邵 臻，王曉佳，高 飛，劉輝舟，楊 露

（合肥工業(yè)大學(xué)a.管理學(xué)院;b.過(guò)程優(yōu)化與智能決策教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，合肥 230009）

基于懲罰最小二乘估計(jì)的長(zhǎng)期用電量半?yún)?shù)預(yù)測(cè)模型

邵 臻，王曉佳，高 飛，劉輝舟，楊 露

（合肥工業(yè)大學(xué)a.管理學(xué)院;b.過(guò)程優(yōu)化與智能決策教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，合肥 230009）

文章針對(duì)懲罰最小二乘估計(jì)的高精度特性，構(gòu)建了基于懲罰最小二乘估計(jì)的半?yún)?shù)回歸模型。并將指數(shù)平滑思想融入模型，對(duì)模型的誤差序列進(jìn)行趨勢(shì)外推與大幅度外延預(yù)測(cè)。實(shí)證結(jié)果表明了所提方法的有效性。

半?yún)?shù)模型；懲罰最小二乘估計(jì)；指數(shù)平滑；電量預(yù)測(cè)

0 前言

目前，長(zhǎng)期負(fù)荷預(yù)測(cè)領(lǐng)域的研究方法主要包括參數(shù)理論與非參數(shù)理論等[1～3]。狀態(tài)空間、回歸分析、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、灰色理論、支持向量機(jī)和最優(yōu)組合預(yù)測(cè)方法等,基本上都屬于參數(shù)統(tǒng)計(jì)法的范疇,因變量對(duì)自變量有較強(qiáng)的依賴(lài)關(guān)系,當(dāng)假設(shè)函數(shù)模型成立時(shí),預(yù)測(cè)精度較高,當(dāng)假設(shè)函數(shù)不成立時(shí),預(yù)測(cè)模型的擬合情況和預(yù)測(cè)精度都不理想。非參數(shù)理論降低了自變量對(duì)因變量的限制,有較大的適應(yīng)性,但也可能會(huì)失去歷史資料所提供的信息,降低模型的解釋能力。

傳統(tǒng)的參數(shù)回歸操作簡(jiǎn)便，可以外延，適于預(yù)測(cè)，但難以精確擬合復(fù)雜的曲線(xiàn)；非參數(shù)回歸形式靈活，可以精確擬合復(fù)雜曲線(xiàn)曲面，但難以進(jìn)行大幅度外延預(yù)測(cè)。半?yún)?shù)模型最早由Stone于1977年提出，它有線(xiàn)性主部，可以把握大勢(shì)走向，適于外延預(yù)測(cè)；還有非參數(shù)部分，可以作局部調(diào)整，使數(shù)據(jù)較精確地?cái)M合。半?yún)?shù)模型引入了非參數(shù),克服了傳統(tǒng)偏差函數(shù)模型的局限性,使得數(shù)學(xué)模型與客觀實(shí)際更為接近,在數(shù)值上能夠分別求出參數(shù)、非參數(shù)(模型誤差)和偶然誤差,是一種非常理想的數(shù)據(jù)處理方法。本文擬對(duì)傳統(tǒng)半?yún)?shù)模型進(jìn)一步改進(jìn)，改進(jìn)后的半?yún)?shù)模型將指數(shù)平滑法融入模型并結(jié)合懲罰最小二乘估計(jì)法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，目前在電力負(fù)荷預(yù)測(cè)領(lǐng)域半?yún)?shù)模型的應(yīng)用尚不多見(jiàn)，將其運(yùn)用于電力負(fù)荷預(yù)測(cè)領(lǐng)域，將改善傳統(tǒng)方法諸如無(wú)法適應(yīng)較大幅度外延預(yù)測(cè)要求、預(yù)測(cè)精度偏低等不足之處。

1 模型構(gòu)建

1.1 半?yún)?shù)模型

半?yún)?shù)模型一般形式為：

其中yi是因變量；xi是參數(shù)部分自變量；Tj是非參部分自變量；β是回歸系數(shù),即待求參數(shù)；g為定義于實(shí)數(shù)集上的未知函數(shù);ε是隨機(jī)誤差，E(ε)=0，E(ε2)=σ2。xiβ反映了負(fù)荷預(yù)測(cè)可知的部分規(guī)律，把握因變量y變化的趨勢(shì)走向，為參數(shù)部分；g(Ti)+εi反映了負(fù)荷預(yù)測(cè)的不確定因素的影響，為非參數(shù)部分。

1.2 懲罰最小二乘法則

半?yún)?shù)回歸模型的估計(jì)方法很多，常見(jiàn)的有兩階段法、核函數(shù)法、樣條法、最近鄰法等等[4,5]。本文為了達(dá)到既可以排除隨機(jī)誤差項(xiàng)產(chǎn)生的噪音，同時(shí)又使得解具有一定的光滑性，從而有利于數(shù)據(jù)擬合以及外延預(yù)測(cè)的目的，采用基于懲罰最小二乘估計(jì)的半?yún)?shù)回歸模型。

