董春芳

（天津冶金職業(yè)技術(shù)學(xué)院，天津 300400）

一、引言

（一）問題簡介

2010年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題所提出的問題實(shí)際是一個對產(chǎn)生變位的油罐的罐容表重新標(biāo)定的問題，即建立模型計(jì)算油罐變位對罐內(nèi)油量測定的影響，然后再給出油位高度間隔為定值的罐容表標(biāo)定值。問題一是研究小橢圓型儲油罐，分別對罐體無變位和傾斜角為α＝4．1°的縱向變位兩種情況建立模型，再對罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表進(jìn)行標(biāo)定。問題二是研究實(shí)際模型，通過建立模型，確定所給數(shù)據(jù)的罐體傾斜和橫向旋轉(zhuǎn)角度α和β，再對罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表進(jìn)行標(biāo)定。本文將主要處理上述兩個問題。

（二）模型假設(shè)及其符號說明

1．基于所考慮的問題，建立如下合理的假設(shè)

（1）油罐有變位和無變位時，單位油位高增長進(jìn)出油管、油位探針被油浸沒體積增長量相同。

（2）油罐的傾斜角度α和油罐的旋轉(zhuǎn)角度β都很小。

（3）油罐位移過程中形狀不發(fā)生變化。

2．符號說明

（1）a－橢圓柱底面長軸長（單位：m）

（2）b－橢圓柱底面短軸長（單位：m）

（3）d－橢圓柱高（單位：m）

（4）h－油罐油高（單位：m）

（5）S－橢圓柱罐體理論油柱底面積（單位：m2）

（6）V－油罐體理論儲油體積（單位：m3）

（7）ΔV－橢圓柱罐體儲油體積誤差值（單位：m3）

（8）V修無變位橢圓柱罐體修正儲油體積（單位：m3）

（9）V出橢圓柱罐體出油體積（單位：m3）

（10）α－變位油罐縱向變位角度（單位：°）

（11）V變－變位橢圓柱罐體理論儲油體積（單位：m3）

（12）V變修－變位橢圓柱罐體修正儲油體積（單位：m3）

（13）R－球罐體圓柱橫截面半徑（單位：m）

（14）r－球罐體兩邊球冠球半徑（單位：m）

（15）h0－變位球罐體實(shí)測油面高（單位：m）

（16）β－變位油罐橫向變位角度（單位：°）

（17）V實(shí)－球罐體實(shí)際儲油體積（單位：m3）

二、簡化小橢圓型儲油罐模型的求解

本章主要分析簡化模型，即小橢圓型儲油罐在不同情況下罐內(nèi)儲油量與油位高度的理論及實(shí)際關(guān)系。采用的主要方法是多重積分及曲線擬合。假設(shè)底面橢圓的長軸，短軸，柱體的高及油高分別為a，b，d，h，其中a＝0．89m，b＝0．6m，l＝2．45m

（一）罐體無變位時罐內(nèi)儲油量與油位高度關(guān)系

1．理論模型建立

當(dāng)罐體無變位時，罐內(nèi)的油量所呈現(xiàn)的形狀仍是很直觀很規(guī)則的柱體，其高仍是d。下面通過分析其側(cè)切面面積，進(jìn)而得到其體積。在橢圓柱體罐體的一側(cè)切面上建立平面直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)取做橢圓的中心，x軸沿長軸方向，y軸沿短軸方向。設(shè)油面與y軸相交于點(diǎn)（0，l），如圖2．1所示。顯然l＝h－b。

易知油柱體截面面積為

從而可知無變位時油罐體積V為：

2．模型修正及誤差分析

（1）式即為理論上的無變位罐內(nèi)儲油量隨著油位高度而變化的模型。但實(shí)踐中由于受到許多外在因素的影響，使得實(shí)測的結(jié)果與理論算出的結(jié)果會產(chǎn)生一定的誤差，下圖2．2即為在同一組油位高度數(shù)據(jù)下，式（1）得到的（h－V）曲線與已知實(shí)測進(jìn)油數(shù)據(jù)得到的（h－V）曲線的誤差比較圖2．2。

