☉貴州省凱里學院附屬中學 吳秀吉 王祖美

坐標變換在求空間閉體體積中的應用

☉貴州省凱里學院附屬中學 吳秀吉 王祖美

在高中數學的學習中，我們已經學習過長方體，正方體，棱柱，棱錐，圓柱，圓錐等，要求它們的體積我們只要知道它們的底面積和高并代入已有公式就很容易求得.對于底面面積比較難求這一類閉體，沒有一般的公式和方法.本文以平面截球所得截面是圓，球心與圓心的連線垂直于截面為基礎，利用坐標伸縮變換為橋梁對此問題進行研究并得出結果.

一、下面給出文［1］中3個命題，并就命題1，2給出證明過程

命題2［1］：在平面內，夾在兩平行直線間的兩個平面圖形，被平行于這兩條直線的任意直線所截，如果截得一個圖形的線段長總是另一個圖形線段長的k倍，那么這個圖形的面積是另一個圖形面積的k倍.

證明：設夾在兩平行線l1，l2的封閉曲線C，C′，且垂直于l1，l2的垂線段長為b，現將［0，b］內任意插入（n－1）個點：x1，x2，…，xn－1.為了便于書寫，令x0=0，xn=b，使

此分法表示為T.此分法將［0，b］分成n個小區(qū)間：

第k個小區(qū)間［xk－1，xk］的長為Δxk=xk－xk－1.第k個小區(qū)間［xk－1，xk］上任取一點ξk（xk－1≤ξk≤xk）.以ξk所在的線段長為f（ξk），則以f（ξk）為長以Δxk為寬的矩形面積f（ξk）Δxk應是“第k個小曲邊梯形的面積”ΔAk的近似值，即ΔAk≈f（ξk）Δxk，其中（k=1，2，…，n）.顯然，當Δxk越小，其近似程度越好.將n個矩形的面積加起來，應該是“封閉曲線C所圍成面積”的近似值，即

其中，S′是封閉曲線C′圍成的面積.證畢.

證明：略.

二、命題2、命題3在空間中的推廣

定理1：夾在兩平行平面間的兩個閉體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的一個平面圖形的面積總是另一個平面圖形面積的k倍，那么這個閉體的體積是另一個閉體體積的k倍.

圖1

三、現在我們通過舉例來說明對定理2的應用

例2 已知平面S：2x+y+z+10=0與橢球4x2+25y2+4z2=400相交于一個橢圓面S1.設其中心為M，求橢圓錐OS1的體積.

綜上所述，對于球體的相關體積問題，我們可以通過利用坐標的伸縮變換，將其轉化為單位球體中的體積來解決，很大程度上降低了問題解決的難度，從而達到解決問題的目的.

1.唐明甫.求平面封閉圖形面積的一種方法［J］.數學通訊，1999，4．

2．劉玉璉，傅沛仁.數學分析講義（上）［M］.北京：高等教育出版社，2003.

3.劉玉璉，傅沛仁.數學分析講義（下）［M］.北京：高等教育出版社，2003.

4.陳志杰.高等代數與解析幾何(下)［M］.北京：高等教育出版社，2001.