhuǎn)化為無量綱的純數(shù)：

其中：δq＝（δqσ，δqh）T是模型向量的相對(duì)變化量，且δqσ＝（δσh，1／σh，1，…，δσh，N／σh，N，δσv，1／σv，1，…，δσv，N／ σv，N），δqh＝（δh2／（h3－h(huán)2），δh3／（h4－h(huán)2）／2，…，δhN－1／（hN－h(huán)N－2）／2，δhN／（hN－h(huán)N－1））；而δypp（zR）＝δσa，pp（zR）／σa，pp（zR）是視電導(dǎo)率的相對(duì)變化；Fpp（zR）＝σ－1a，pp（zR）Cpp（zR）Q是規(guī)范化Fréchet導(dǎo)數(shù)，且

1.2 迭代反演

對(duì)于水平層狀各向異性地層，在井眼垂直情況下，視電導(dǎo)率σa，xx和σa，yy完全相同且它們與地層的縱橫向電阻率有關(guān)，而視電導(dǎo)率σa，zz僅反映地層水平電導(dǎo)率變化。所以從多分量感應(yīng)測(cè)井資料中提取地層電阻率可以采用2種不同的處理方法：一種是先對(duì)σa，zz進(jìn)行迭代反演確定出水平電導(dǎo)率，然后再進(jìn)一步用σa，xx反演地層縱向電導(dǎo)率；另一種方法是將視電導(dǎo)率σa，xx和σa，zz結(jié)合在一起，同時(shí)反演縱橫向電導(dǎo)率和層界面。對(duì)于前一種反演方法，由于水平電導(dǎo)率的反演誤差會(huì)對(duì)縱向電導(dǎo)率的反演結(jié)果造成較大影響，所以筆者采用后種方法。

設(shè)Y0＝（）T是多分量感應(yīng)測(cè)井儀器測(cè)量出的一系列視電導(dǎo)率σa，xx和σa，zz組成的向量，反演目的就是找出某個(gè)模型向量x0，使其理論模擬記錄Yc能夠最佳擬合于Y0。由于測(cè)井記錄是模型向量x的非線性函數(shù)，利用線性化方程（16）可以得到反演結(jié)果的迭代解［12］：

其中：x（0）是模型向量的初值；x（k）是第k次迭代反演結(jié)果；“I”是單位矩陣；“k”是預(yù)定的迭代總次數(shù)，實(shí)際數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，通常情況下迭代8次就足夠了。而向量δq（k）是方程（16）的廣義解：

其中：Δy（k）＝diag（Y0－1）（Y0－Y（k））是理論測(cè)井記錄與輸入資料之間的相對(duì)誤差；F（k）＝U∑VT＝V∑－1UT是（16）式中規(guī)范化處理后的Fréchet導(dǎo)數(shù)矩陣的SVD分解。

2 數(shù)值結(jié)果

為檢驗(yàn)上述反演方法的有效性，對(duì)理論模型數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行了反演。在反演過程中，儀器的源距L＝1m，源的發(fā)射頻率f＝20kHz，即僅考慮單發(fā)單收這種最簡(jiǎn)單情形。

圖2 無噪聲多分量感應(yīng)測(cè)井資料的反演結(jié)果Fig.2 The inversion results from noiseless multicomponent induction logging data from 15layer formation

圖3 含1%噪聲多分量感應(yīng)測(cè)井資料的反演結(jié)果Fig.3 The inversion results from 1%noise multicomponent induction logging data from 15layer formation

模型由15個(gè)各向異性層狀地層組成，從上到下各個(gè)地層的縱向電阻率分別是：3、30、4、50、80、15、40、25、110、20、50、120、35、10、6Ω·m，橫向電阻率：1、5、2、10、20、5、15、8、25、6、12、30、8、4、2Ω·m。13個(gè)層厚：1.65、1.50、1.85、2.30、1.75、2.20、1.85、2.50、1.95、1.80、2.65、2.10、1.85m。對(duì)于該模型首先通過正演軟件計(jì)算出視電導(dǎo)率曲線σa，xx和σa，zz，并作為反演計(jì)算的輸入數(shù)據(jù)（采樣間距0.05m）。反演前，假定各個(gè)地層縱橫向電阻率的初值是其真值的1／3，而各個(gè)地層界面的初值由公式h（0）n＝hn＋（hn＋1－h(huán)n－1）確定，由此得到的地層厚度的初始誤差約為20%。