通過圖2．2可以看到計(jì)算得到的數(shù)據(jù)與測量數(shù)據(jù)確實(shí)有誤差，并且誤差隨油位高度的增長而增大，我們分析這些誤差應(yīng)該是因?yàn)楹雎粤藴y量探針，輸油管和出油管的體積所導(dǎo)致。為修正這些誤差，我們采用三次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，得到一個誤差的補(bǔ)償函數(shù)，運(yùn)用Matlab軟件及已知的實(shí)測數(shù)據(jù)和理論數(shù)據(jù)，擬合出誤差函數(shù)如下：

圖2．1 罐體截面示意圖

2．2 無變位計(jì)算數(shù)據(jù)和實(shí)際測量進(jìn)油數(shù)據(jù)誤差比較圖

于是可以得到無變位時儲油量與油位高度關(guān)系的修正模型：

為了驗(yàn)證模型（2）的有效性，我們采用出油數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，計(jì)算并作圖，修正后模型（2）

計(jì)算的數(shù)據(jù)與實(shí)測出油數(shù)據(jù)（h－V出）的比較圖為圖2．3。

從圖2．3中可以看到兩組數(shù)據(jù)十分接近，最大誤差為4．4722e－004，可見模型（1）通過增加補(bǔ)償函數(shù)確實(shí)得到了很好的修正，是合理的。

（二）罐體發(fā)生變位時罐內(nèi)儲油量與油位高度關(guān)系

1．模型建立

當(dāng)儲油罐發(fā)生縱向傾斜變位，其傾角為α＝4．1°時，建立三維直角坐標(biāo)系，使得z軸沿油位探針豎直向上，y軸沿儲油罐各橫截橢圓面中心，x軸過油位探針?biāo)跈E圓截面的長軸，構(gòu)成右手系，如圖2．4所示的yoz平面

儲油罐底面的橢圓方程為

圖2．3 修正模型無變位測量數(shù)據(jù)和實(shí)際測量出油數(shù)據(jù)誤差比較圖

圖2．4 平面示意圖

其中a＝0．89，b＝0．6。由2．4圖可知，右面與yoz平面相交的線段所在yoz平面上的直線方程是

注意到，當(dāng)直線過 （0，z），z!－0．6時，h＝0，易知當(dāng)油面過點(diǎn) （0，0，－0．6）時的油量體積為

從而易知，當(dāng)V!V01時均有h＝0。

而當(dāng)直線過（0，z），z≥0．6時，h＝1．2，此時的臨界體積將分不同的情況討論給出結(jié)論

由于儲油罐縱向發(fā)生變位，罐內(nèi)油所占部分形狀因油位高度變化而變化，使得一般油量體積不能輕易求得，因此必須對油位高度分段考慮，為方便計(jì)，我們以油面與z軸相交位置分段考慮，分三種情況討論，得到V隨h的變化而變化的理論公式為：

2．模型修正與誤差分析

實(shí)際中有很多種因素會造成油罐測量體積的誤差，如壓力變化、溫度變化、測量儀器磨損以及輸油管和油位計(jì)排開部分體積等因素，一般可以認(rèn)為誤差是由以上幾方面因素共同作用的結(jié)果，但有資料數(shù)據(jù)顯示，產(chǎn)生誤差的主要因素是儲油罐內(nèi)油的自重對儲油罐的壓力過大使其產(chǎn)生了形狀的改變。

修正模型時將以實(shí)測數(shù)據(jù)中的進(jìn)油數(shù)據(jù)做為修正模型的依據(jù)，最后以出油數(shù)據(jù)來檢測我們的修正模型是否可行。

注意到，實(shí)測進(jìn)油數(shù)據(jù)里，進(jìn)油前油罐里有一定的油量，油罐計(jì)量顯示為215L，但這并不是油罐里的實(shí)際油量值，而是油罐無傾斜時的油位所顯示的油量值。因此，我們需要做一個轉(zhuǎn)換。首先我們運(yùn)用數(shù)值篩選法及2－1中的修正模型，得到215L所對應(yīng)的油位刻度近似為123．3mm，將其帶入模型（4）即可得油罐里的實(shí)際有油量約為105．8L。在油罐發(fā)生傾斜角為α＝4．10的縱向變位情況下，油罐由于非均勻變形以及2－1中分析的一些因素影響下，理論模型（4）計(jì)算所得數(shù)據(jù)難免與實(shí)測數(shù)據(jù)之間存在一定的誤差。下圖即為理論計(jì)算數(shù)據(jù)與已知實(shí)測進(jìn)油數(shù)據(jù)之間的誤差對比圖2．5。

