☉江蘇省灌南高級(jí)中學(xué) 徐子娟

立體幾何中有關(guān)角、距離、面積、體積等最值問題頻頻出現(xiàn)在近年的高考試卷中，此類問題涉及的知識(shí)面廣，靈活性強(qiáng).筆者通過對(duì)近年來高考題中幾個(gè)典型的例題進(jìn)行分析，淺談這類問題的處理方略，供參考.

一、定性分析法

例1 已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點(diǎn)，若AB=CD=2，則四面體ABCD的體積的最大值為（ ）.

點(diǎn)評(píng)：本題中由于AB的長(zhǎng)是定值，所以當(dāng)三角形PCD的面積取最大值時(shí)，四面體ABCD的體積最大；于是本題可轉(zhuǎn)化為求三角形PCD中CD邊上的高h(yuǎn)的最大值問題.

二、定量分析法

例2（2011山東卷理）在如圖1所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ACB=90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，F(xiàn)G∥BC，EG∥AC，AB=2EF.

（1）若M是線段AD的中點(diǎn)，求證：GM∥平面ABFE；

（2）若AC=BC=2AE，求二面角A-BF-C的大小.

圖1圖2

解析：（1）如圖1所示，連接AF，可證得FG∥AM且FG=AM.

所以四邊形AFGM為平行四邊形，因此GM∥FA.又FA?平面ABEF，GM?平面ABEF，所以GM∥平面ABFE.

（2）分別以AC、AD、AE所在直線為x軸、y軸和z軸，建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系.

因此二面角A-BF-C的大小為60°.

點(diǎn)評(píng)：本題涉及二面角，條件之間的關(guān)系不容易發(fā)現(xiàn)；利用向量法可以將兩個(gè)面之間的關(guān)系有機(jī)地連接起來，運(yùn)算較為簡(jiǎn)便.

三、基本不等式法

圖3

例3 如圖3，過半徑為R的球面上一點(diǎn)P作三條兩兩垂直的弦PA、PB、PC.

（1）求證：PA2+PB2+PC2為定值；

（2）求三棱錐P-ABC的體積的最大值.

解析：（1）設(shè)過PA、PB的平面截球得⊙O1.由PA⊥PB，得AB是⊙O1的直徑.連接PO1并延長(zhǎng)交⊙O1于D，則四邊形PADB是矩形，PD2=PA2+PB2.設(shè)O為球心，則OO1⊥平面⊙O1.由PC⊥⊙O1所在平面，得OO1∥PC，因此過PC、PD的平面經(jīng)過球心O，截球得大圓.又PC⊥PD，則CD是球的直徑.故PA2+PB2+PC2=PD2+PC2=CD2=4R2，為定值.

（2）設(shè)PA、PB、PC的長(zhǎng)分別為x、y、z，則三棱錐P-ABC的體積

點(diǎn)評(píng)：本題新穎靈活，綜合性較強(qiáng)，需用基本不等式進(jìn)行求解.在均值不等式的應(yīng)用中要注意應(yīng)用條件.

四、導(dǎo)數(shù)法

（1）當(dāng)棱錐A′-PBCD的體積最大時(shí)，求PA的長(zhǎng)；

（2）若點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，E為A′C的中點(diǎn)，求證：A′B⊥DE.

x 0，2 3■3（ ）233 2 3■3 ，+∞（ ）f′（x）+0-f（x）單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減

△A′PB為等腰直角三角形，A′B⊥PF，所以A′B⊥DE.

點(diǎn)評(píng)：從近年來全國(guó)高考命題形勢(shì)看，在立體幾何中滲透變量思想，而隨著導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)的深入，利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的最值問題已經(jīng)成為重要手段，那么在立體幾何中利用導(dǎo)數(shù)處理最值問題是一種很好的嘗試.本題不同于前面的試題，它的亮點(diǎn)在于本題盡管用到導(dǎo)數(shù)但是仍然屬于立體幾何計(jì)算和證明題，這一點(diǎn)比起其他試題具有更加鮮明的特色.