懲罰最小二乘準(zhǔn)則函數(shù)為[6]：

當(dāng)λ→0時(shí),g(t)趨近于觀測(cè)量的三次樣條內(nèi)插。當(dāng)λ→∞時(shí),g(t)趨近于觀測(cè)量的線(xiàn)形回歸?？勺C明懲罰最小二乘原理的懲罰項(xiàng)可以表達(dá)為(Fessler,1991)：

其中，Q與T是 n×(n-2)和 (n-2)×(n-2)的矩陣。令 hi=ti+1-ti，i=1,2,…,n-1。

Q中元素滿(mǎn)足：

最終可以得到迭代求解方程，令

由式(6)、式(7)可計(jì)算 g?和 B?,觀測(cè)值的估計(jì)為：

1.3 基于三次指數(shù)平滑法的誤差修正

對(duì)于模型(10)我們還無(wú)法直接進(jìn)行外推預(yù)測(cè)，對(duì)于誤差時(shí)間序列項(xiàng)g?我們需要作進(jìn)一步處理。由函數(shù)逼近論可知，對(duì)于足夠光滑的函數(shù)我們可以用多項(xiàng)式函數(shù)去逼近。

設(shè)誤差序列項(xiàng){g?n}具有二次多項(xiàng)式趨勢(shì)，在二次指數(shù)平滑序列的基礎(chǔ)上，再做三次指數(shù)平滑序列：

2 模型求解

2.1 光滑參數(shù)λ的確定

光滑參數(shù)λ的取值對(duì)參數(shù),特別是對(duì)懲罰項(xiàng)估值的影響很大,其取值好壞將直接影響到實(shí)際擬合效果。當(dāng)平滑參數(shù)值λ選取較大時(shí)，λ的取值對(duì)數(shù)據(jù)平滑問(wèn)題來(lái)說(shuō)是十分關(guān)鍵的。

目前在平滑參數(shù)的選取準(zhǔn)則很多[7]。一些是基于再抽樣方法，例如CV，GCV準(zhǔn)則等等；而另一些是基于模型復(fù)雜度懲罰方法，例如基于AIC，BIC準(zhǔn)則的選擇方法。雖然幾類(lèi)方法的形式不同，本質(zhì)上都是為了尋找合適的參數(shù)，使得模型具有較優(yōu)的預(yù)測(cè)性能和泛化性能。

(1)交叉核實(shí)準(zhǔn)則

交叉核實(shí)(cross-validation，CV)，其基本思想是：選取λ所得的擬合曲線(xiàn)，用此曲線(xiàn)進(jìn)行預(yù)測(cè)，使所有預(yù)測(cè)點(diǎn)的均方誤差最小。在應(yīng)用時(shí)，常常將(xi，yi)模擬為預(yù)測(cè)點(diǎn)(即去掉此點(diǎn))，而依據(jù)剩下的n-1個(gè)點(diǎn)進(jìn)行估計(jì)，再將(xi，yi)代入所擬合的曲線(xiàn)，得到此點(diǎn)的值，記為Y?i。于是我們定義交叉核為：

其中，hii(λ)為帽子矩陣 H(λ)中的元素，使 CV(λ)值最小的λ即為所求值。

(2)廣義交叉核實(shí)準(zhǔn)則

廣義交叉核實(shí)法(Generalized Cross-Validation,GCV)是Leave-one out cross-validation方法的近似，我們定義廣義交叉核為：

2.2 模型預(yù)測(cè)

本文采用循環(huán)預(yù)測(cè)法進(jìn)行負(fù)荷預(yù)測(cè)[8,9],其基本思想是：對(duì)每一次的負(fù)荷預(yù)測(cè)值進(jìn)行循環(huán)使用。對(duì)于半?yún)?shù)回歸模型，當(dāng)預(yù)測(cè)yn+1時(shí)，利用三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)技術(shù)對(duì)g?(n+1)進(jìn)行估計(jì),得到負(fù)荷預(yù)測(cè)值 y?n+1 ，將負(fù)荷預(yù)測(cè)值y?n+1添加到原負(fù)荷樣本(y1,y2,…,yn)中組成新負(fù)荷樣本(y1,y2,...,yn,y?n+1)，再采用前述半?yún)?shù)估計(jì)方法進(jìn)行等間隔的下一步預(yù)測(cè)，如此循環(huán)直至得到所需的p步預(yù)測(cè)值。

3 算例分析

3.1 自變量的選取

影響電力負(fù)荷消耗的因素很多，例如經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)水平、經(jīng)濟(jì)發(fā)展階段、經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)特性以及生產(chǎn)生活水平等等諸多影響和制約因素。具體選取了全社會(huì)固定資產(chǎn)投資總額、國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值、人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值、工業(yè)增加值、社會(huì)消費(fèi)品零售總額、人口數(shù)量、商品零售價(jià)格指數(shù)、工業(yè)總產(chǎn)值等因素。計(jì)算自變量、因變量之間的相關(guān)程度，并去除與因變量相關(guān)程度較小的影響因素。