圖2．6表明計(jì)算得到數(shù)據(jù)與測量進(jìn)油數(shù)據(jù)確實(shí)有誤差。為修正這些誤差，我們采用三次多項(xiàng)式擬合，給出一個誤差的補(bǔ)償函數(shù)。運(yùn)用Matlab及已知實(shí)測數(shù)據(jù)和理論數(shù)據(jù)，擬合出函數(shù)如下：

ΔV（h）＝0．2881h3＋1．0257h2－1．0224h＋0．1129于是可以得到變位時儲油量與油位高度關(guān)系的修正模型：

為了驗(yàn)證模型（5）的有效性，利用模型（5）和出油數(shù)據(jù)計(jì)算并作出修正后計(jì)算的數(shù)據(jù)與實(shí)測出油數(shù)據(jù)（h－V出）的比較圖2．6。

圖2．5 變位時計(jì)算數(shù)據(jù)和實(shí)際測量進(jìn)油數(shù)據(jù)誤差比較圖

圖2．6 補(bǔ)償后變位測量出油數(shù)據(jù)和計(jì)算數(shù)據(jù)2誤差比較圖

從圖2．6中可以看到兩組數(shù)據(jù)十分接近，最大誤差為0．0096，可見模型（4）確實(shí)得到了很好的修正，進(jìn)一步說明增加補(bǔ)償函數(shù)是合理的。

三、實(shí)際帶球冠儲油罐模型

本章將對實(shí)際油罐模型，即帶球罐的儲油罐模型分析其罐內(nèi)儲油量與油位高度的理論及實(shí)際關(guān)系。采用的方法是多重積分，數(shù)值積分及曲線擬合。記圓桶橫截圓半徑，兩邊的球罐球半徑，實(shí)測油面高度，油面實(shí)際高度，縱向角度及橫向角度分別是R，r，h，h0，α，β。

（一）罐體變位時罐內(nèi)儲油量與油位高度及橫向、縱向角度的理論模型

此時的問題多了一個橫向偏斜。對此我們建立三維直角坐標(biāo)系，使得z軸過油位探針?biāo)跈M截圓圓心垂直于油面豎直向上，y軸沿圓桶各橫截圓面圓心，x軸過油位探針?biāo)趫A截面指向橫向偏斜向上的方向，構(gòu)成右手系，如圖所示yoz平面圖及xoz平面圖。

圖3．1 油罐縱向變位后的平面圖

圖3．2 油罐縱向變位后的平面圖

經(jīng)簡單分析可知此時油面與平面相交的線段所在平面上的直線方程是

其中h0＝R－（R－h(huán)）cosβ。

當(dāng)直線（6）過 （0，z），z!－Rcosβ時，h＝0，且易知當(dāng)油面過點(diǎn) （0，0，－Rcosβ）時的油量體積為

其中

從而可知，當(dāng)V!V0時均有h＝0。

而當(dāng)直線過（0，z），z≥Rcosβ時，h＝3，此時的臨界體積將分不同的情況討論給出結(jié)論。

與第一章中的簡化模型一樣，由于儲油罐縱向發(fā)生變位，罐內(nèi)油所占部分形狀因油位高度變化而變化，使得一般油量體積不能統(tǒng)一求得表達(dá)公式，因而得對油位高度分段考慮，為方便計(jì)，我們?nèi)砸杂兔媾cz軸相交位置分段考慮，分六種情況討論，給出在發(fā)生縱向和橫向變位時，實(shí)際油罐儲油量V隨油位高度h，縱向偏斜角度α及橫向偏斜角度β變化的理論模型（7）。

（二）理論模型的修正及誤差分析

本節(jié)中，我們將運(yùn)用最小二乘法，及分段分步長搜索法，結(jié)合實(shí)測數(shù)據(jù)對上節(jié)中得到的理論模型（7）找到實(shí)測模型的偏斜角度α，β。最后再將得到的角度帶回模型（7）并將其應(yīng)用到另一組實(shí)測數(shù)據(jù)中檢驗(yàn)所得結(jié)果的有效性。

