胡錦昌，張洪華

(1.北京控制工程研究所，北京100190;2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190)

一種具有飽和積分項(xiàng)的衛(wèi)星姿態(tài)控制律

胡錦昌1，2，張洪華1，2

(1.北京控制工程研究所，北京100190;2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190)

為消除常值干擾的影響，提出了一種具有飽和積分項(xiàng)的類PID姿態(tài)控制律.所提出的控制律不僅可以消除常值干擾帶來的影響，并且由于積分項(xiàng)具有飽和約束，該控制律可以防止控制量由于積分項(xiàng)的持續(xù)積分而變得過大.利用前向系統(tǒng)的相關(guān)理論，嚴(yán)格證明了閉環(huán)系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性質(zhì)，并給出了相應(yīng)的充分條件.仿真驗(yàn)證了該方法的有效性.

姿態(tài)控制;類PID控制;飽和控制;前向系統(tǒng)

衛(wèi)星姿態(tài)控制問題在過去的幾十年里已經(jīng)得到了大量的研究.文獻(xiàn)[1]已經(jīng)證明PD控制可以使得無干擾下的剛體衛(wèi)星姿態(tài)得到穩(wěn)定.在存在常值干擾的情況下，可以類似線性系統(tǒng)一樣采用PID控制器來消除常值干擾的影響，此時(shí)的積分是指代表姿態(tài)角信息的某種參數(shù)的積分.但是，由于剛體衛(wèi)星姿態(tài)系統(tǒng)的非線性特征，要對(duì)一個(gè)PID控制的閉環(huán)姿態(tài)系統(tǒng)證明穩(wěn)定性是非常困難的.目前關(guān)于衛(wèi)星非線性姿態(tài)系統(tǒng)的 PID控制的文獻(xiàn)還不多，如文獻(xiàn)[2-6].文獻(xiàn)[2]給出了一種基于修正Rodrigues參數(shù)的類PID的控制律;文獻(xiàn)[3]給出了一種含有四元數(shù)和角速度組合積分形式的 PID控制律;文獻(xiàn)[4]基于四元數(shù)提出了一種需要抵消陀螺力矩項(xiàng)的類PID控制律;文獻(xiàn)[5]則提出了一種不需要知道角速度信息的PI形式的控制律.但是，文獻(xiàn)[2-5]中的控制律或者其反饋系數(shù)和狀態(tài)變量有關(guān)，或者需要抵消陀螺力矩項(xiàng)，因此它們給出的都還不是線性PID形式的控制律.文獻(xiàn)[6]給出了一種基于拉格朗日形式的線性PID控制律，但是只能獲得局部漸近穩(wěn)定的性能.

眾所周知，由于積分項(xiàng)的存在，控制量容易變得過大從而發(fā)生飽和，此時(shí)一般難以保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.為降低飽和對(duì)系統(tǒng)的影響，可以在積分項(xiàng)前加上飽和約束，如文獻(xiàn)[7]，但是這樣的話就難以證明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.為克服此問題，本文提出一種新的具有飽和積分項(xiàng)的控制律，其中的積分項(xiàng)是四元數(shù)與角速度的線性組合.基于前向系統(tǒng)的相關(guān)理論[8]，本文從理論上證明了閉環(huán)系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性質(zhì)，并由此給出了相應(yīng)的參數(shù)充分條件.

1 問題描述與定義

考慮剛體衛(wèi)星的姿態(tài)穩(wěn)定問題.存在常值干擾下的剛體衛(wèi)星的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)與動(dòng)力學(xué)方程為

其中q=(q0，qυ)∈R×R3表示衛(wèi)星的姿態(tài)四元數(shù)，q0和 qν分別表示四元數(shù)的標(biāo)量與矢量部分;ω= (ω1，ω2，ω3)∈R3表示衛(wèi)星相對(duì)于慣性系的角速度，并且在本體系表達(dá);u∈R3表示控制力矩; d∈R3表示未知常值干擾;J∈R3×3為慣量陣;對(duì)?ν∈R3，ν×表示作用于矢量 ν上的運(yùn)算符，其結(jié)果為如下形式的反對(duì)稱陣:

假設(shè)1:慣量陣 J精確已知，并且四元數(shù)(q0，qυ)與角速度ω均可以由測量而得.

