☉福建省武夷山市第二中學(xué) 彭繼飛

從課本一道例題教學(xué)的“ 聽 ”中得到的啟示

☉福建省武夷山市第二中學(xué) 彭繼飛

數(shù)學(xué)課本上有很多例題，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中離不開課本上例題的教學(xué).怎樣用好課本上的例題是數(shù)學(xué)教師關(guān)注的一個(gè)重要方面.筆者最近聽了一節(jié)常規(guī)課，在對課本一道例題的“聽”中得到了一些啟示.

一、課堂

此節(jié)課的內(nèi)容是人教A版《數(shù)學(xué)》必修2§4.2.1直線與圓的位置關(guān)系（P126-P128）.上課老師在講評例題2時(shí)是這樣進(jìn)行的.

首先教師在黑板上寫出例題2的題目：

已知過點(diǎn)（-3，-3）的直線l被圓x2+y2+4y－21=0所截得的弦長為4，求直線l的方程.

題目寫好后先讓學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考，然后由教師提問.可能學(xué)生課前預(yù)習(xí)過，對于課本上提供的解法學(xué)生很好地配合老師講完.教師并把課本上的解題過程板書在黑板上.

解：將圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，得：x2+（y+2）2=25，所以圓心坐標(biāo)是（0，-2），半徑r=5.

圖1

因?yàn)橹本€l過點(diǎn)（-3，-3），所以可設(shè)所求直線l的方程為y+3=k（x+3），即kx－y+3k－3=0.

此時(shí)上課老師說道：同學(xué)們已經(jīng)很好地掌握了這道題的解法，但老師覺得課本上這道例題的解法有一處表達(dá)上不是很完整，大家發(fā)現(xiàn)了嗎？大家找找看.

全班學(xué)生聽后，有部分學(xué)生小聲議論：課本不會有這樣的情況吧.但大家還是認(rèn)真地看課本上例題的解法.……

學(xué)生1：老師，沒發(fā)現(xiàn)呀，我覺得很完整的.

（很多學(xué)生表示認(rèn)同）

學(xué)生2：老師，……（欲言又止）

老師：講一講，沒關(guān)系的.

學(xué)生2：要在“因?yàn)橹本€l過點(diǎn)（-3，-3）”與“所以可設(shè)所求直線l的方程為y+3=k（x+3）”之間加一句話“所以直線l的斜率存在”.

老師：你是怎么想到要加這句話的，說說你的理由.

學(xué)生2：老師經(jīng)常交待我們在設(shè)直線點(diǎn)斜式之前要考慮直線斜率是否存在嘛.

學(xué)生3：我不認(rèn)為這樣.前面提到過圓心到所求直線l的距離為且圓心又在y軸上，這就隱含著本題中過點(diǎn)（-3，-3）的直線l不能垂直x軸，即斜率存在；倘若直線l垂直x軸，圓心到所求直線l的距離為3呀.

學(xué)生4：學(xué)生3說得對，你看課本P128頁的右上角還有一個(gè)小注解“適當(dāng)利用圖形的幾何性質(zhì)，有助于簡化計(jì)算”，這里就是幾何性質(zhì)的應(yīng)用嘛.

學(xué)生6：這不叫“賣關(guān)子”，課本當(dāng)然是有啟發(fā)性的，你應(yīng)該自己一句話一句話去讀、去想嘛.

學(xué)生5：那看數(shù)學(xué)課本不成了批注文言文嘛.

學(xué)生大笑，看著老師.

老師：從大家的回答中我覺得大家還是有自己的想法的，老師很高興.老師贊同學(xué)生2的看法，此題加一句話更好一些.而且我把解題過程換一種方式進(jìn)行表達(dá)，這種表達(dá)方式條理更清楚.大家請看：（出示事先準(zhǔn)備好的幻燈片課件）

解：將圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，得：x2+（y+2）2=25，所以圓心坐標(biāo)是（0，-2），半徑r=5.

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線l的方程為y+3=k（x+3），即kx－y+3k－3=0.

即x+2y+9=0，或2x－y+3=0.

學(xué)生7：如果當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)求出的弦長符合題意呢.

學(xué)生8：這時(shí)直線l的方程就為x=－3呀.

老師：就一個(gè)答案嗎？

學(xué)生2：還有的，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，用剛才類似的方法可以算出k的另外的兩個(gè)值.

學(xué)生9：這樣那滿足題意的直線有3條呀.按照圓的對稱性滿足題意的直線應(yīng)該僅有2條吧.

一部分學(xué)生愕然……

老師：說得好，在“當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)求出的弦長符合題意”時(shí)，到后面求k的值時(shí)方程自然就只有一解的.數(shù)學(xué)“神”著呢.

（學(xué)生出現(xiàn)不相信的表情）

老師：大家看下面道題目及其解法（出示事先準(zhǔn)備好的幻燈片課件）：已知過點(diǎn)（-3，-3）的直線l被圓x2+y2+4y－21=0所截得的弦長為8，求直線l的方程.