圖2給出了迭代8次以后的反演結(jié)果。不難看出，所有結(jié)果均吻合得很好。但縱向電阻率的反演誤差比橫向電阻率大，說明縱向電阻率較難反演；此外，與常規(guī)的感應(yīng)測(cè)井反演結(jié)果不同，在多分量的反演結(jié)果中似乎低電阻層上的反演誤差更大，說明縱向電導(dǎo)率大的地層其參數(shù)更難計(jì)算。

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)反演方法的抗噪能力，圖3給出了在輸入數(shù)據(jù)中加入1%白噪聲后的反演結(jié)果。圖3a的結(jié)果顯示，反演模型的合成數(shù)據(jù)與輸入資料仍然吻合得較好；而圖3b和3c表明，反演結(jié)果與地層真值也很接近，但與無噪聲情況相比，反演誤差有了明顯增加，此外，縱向電阻率的反演誤差也增加得更為明顯。這里需要特別指出的是，反演結(jié)果的抗噪能力不僅與反演算法有關(guān)，還與模型參數(shù)密切相關(guān)：當(dāng)?shù)貙雍穸容^大時(shí)，式（16）中磁場(chǎng)相對(duì)于該層參數(shù)的Frechet導(dǎo)數(shù)將比較大，這時(shí)其相應(yīng)的抗噪能力也會(huì)更強(qiáng)。

3 結(jié)論

1）在薄交互層上，多分量感應(yīng)測(cè)井資料中共面視電導(dǎo)率雖然存在負(fù)響應(yīng)，但由于這種響應(yīng)與地層參數(shù)間具有確定性關(guān)系，所以利用迭代反演算法仍然可以快速重構(gòu)各向異性電阻率和層界面位置。

2）數(shù)值結(jié)果顯示，地層橫向電阻率比縱向電阻率更容易反演，其反演結(jié)果的抗噪能力也比縱向電阻率更強(qiáng)。

3）與常規(guī)的感應(yīng)測(cè)井反演結(jié)果不同，在多分量反演結(jié)果中似乎低電阻層上的反演誤差更大，說明縱向電導(dǎo)率大的地層其參數(shù)更難計(jì)算。

（References）：

［1］ Michael Z，David K，Ertan P.Foundation of the Tensor Induction Well Logging［J］.Perophysics，2001，42（6）：588－610.

［2］ 汪宏年，陶宏根，姚敬金，等.用模式匹配算法研究層狀各向異性傾斜地層中多分量感應(yīng)測(cè)井響應(yīng)［J］.地球物理學(xué)報(bào)，2008，51（5）：1591－1599.

Wang Hong－nian，Tao Hong－gen，Yao Jing－jin，et al.Study on the Response of Multicomonent Induction Logging Tool in Deviated and Layered Anisotropic Formations by Using Numerical Mode Matching Method［J］.Chinese Journal of Geophysics，2008，51（5）：1591－1599.

［3］ 汪宏年，胡平，陶宏根.水平層狀非均質(zhì)橫向同性地層中陣列多分量感應(yīng)測(cè)井響應(yīng)的快速計(jì)算［J］.地球物理學(xué)報(bào)，2012，55（2）：717－726.

Wang Hong－nian，Hu Ping，Tao Hong－gen，et al.Fast Algorithm of Responses of Array Multicomponent Induction Logging Tool in Horizontally Stratified Inhomogeneous TI Media［J］.Chinese Journal of Geophysics，2012，55（2）：717－726.

［4］ Wang Hong－nian，Tao Hong－gen，Yao Jing－jin.An Efficient and Reliable Simulation of Multicomponent Induction Logging Response in Horizontally Stratified Inhomogeneous TI Formations by Numerical Mode－Matching Method［J］.Geoscience and Remote Sensing，DOI：10.1109／TGRS.2012.2183135.