假設(shè)2:常值干擾 d未知，但其上界已知，即存在已知正數(shù)dm，使得‖d‖∞≤dm.

基于假設(shè)1和2，對(duì)式(1)、(2)表示的姿態(tài)方程，設(shè)計(jì)如下形式的控制律:其中kp，ki，kυ＞0分別為相應(yīng)的PID系數(shù);σM(·): R3→ R3為飽和函數(shù)，其定義為:?s∈ R3，(σM(s))i=sgn(si)m in{M，|si|}，i=1，2，3，M＞dm;h(q，ω)為被積分項(xiàng)，其表達(dá)式為

注1.在式(3)所表示的控制律中，第一項(xiàng)的作用是抵消掉陀螺力矩項(xiàng)，第二項(xiàng)與第三項(xiàng)分別是速率與比例項(xiàng)，最后一項(xiàng)則是具有飽和約束的積分項(xiàng).

將式(3)所表示的控制律代入式(1)與(2)，可得閉環(huán)系統(tǒng)為

符號(hào)定義:在本文中，設(shè)慣量陣 J的誘導(dǎo)2范數(shù)為γJ，最小特征值為λmin，J.

2 穩(wěn)定性分析

為方便閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，假設(shè)d=0.為利用前向系統(tǒng)的相關(guān)理論證明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性[8]，注意到當(dāng)干擾和積分均等于零時(shí)，(q，ω)子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的[1].為此定義

并將式(4)與式(5)寫成如下形式:

根據(jù)文獻(xiàn)[1]，構(gòu)造x子系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為

其中c為充分小的正數(shù)以使得V1(q，ω)正定.將V1沿式(7)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得:

其中利用了‖q0I3+q×υ‖2=1，LfV1和LgV1表示分別求取V1沿f和g的Lie導(dǎo)數(shù)，后同.由式(9)可知:

為使LfV1負(fù)定，需要滿足如下條件:

根據(jù)V1(q，ω)，構(gòu)造式(6)與(7)的總的Lyapunov函數(shù)為

其中φ＞0為充分大的正數(shù)，ψ(q，ω)為關(guān)于 (q，ω)的3維向量函數(shù)，其表達(dá)式為

由上式可見ψ(q，ω)實(shí)際上僅為ω的函數(shù).

注意到:

其中:

可見，為保證 W(z，q，ω)的正定性，只需保證矩陣P的正定性.可以驗(yàn)證，P的正定性可以通過選擇充分大的φ和充分小的c實(shí)現(xiàn).

容易證明

即有

且有Lgψ=I3/kp.

將W(z，q，ω)沿式(6)與(7)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得:

其中χ＞0，且應(yīng)用了式(13)及Young不等式:

將各項(xiàng)求出的表達(dá)式代入式(14)可得:

可見，若能選取參數(shù)使得矩陣 R正定(可以通過充分大的φ和充分小的 χ來實(shí)現(xiàn))，那么剩下的任務(wù)就歸結(jié)為證明如下不等式是成立的:

為證明式(16)，設(shè)χ=kpki/4，并注意到:

則式(16)化為:

其中應(yīng)用了這樣的一個(gè)簡單不等式:

將χ=kpki/4代入矩陣R的表達(dá)式可得:

從而如果能夠選擇參數(shù)φ，c，kp，kυ，ki使得R＞0，那么由式(15)及式(17)可得:

由式(19)和LaSalle不變?cè)砣菀鬃C明:

基于前面的穩(wěn)定性分析，可得如下主要結(jié)論:

定理1.對(duì)于由式(1)、(2)組成的姿態(tài)系統(tǒng)，若設(shè)計(jì)控制律如式(3)所示，且選擇參數(shù)kp，kυ，ki，使得存在參數(shù)c，φ而使

則當(dāng)干擾d=0時(shí)，對(duì)于任何初始條件均有:

證明由前面分析直接可得，在此略.

