林冬翠

(廣西幼兒師范高等?？茖W(xué)校，廣西南寧530022)

曲線積分第二中值定理“中間點(diǎn)”漸近性分析

林冬翠

(廣西幼兒師范高等?？茖W(xué)校，廣西南寧530022)

通過(guò)研究第一型曲線積分第二中值定理“中間點(diǎn)”的漸近性，將結(jié)論推廣到積分第二中值定理“中間點(diǎn)”的漸近性。首先給出第一型曲線積分第二中值定理及其證明，得出一個(gè)結(jié)論，由這個(gè)結(jié)論推導(dǎo)出定積分第二中值定理相應(yīng)的結(jié)果。所得結(jié)論推廣了文獻(xiàn)［1－3］中關(guān)于積分第二中值定理的結(jié)論。

第一型曲線積分;中值定理;中間點(diǎn);漸近性

0 引言

關(guān)于定積分中值定理“中間點(diǎn)”漸近性研究的文獻(xiàn)和結(jié)果有很多，并且取得了不少的成果。文獻(xiàn)［4］研究了在連續(xù)區(qū)間上一元函數(shù)的積分中值定理。文獻(xiàn)［5］研究了積分第一中值定理中間點(diǎn)當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度趨向于零時(shí)的漸近性，得出的結(jié)論對(duì)在某點(diǎn)不可微的函數(shù)仍然有效。文獻(xiàn)［1］研究了當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間上連續(xù)且存在(n－1)階導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g(x)在區(qū)間上存在m階導(dǎo)數(shù)時(shí)，積分第二中值定理“中間點(diǎn)”的漸近性，并且得到一系列相關(guān)的推論。文獻(xiàn)［2］研究了函數(shù)g(x)在區(qū)間［α，β］上連續(xù)且不變號(hào)，g(α)≠0，f(x)在區(qū)間［α，β］上單調(diào)連續(xù)，在α點(diǎn)處可微且f'(α)≠0時(shí)，積分第二中值定理中間點(diǎn)的漸近性。還研究了函數(shù)g(x)在區(qū)間［α，β］上連續(xù)且不變號(hào)，g(α)≠0，f(x)在區(qū)間［α，β］上單調(diào)連續(xù)，且存在n階導(dǎo)數(shù)時(shí)，積分第二中值定理“中間點(diǎn)”的漸近性。文獻(xiàn)［5］研究了函數(shù)g(x)在區(qū)間［α，β］上連續(xù)且不變號(hào)，g(α)≠0，f(x)在區(qū)間［α，β］上單調(diào)連續(xù)，且滿足=A≠0，λ＞0和A是兩個(gè)常數(shù)時(shí)，積分第二中值定理“中間點(diǎn)”的漸近性。文獻(xiàn)［6］則是在文獻(xiàn)［1－3］的基礎(chǔ)上，歸納分析關(guān)于積分第一中值定理“中間點(diǎn)”的漸近性的一些結(jié)果，再進(jìn)而推出與之對(duì)應(yīng)的關(guān)于積分第二中值定理的結(jié)果。文獻(xiàn)［6］中的結(jié)論分別是文獻(xiàn)［1－3］的結(jié)論的推廣。

然而，對(duì)于曲線積分中值定理“中間點(diǎn)”漸近性的研究比較少。文獻(xiàn)［7］利用極限理論對(duì)第一型曲線積分中值定理“中間點(diǎn)”的漸近性進(jìn)行了探討，主要研究函數(shù)f(x，y)在光滑曲線上連續(xù)，在某點(diǎn)處存在一階導(dǎo)數(shù)且不為零時(shí)曲線積分第一中值定理“中間點(diǎn)”的漸近性，所得到的結(jié)論是積分第一中值定理“中間點(diǎn)”的漸近性的相應(yīng)推廣。文獻(xiàn)［8－9］研究了函數(shù)f(x，y)在光滑曲線上連續(xù)，在某點(diǎn)處存在n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且在某點(diǎn)前(n－1)階導(dǎo)數(shù)為零，n階導(dǎo)數(shù)不為零時(shí)，曲線積分第一中值定理“中間點(diǎn)”的漸近性，所得的結(jié)論是積分第一中值定理“中間點(diǎn)”的漸近性的相應(yīng)推廣。文獻(xiàn)［10］研究了函數(shù)f(x，y)在光滑曲線上連續(xù)，且滿足給定條件下的曲線積分第一中值定理“中間點(diǎn)”的漸近性，得到的結(jié)論是文獻(xiàn)［7－9］的結(jié)論的推廣，其結(jié)論也是積分第一中值定理“中間點(diǎn)”的漸近性相應(yīng)的推廣。本文在文獻(xiàn)［7－10］的基礎(chǔ)上，討論第一型曲線積分第二中值定理“中間點(diǎn)”的漸近性，推廣了積分第二中值定理“中間點(diǎn)”的漸近性，得到的結(jié)論是文獻(xiàn)［1－3］的結(jié)論的推廣，其結(jié)論也是積分第二中值定理“中間點(diǎn)”的漸近性相應(yīng)的推廣。