解：將圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，得：x2+（y+2）2=25，所以圓心坐標(biāo)是（0，-2），半徑r=5.

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線l的方程為y+3=k（x+3），即kx－y+3k－3=0.

學(xué)生：果然！

老師：這種解題過程條理顯得更清楚！大家以后遇到這類問題按這樣的解法更好！

老師：本題還可以出有關(guān)過一圓外已知點(diǎn)求圓的切線方程題目.大家請看下列題目（出示事先準(zhǔn)備好的幻燈片課件）：

題1：已知圓C：x2+y2+4y－21=0，求過點(diǎn)（1，5）與圓C相切的直線l的方程.

題2：已知圓C：x2+y2+4y－21=0，求過點(diǎn)（5，1）與圓C相切的直線l的方程.

老師：解法開始步驟與前面問題類似，分“直線l的斜率不存在時(shí)”與“直線l的斜率存在時(shí)”這兩種情況討論，與前面問題不同的是在求斜率k時(shí)是通過圓心到直線的距離等于圓的半徑這一條件列方程.對有關(guān)過一圓上已知點(diǎn)求圓的切線方程題目相對比較簡單，如下面題目（出示事先準(zhǔn)備好的幻燈片課件）：

題3：已知圓C：x2+y2+4y－21=0，求過點(diǎn)（3，2）與圓C相切的直線l的方程.

這三個(gè)題目課后大家可以自己獨(dú)立研究解決，有困難的同學(xué)可以求助學(xué)習(xí)小組或老師.研究完可以寫成一篇小論文，交給老師.

……

二、點(diǎn)評

本節(jié)課是一節(jié)“推門課”，筆者感覺聽起來很真實(shí)，少了公開課的“做秀”.老師對課堂的生成很重視，老師不會因?yàn)闉橥瓿蛇@節(jié)課的任務(wù)而“應(yīng)付”課堂生成.老師對解題的指導(dǎo)做到該探究則探究，該講授則講授.整節(jié)課的容量不小，但條理清楚，學(xué)生并不感到負(fù)擔(dān)重.本節(jié)課中的例題解法書寫對學(xué)生今后學(xué)習(xí)選修中的直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問題打下了一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)內(nèi)容“螺旋上升”的原則.有一些不足之處，如從已知弦長求割線問題過渡到求切線問題時(shí)不夠自然；教學(xué)中強(qiáng)調(diào)書寫格式較多，對解析幾何中“數(shù)形結(jié)合”的思想滲透重視不夠.

三、幾點(diǎn)啟示

啟示1：課堂上例題教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)“算法”思想.老師做到這一點(diǎn)，學(xué)生就有可能解決相類似的一類問題，這就有“舉一反三”可能，從而也才有創(chuàng)新的可能.本節(jié)課的例題教學(xué)較好地體現(xiàn)了“算法”思想.

第一步：求出已知圓的圓心（a，b）和半徑r.

第三步：設(shè)過已知點(diǎn)（x0，y0）的直線l的方程為y－y0=k（x－x0）即kx－y+y0－kx0=0.

第五步：寫出符合題意的直線方程.

啟示2：老師講解例題時(shí)不能只局限于本道例題，可以對例題進(jìn)行再“加工”，即一題多用，這樣課堂的效率大大提高.本節(jié)課就把例題“加工”成過圓外一點(diǎn)或圓上一點(diǎn)求圓的切線問題.只要老師處理得好，學(xué)生負(fù)擔(dān)是不會加重的.經(jīng)常這樣做，老師的出題能力會大大加強(qiáng)，學(xué)生也能從中學(xué)會一些發(fā)現(xiàn)問題、研究問題的方法.

啟示3：例題教學(xué)要注意三方面：一是本節(jié)課的知識方法應(yīng)用，二是對前面知識方法的鞏固應(yīng)用，三是對以后學(xué)習(xí)中一些問題解決做一些“鋪墊”.這一定程度上體現(xiàn)了學(xué)習(xí)內(nèi)容“螺旋上升”的原則.

啟示4：可以在學(xué)校教研組內(nèi)部開展一種名為“說例”（即說課本例題）的教研活動(dòng).對課本上有一定代表性的例題進(jìn)行“說例”活動(dòng)時(shí)，可以從以下幾方面進(jìn)行分析來“說”：

1.例題的編制背景.

2.例題的編制意圖.

3.例題的解法由來.

4.例題的解法創(chuàng)新.

5.例題的拓廣.

6.例題與近幾年高考試題、競賽題的聯(lián)系.

有可能的話，把必修和選修課本中的例題“說”的內(nèi)容匯編起來，這就是一項(xiàng)很好的校本教研成果了.

1.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（人教A版數(shù)學(xué)必修2）.北京：人民教育出版社，2011.