［5］ 姚東華，汪宏年，楊守文，等，用傳播矩陣法研究層狀正交各向異性地層中多分量感應(yīng)測(cè)井響應(yīng)［J］.地球物理學(xué)報(bào)，2010，53（12）：3026－3037.

Yao Dong－h(huán)ua，Wang Hong－nian，Yang Shou－wen，et al.Study on the Responses of Multi－Component Induction Logging Tool in Layered Orthorhombic Anisotropy Formations by Using Propagator Matrix Method［J］.Chinese Journal of Geophysics，2010，53（12）：3026－3037.

［6］ 楊守文，汪宏年，陳桂波，等.傾斜各向異性地層中多分量高頻電磁波測(cè)井響應(yīng)的三維時(shí)域有限差分（FDTD）算法［J］.地球物理學(xué)報(bào)，2009，52（3）：833－841.

Yang Shou－wen，Wang Hong－nian，Chen Gui－bo，et al.The 3－D Finite Difference Time Domain（FDTD）Algorithm of Response of Multi－Component Electromagnetic Well Logging Tool in a Deviated and Layered Anisotropic Formation［J］.Chinese Journal of Geophysics，2009，52（3）：833－841.

［7］ Wang Hong－nian，So Poman，Yang Shou－wen，et al.Numerical Modeling of Multicomponent Induction Well Logging Tools in the Cylindrically Stratified Anisotropic Media［J］.Geoscience and Remote Sensings，2008，46（4）：1134－1146.

［8］ Zhang Zhiyi，Yu Liming，Mauser K B.Simultaneous Determination of Relative Angles and Anisotropic Resistivity Using Multicomponent Lnduction Logging Data［J］.Geophysics，2004，69（4）：898－908.

［9］ Wang Hong－nian，Tao Hong－gen，Yao Jing－jin，et al.Fast Multiparameter Reconstruction of Multicomponent Induction Well Logging Datum in Deviated Well in a Horizontally Stratified Anisotropic Formation［J］.Geoscience and Remote Sensings，2008，46（5）：1525－1534.

［10］ Wang Hong－nian.Adaptive Regularization Iterative Inversion of Array Multicomponent Induction Well Logging Datum in a Horizontally Stratified Inhomogeneous TI Formation［J］.Geoscience and Remote Sensing，2011，49（11）：4483－4492.

［11］ Wang Hong－nian.Simultaneous Reconstruction of Geometric Parameters and Resistivity from the Multiarray Induction Log in a Horizontally Layered Formation［J］.Geoscience and Remote Sensing，2003，41（1）：185－194.

Simultaneously Fast Reconstruction of Resistivities and Interfaces in Horizontally Stratified TI Formation by Using Multicomponent Induction Well Logging Data

Wang Hong－nian1，Shang Qing－long1，Zhu Tian－zhu1，Li Zhou－bo2

1.College of Physics，Jilin University，Changchun 130012，China 2.College of GeoExploration Science ＆Technology，Jinlin University，Changchun 130026，China

We advance an efficient method to simultaneously reconstruct the horizontal and vertical resistivities and the interface depth each bed in the horizontally stratified transversely isotropic（TI）formation from the multicomponent induction well logging（MCIL）data.We first give the perturbed equation of electromagnetic（EM）fields，relation of conductivity function to the model parameters and the semi－analytic solutions of EM tensor Green function provided by the numerical mode matching method in the horizontally layered TI formation，and further set up a fast algorithm of Frèchet derivatives of multicomponent induction logging response with respect to all the formation resistivities and interfaces.Then，by combination of normalization and singular value decomposition（SVD）technique，we advance an iterative method to simultaneously reconstruct both horizontal and vertical resistivities and interface per bed so that we realize the best fit of the input data with the modeling logs.Numerical tests validate the algorithm.

induction logging；fast algorithm of Frèchet derivatives；reconstruction of resistivitiesand interface at same time

book=2012,ebook=678

P631.81

A

1671－5888（2012） 04－0900－06

2012－04－18

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（40874058）

汪宏年（1962－），男，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事非均質(zhì)與各向異性介質(zhì)中電磁場(chǎng)數(shù)值模擬與反演研究，E－mail：wanghn＠m(xù)ail.jlu.edu.cn。