由于實(shí)際罐內(nèi)油量初值未知，所以罐內(nèi)儲油量的準(zhǔn)確值是未知的。由實(shí)測數(shù)據(jù)可以知道不同時刻出油的出油量ΔVi＊，同時可以由模型（7）的V＝V（α，β，h）計(jì)算得到相應(yīng)的實(shí)際儲油量的改變量ΔVi＝V（α，β，hi－1）－V（α，β，hi），該問題可以歸結(jié)為求解非線性最小二乘問題：

其中

用分段搜索與變步長搜索相結(jié)合的算法，運(yùn)用Matlab編程最后計(jì)算得到α＝2．1°，β＝4．4°。且此時

將α＝2．1°，β＝4．4°帶入模型（7），即得到實(shí)際球罐的真實(shí)模型

為了進(jìn)一步驗(yàn)證模型（8）的有效性，我們結(jié)合第二段實(shí)測數(shù)據(jù)，運(yùn)用Matlab作出下面的理論與實(shí)測出油數(shù)據(jù)比較圖，由圖3．3可以看出，理論計(jì)算的結(jié)果與實(shí)測數(shù)據(jù)也是相對吻合的，最大誤差控制在0．0028范圍內(nèi)，因此說明實(shí)際模型（8）是有效的。

四、結(jié)論

本文中，我們先后研究了橢圓型儲油罐和實(shí)際油罐模型分別在不變位和發(fā)生變位時，罐中儲油量與油位高度及偏斜角度之間的關(guān)系，并給出了初始理論模型，然后結(jié)合實(shí)測數(shù)據(jù)得到最后的能夠用于實(shí)踐的修正模型。

圖3．3 模型（8）的有效性驗(yàn)證圖

在第二章中，我們給出了簡化油罐的理論分析模型，結(jié)合進(jìn)油的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，對理論模型進(jìn)行了誤差修正，從而得到了比較準(zhǔn)確的實(shí)際模型（2），并利用出油的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對模型（2）進(jìn)行了檢驗(yàn)，得到誤差為4．4722×10－4，說明修正模型合理。

當(dāng)橢圓儲油罐罐體發(fā)生縱向變位α＝4．1°時，油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。

表1 小橢圓罐的修正罐容表的部分結(jié)果（α＝4．1°）

實(shí)際帶球冠罐體變位后（α＝2．1°，β＝4．4°）油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。

表2 變位后儲油罐的修正罐容表部分結(jié)果（使用參數(shù)α＝2．1°，β＝4．4°）

值得指出的是，由前所述，實(shí)際儲油罐在使用過程中，由于各種因素相互作用總會發(fā)生變位（主要是橫向和縱向的變位），而且這些因素是隨著時間而一直持續(xù)著的。因此長時間使用總是需要對油位高度進(jìn)行定期重新標(biāo)定的。

我們的模型只是給出了在定期某次標(biāo)定的一種標(biāo)定的方法，為了更科學(xué)地給出儲油罐的油量準(zhǔn)確標(biāo)定方法，我們提出下面更為系統(tǒng)的方法：

（1）定期對油罐的進(jìn)出油量和油高做好對應(yīng)記錄，保持實(shí)測數(shù)據(jù)的持續(xù)性。

（2）定期利用本文建立的模型（7）計(jì)算出相應(yīng)的橫向和縱向變位角度，以便于觀察對油罐進(jìn)行重新標(biāo)定的周期和時間。

（3）一般來說，重新標(biāo)定的周期是穩(wěn)定的，如果短時間發(fā)現(xiàn)算出的變位角度變化波動很不穩(wěn)定時，說明儲油罐受到了某些因素的較大影響，此時是需要對其進(jìn)行全方位的檢查和整修。

［1］樂經(jīng)良．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)［M］．北京：高等教育出版社，1999．

［2］田樂軍．傾斜式罐橢圓部分容積近似計(jì)算［J］．現(xiàn)代測量與實(shí)驗(yàn)室管理，2004，（01）．

［3］王憲杰，侯仁民．高等數(shù)學(xué)典型應(yīng)用實(shí)例與模型［M］．北京：科學(xué)出版社，2005．