1 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)主要介紹本文用到的主要引理。

引理1［4］(積分第一中值定理)若f在［a，b］上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)ζ∈［a，b］，使得

引理2［4］(推廣的積分第一中值定理)若f(x)與g(x)都在［a，b］上連續(xù)，且g(x)在［a，b］上不變號(hào)，則至少存在一點(diǎn)ζ∈［a，b］，使得

引理3［4］(推廣的積分第二中值定理)設(shè)函數(shù)f在［a，b］上可積，若g為單調(diào)函數(shù)，則存在ζ∈［a，b］，使得

引理4［4］如果函數(shù)f(x，y)在光滑曲線C(A，B)上連續(xù)，則存在一點(diǎn)M(x0，y0)∈C(A，B)，使得，其中s表示曲線C(A，B)的長(zhǎng)。

引理5［5］若函數(shù)f(x，y)在光滑曲線C(A，B)上連續(xù)，則存在一點(diǎn)M(x0，y0)∈C(A，B)(端點(diǎn)A，B除外)，使得，其中s表示曲線C(A，B)的長(zhǎng)。

引理6［4］如果曲線C(A，B):x=x(t)，y=y(t)(α≤t≤β)是光滑的，函數(shù)f(x，y)在曲線C(A，B)上連續(xù)，那么第一型曲線積分存在，且

2 曲線積分第二中值定理中間點(diǎn)的漸近性

首先我們給出第一型曲線積分第二中值定理的證明。

定理1設(shè)函數(shù)g(x，y)在光滑曲線C(A，B):x=x(t)，y=y(t)(α≤t≤β)上可積.若f(x，y)是曲線C(A，B)上的單調(diào)函數(shù)，則存在一點(diǎn)M［x(ζ)，y(ζ)］∈C(A，B)(端點(diǎn)A，B除外)，使得

證明:由引理6得

由引理3得

再由引理6得

定理1獲證。

關(guān)于曲線積分第二中值定理“中間點(diǎn)”的漸近性，我們可得到以下幾個(gè)結(jié)論。

定理2如果曲線C(A，B):x=x(t)，y=y(t)(α≤t≤β)是光滑的，函數(shù)g(x，y)在曲線C(A，B)上連續(xù)，f(x，y)是曲線C(A，B)上關(guān)于參數(shù)t單調(diào)的函數(shù)，并且有實(shí)數(shù)q＞0，，實(shí)數(shù)p＞－1，這里h(t)=f［x(t)，y(t)］，k(t)=g［x(t)，y(t)］，A，B是兩個(gè)常數(shù)，那么定理1中的中間點(diǎn)M［x(ζ)，y(ζ)］∈C(A，B)有漸近性，其中s*，s分別是曲線C(A，M)和C(A，B)的長(zhǎng)。

證明:設(shè)“中間點(diǎn)”M［x(ζ)，y(ζ)］對(duì)應(yīng)參數(shù)t=ζ，即x0=x(ζ)，y0=y(ζ)，則有α＜ζ＜β.由引理6得到

構(gòu)造輔助函數(shù)

利用L’Hospital法則，我們可得到

利用第一型曲線積分第二中值定理和L`Hospital法則，又得到

比較(1)式和(2)式，我們有

注:定理1中的“中間點(diǎn)”M［x(ζ)，y(ζ)］∈C(A，B)，s*，s分別是曲線C(A，M)和C(A，B)的長(zhǎng).上述的通式為,當(dāng)時(shí)q=1，即其中實(shí)數(shù)p＞－1，則該通式可表示為，即當(dāng)k(α)不為0其中q＞0，則通式可表示為;更特別的當(dāng)q=1時(shí)，存在且不為0時(shí)，也即f(x，y)在當(dāng)α的某領(lǐng)域存在一階導(dǎo)，g［x(α)，y(α)］≠0，即

證明:考慮光滑曲線C(A，B):x(t)=t，y(t)=0(α≤t≤β)，在曲線C(A，B)上，g［x(t)，y(t)］=g(t)，f［x(t)，y(t)］=f(t由題意知，g(t)在［α，β］上連續(xù)可積，f(t)是［α，β］上單調(diào)連續(xù)曲線積分化為了區(qū)間［α，β］上的積分，即定理2中的