注2.參數(shù)存在性分析:定理1要求P＞0，R＞0.不難驗(yàn)證，為滿足P＞0，通過展開式(20)可知，只需選擇充分大的φ與充分小的c即可;為滿足R＞0，通過展開式(21)可知，通過選擇充分大的φ與充分小的積分系數(shù)ki總可使得R＞0.一般來說，積分系數(shù)ki太小會(huì)使積分過程太慢，太大則又容易使積分超調(diào).事實(shí)上，由式(20)、(21)可以確定一個(gè)關(guān)于積分系數(shù)ki的上限值ki，max，凡是小于ki，max的ki均能使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定;φ與c則是約束參數(shù).由此可見，從式(20)、(21)確定最大容許積分系數(shù) ki，max的過程實(shí)際上是一個(gè)具有參數(shù)約束的最優(yōu)化問題(具體可用Matlab的最優(yōu)化工具進(jìn)行求解).

注3.某些情況下，由式(20)、(21)決定的最大積分系數(shù)ki，max可能會(huì)偏于保守，實(shí)際的仿真和工程應(yīng)用中可以選擇比由定理1決定的ki，max更大的積分系數(shù).

注4.定理1給出的結(jié)論是qυ→0，從而由四元數(shù)的歸一性質(zhì)，有可能q0→1或q0→-1.注意到(q0，qυ，ω)=(-1，0，0)是非穩(wěn)定的平衡點(diǎn)[1]，因此可以認(rèn)為對(duì)于幾乎所有的初始狀態(tài)，均有 q0→1，qυ→0，ω→0，即可以認(rèn)為平衡點(diǎn)(q0，qυ，ω)=(1，0，0)是幾乎全局漸近穩(wěn)定的.

注5.定理1只證明了當(dāng)干擾d等于0的情形.事實(shí)上當(dāng)干擾d≠0時(shí)，采用完全類似的方法也同樣能夠證明積分項(xiàng)能夠在有限時(shí)間內(nèi)從飽和區(qū)域進(jìn)入非飽和區(qū)域，并且在積分非飽和區(qū)域內(nèi)有qυ→0，ω→0，

注6.當(dāng)考慮控制量的飽和時(shí)，可以設(shè)計(jì)如下形式的控制律:

可以證明在適當(dāng)?shù)膮?shù)選取之下，如上形式的飽和控制律也能夠使得原系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.但是，由于該控制律需要消除掉陀螺力矩項(xiàng)，因此一般容易造成相關(guān)參數(shù)的選擇過于保守，在此不再詳盡分析.

3 數(shù)值實(shí)例

為說明問題，選取虛擬的剛體衛(wèi)星的慣量陣為

常值干擾設(shè)置為d=[0.5，0.3，-0.4]N·m，控制器的相關(guān)參數(shù)選擇為kp=5，kυ=10，M=1.由定理1求得的最大積分系數(shù)ki，max=0.6666(此時(shí)φ=5.1000，c=0.0588)，實(shí)際仿真選擇為ki=0.66.初始值取為

仿真結(jié)果如圖1～4所示.由圖1與圖2可見，姿態(tài)四元數(shù)最終收斂于穩(wěn)定平衡點(diǎn) q=(1，0，0，0)T，角速度最終收斂于原點(diǎn)，可見姿態(tài)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，并且收斂時(shí)間在比較短的40s以內(nèi).由圖3可見，由于初始的姿態(tài)誤差與角速度較大，控制力矩在開始時(shí)也比較大，但是很快就減小到干擾幅值附近，并最終收斂到抵消常值干擾的大小.圖 4顯示了積分隨時(shí)間的變化曲線，在初始時(shí)，由于初始姿態(tài)誤差較大，第一軸與第三軸的積分迅速上升并超過了飽和上限，然后逐漸減少到非飽和區(qū)域，直到完全和干擾相抵消.