表1 自變量、因變量間的相關(guān)系數(shù)

通過(guò)灰色關(guān)聯(lián)度理論，計(jì)算出諸多影響因素(自變量)與因變量之間的灰色關(guān)聯(lián)度，對(duì)于所選取的8個(gè)影響因素其灰色關(guān)聯(lián)度依次為：0.9088，0.7243，0.6201，0.8762 ，0.9298，0.6495，0.9418，0.6082。綜合相關(guān)系數(shù)和灰色關(guān)聯(lián)度理論選取全社會(huì)固定資產(chǎn)投資總額、工業(yè)增加值、社會(huì)消費(fèi)品零售總額3個(gè)影響因素并進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，自變量與3個(gè)影響因素在5%的置信水平下可以認(rèn)為不存在單位根，因此選取上述3個(gè)因素建模。

3.2 算例分析

本文收集了1985～2009年江蘇省年度全社會(huì)用電量及其影響因素的資料。電量單位為億kWh，人口單位為萬(wàn)人，產(chǎn)業(yè)值單位為億元。影響年用電量(自變量)的因子有GDP，全社會(huì)固定資產(chǎn)投資總額，工業(yè)增加值，社會(huì)消費(fèi)品零售總額，總?cè)丝跀?shù)。用1985～1999年資料建模，2000～2009年資料進(jìn)行檢驗(yàn)。

對(duì)于光滑參數(shù)λ的選取，本文采用廣義交叉核實(shí)法(Generalized Cross-Validation,GCV)。通過(guò)GCV法迭代選取，最終選擇λ=0.43時(shí)達(dá)到較好的逼近精度和預(yù)測(cè)效果。

表2 擬合和檢驗(yàn)結(jié)果

表3 擬合和檢驗(yàn)結(jié)果

通過(guò)表2預(yù)測(cè)結(jié)果的對(duì)比不難發(fā)現(xiàn)，基于懲罰最小二乘估計(jì)的半?yún)?shù)模型在參數(shù)擬合階段表現(xiàn)出了很高的精度。通過(guò)對(duì)原始數(shù)據(jù)良好的擬合，從而反映原始數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，同時(shí)結(jié)合三次指數(shù)平滑法進(jìn)行趨勢(shì)外推，從而進(jìn)行預(yù)測(cè)。由表3可知基于懲罰最小二乘估計(jì)法的誤差指標(biāo)是比較令人滿(mǎn)意的。基于懲罰最小二乘估計(jì)的半?yún)?shù)模型進(jìn)行用電負(fù)荷預(yù)測(cè)具有較高的預(yù)測(cè)精度和實(shí)用性，半?yún)?shù)模型相較于傳統(tǒng)用電負(fù)荷預(yù)測(cè)模型具有更高的預(yù)測(cè)精度。

4 結(jié)束語(yǔ)

比較計(jì)算結(jié)果可以看到：在進(jìn)行較大幅度全社會(huì)用電量需求外延預(yù)測(cè)時(shí),半?yún)?shù)回歸法估計(jì)的平均擬合誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于灰色GM(1,1)、多元線(xiàn)性回歸等傳統(tǒng)方法。說(shuō)明半?yún)?shù)模型對(duì)電力需求預(yù)測(cè)估計(jì)精度較高。通過(guò)數(shù)值的擬合計(jì)算結(jié)果顯示,擬合估計(jì)值也比較接近真實(shí)值。也再次證明半?yún)?shù)模型對(duì)電量需求預(yù)測(cè)估計(jì)的優(yōu)越性。

文中主要考慮經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)水平、經(jīng)濟(jì)發(fā)展階段、經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)特性以及生產(chǎn)生活水平等等諸多影響和制約因素,然而實(shí)際中用電負(fù)荷的需求還受到其它因素的影響,如自然因素等。在今后的研究中,應(yīng)進(jìn)一步分析各種因素對(duì)用電負(fù)荷的影響,建立更精確的預(yù)測(cè)模型。同時(shí)半?yún)?shù)預(yù)測(cè)模型的擬合步長(zhǎng)和預(yù)測(cè)步長(zhǎng)的選取也是值得進(jìn)一步研究的問(wèn)題。

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F224

A

1002-6487（2012）24-0026-03

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（71071045；70801024）

邵 臻(1986-)，男，江蘇宿遷人，碩士研究生，研究方向：預(yù)測(cè)、決策科學(xué)與技術(shù)。

王曉佳(1982-)，男，安徽蚌埠人，博士研究生，研究方向：預(yù)測(cè)、決策科學(xué)與技術(shù)。

高 飛(1986-)，女，河北滄州人，碩士研究生，研究方向：決策科學(xué)與技術(shù)。

（責(zé)任編輯/亦 民）