由定理2，可知積分第二中值定理的“中間點(diǎn)”ζ有漸近性

定理3如果曲線C(A，B):x=x(t)，y=y(t)(α≤t≤β)是光滑的，函數(shù)g(x，y)是曲線C(A，B)上的連續(xù)函數(shù)，f(x，y)是曲線C(A，B)上關(guān)于參數(shù)t單調(diào)的連續(xù)函數(shù)，并且h(i)(α)=0，(i=1，2，…，n－1)，hn(α)=0，k(m－1)(α)≠0，k(j)(α)=0(j=0，1，…，m－2)這里k(t)=g［x(t)，y(t)］，h(t)=f［x(t)，y(t)］，那么定理1中的“中間點(diǎn)M［x(ζ)，y(ζ)］∈C(A，B)有漸近性*，其中s，s分別是曲線C(A，M)和C(A，B)的長(zhǎng)。

證明:由于函數(shù)h(t)=f［x(t)，y(t)］在點(diǎn)α處存在n階導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)h(t)在點(diǎn)α處帶有Peano型余項(xiàng)的泰勒展開為

同理，函數(shù)k(t)=g［x(t)，y(t)］在點(diǎn)α處存在m－1階導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)k(t)在點(diǎn)α處帶有Peano型余項(xiàng)的泰勒展開得到

由定理2可知定理1中的“中間點(diǎn)”M［x(ζ)，y(ζ)］∈C(A，B)有漸近性，其中s*，s分別是曲線C(A，M)和C(A，B)的長(zhǎng)。

注:定理1中的“中間點(diǎn)”M［x(ζ)，y(ζ)］∈C(A，B)，s*，s分別是曲線C(A，M)和C(A，B)的長(zhǎng).上述的通式，當(dāng)n=1時(shí)，即f(x，y)存在一階可導(dǎo)，g(x，y)存在直到m－1導(dǎo)時(shí)，該通式可表示當(dāng)m=1時(shí)，即g(x，y)當(dāng)β→α?xí)r連續(xù)不可導(dǎo)，f(x，y)存在直到n導(dǎo)時(shí)，即該通式可表示為

推論［1］若函數(shù)g(x)在［α，β］上連續(xù)且不變號(hào)，f(x)在［α，β］上單調(diào)且連續(xù)，fn(α)存在，且f(i)(α)=0(i=1，2，…，n－1)，f(n)(α)≠0，n≥1，g(m－1)(α)≠0，g(j)(α)=0，(j=0，1，…，m－2)，ζ是積分第二中值定理的“中間點(diǎn)”，則

證明:考慮光滑曲線C(A，B):x=x(t)，y(t)=0(α≤t≤β)，在曲線C(A，B)上，g［x(t)，y(t)］=g(t)，f［x(t)，y(t)］=f(t)由題意知，g(t)在［α，β］上連續(xù)且不變號(hào)，f(t)在［α，β］上單調(diào)且連續(xù)，f(n)(α)存在，且f(i)(α)=0(i=1，2，…，n－1)，f(n)(α)≠0，n≥1，g(m－1)(α)≠0，g(j)(α)=0(j=0，1，…，m－2)

曲線積分化為了區(qū)間［α，β］上的積分，即定理3中的

由定理3，可知積分第二中值定理的“中間點(diǎn)”ζ有漸近性

以上的推論是曲線積分第二中值定理“中間點(diǎn)”的漸近性在定積分第二中值定理“中間點(diǎn)”的漸近性的推廣。

［1］吳俊，嚴(yán)平.關(guān)于第二積分中值定理中的漸近性［J］.安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1999，22(2):111－113.

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［責(zé)任編輯劉景平］

On Asym ptotic Property of the Mid－point of the Second Mean Value Theorem for First Form Curve Integral

LIN Dong－cui
(Guangxi College for Preschool Education，Nanning，Guangxi530022，China)

The asymptotic property of themid－pointof the second mean value theorem for first form curve integral is investigated．Then the result is generalized to the asymptotic estimation for themiddle pointof the second integralmean value．This conclusion is derived from the corresponding results of the definite integral of the second mean value theorem．By using the first curve points，themean pointof the secondmean value theorem for first kind curve integral is discussed．Finally the conclusions in this article extend those in［1］，［2］and［3］．

first form curvilinear integral;mean value theorem;mid－point;asymptotic property;

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O175

A

1672－9021(2012)02－0065－07

林冬翠(1977－)，女(壯族)，廣西南寧人，廣西幼兒師范高等?？茖W(xué)校公共基礎(chǔ)部講師，主要研究方向:理論數(shù)學(xué)。

2011－10－26