圖1 姿態(tài)四元數(shù)隨時(shí)間的變化曲線Fig.1 Attitude quaternion v.s.time

圖2 角速度隨時(shí)間的變化曲線Fig.2 Angular velocity v.s.time

圖3 控制力矩隨時(shí)間的變化曲線Fig.3 Control torque v.s.time

圖4 積分量隨時(shí)間的變化曲線Fig.4 Integrals v.s.time

以上仿真結(jié)果驗(yàn)證了當(dāng)積分帶有飽和限制時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性.

4 結(jié) 論

針對(duì)存在常值干擾下的剛體衛(wèi)星的非線性姿態(tài)方程，本文提出了一種具有積分飽和限制的類PID控制器，其中的積分部分是四元數(shù)與角速度的一種加權(quán)組合.然后利用前向系統(tǒng)的相關(guān)理論，證明了閉環(huán)系統(tǒng)的幾乎全局漸近穩(wěn)定性質(zhì)，并且得出了漸近穩(wěn)定的充分條件.該條件表明，只要積分系數(shù)足夠小，總能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.最后通過仿真驗(yàn)證了所提出的控制器的正確性.本文控制律的缺點(diǎn)是為抵消掉陀螺力矩項(xiàng)，需要精確知道慣量陣的信息，這是以后需要進(jìn)一步解決的問題.

[1] Wen J T，Kreutz-Delgado K.The attitude control problem[J].IEEE Transactions on Automatic Control，1991，36(10):1148-1162

[2] Subbarao K.Nonlinear PID-like controllers for rigidbody attitude stabilization[J].The Journal of the Astronautical Sciences，2004，52(1&2):61-74

[3] 戰(zhàn)毅，張洪華.全局穩(wěn)定的含積分項(xiàng)的姿態(tài)跟蹤控制律[J].控制工程，2006(1):9-16 Zhan Y，Zhang H H.A globally stabilizing attitude tracking law with integrals[J].Control Engineering，2006(1):9-16

[4] Su J，Cai K-Y.Globally stabilizing proportional-integral-derivative control laws for rigid-body attitude tracking[J].Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2011，34(4):1260-1264

[5] Subbarao K，Akella M R.Differentiator-free nonlinearproportional-integal controllers for rigid-body attitude stabilization[J].Journal of Guidance，Control，and Dynam ics，2004，27(6):1092-1096

[6] Show L L，Juang JC，Lin C T，et al.Spacecraft robust attitude tracking design:PID control approach[C].The American Control Conference，Anchorage，AK，May 8-10，2002

[7] Bang H，Tahk M J，Choi H D.Large angle attitude control of spacecraftwith actuator saturation[J].Control Engineering Practice，2003，11:989-997

[8] Kaliora G，Astolfi A.On the stabilization of feedforward systems with bounded control[J].Systems&Control Letters，2005，54:263-270

A New Attitude Control Law w ith Saturated Integrals for Spacecraft

HU Jinchang1，2，ZHANG Honghua1，2
(1.Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100190，China; 2.Science and Technology on Space Intelligent Control Laboratory，Beijing 100190，China)

A new PID-like attitude control law with saturated integrals is proposed for the control of spacecraft.The control law can not only elim inate the influence of constant disturbances，but prevent the control torque from getting too large by means of saturation constraint on the integrals.W ith the associated theory of forwarding system，it is rigorously proven that the closed loop is globally asymptotically stable，and the corresponding sufficient conditions of the relevant parameters are also derived.Numerical simulations demonstrate the effectiveness of the proposed approach.

attitude control;PID-like control;saturation control;forwarding system

TP273

A

1674-1579(2012)06-0018-05

10.3969/j.issn.1674-1579.2012.06.004

胡錦昌(1984—)，男，博士研究生，研究方向?yàn)樾l(wèi)星姿態(tài)控制;張洪華(1962—)，男，研究員，研究方向?yàn)樾l(wèi)星姿態(tài)控制.

2012-09-17