☉江蘇省睢寧高級中學（南校） 張大成 黃安成（特級教師）

這個話題，本不該有爭議，但鑒于數(shù)學教學的時間緊、內容多、負擔重、難度大，許多數(shù)學教師在實踐中感到“無暇顧及”這個重要任務.更有甚者，認為數(shù)學教的只能是數(shù)學，不應該去管數(shù)學以外的“閑事”，學生也不懂什么辯證思維，講了也白講，既耽誤了寶貴的教學時間，又很難取得成效，不如多處理一些題目來得實惠.所以對這個話題極有必要進行深入的探討和研究.

1.在數(shù)學教學中培養(yǎng)學生辯證思維的必要性

恩格斯說：“數(shù)學中充滿了辯證法”，“數(shù)學：辯證的輔助工具和表現(xiàn)形式”［1］，所以《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》［2］要求學生“具有一定的數(shù)學視野，逐步認識數(shù)學的科學價值、應用價值和文化價值，…，從而進一步樹立辯證唯物主義和歷史唯物主義世界觀.”

學生在初中階段，已經(jīng)學得了一點邏輯思維的基本原理與方法，但由于心理的稚嫩、思維水平與能力的薄弱、認知能力的局限、知識面的狹隘、生活閱歷的貧乏、對人生及世界認識的膚淺與片面，辯證思維對于他們來說幾乎是一片空白.而高中階段則是他們的人生觀與科學世界觀逐步形成的關鍵時刻，他們將要經(jīng)歷的應該是從幼稚到成熟、從蒙昧到覺醒的成長、成熟的過程.在此過程中繼續(xù)提高他們的邏輯思維水平，反復進行分析與解決問題的技能訓練，固然是十分重要的，但在他們的綜合素質中應該含有辯證思維的水平與能力.高中的政治教學當然應首先擔負起這個重任，而作為理科之首的數(shù)學，也應該義不容辭地與政治教師“并肩協(xié)同作戰(zhàn)”，而且由數(shù)學教師充分利用數(shù)學教學資源當此重任，具有的是鮮明的數(shù)學特色，在某些方面甚至還可以取得政治教學難以取得的上佳效果.

2.在數(shù)學教學中培養(yǎng)學生辯證思維的可行性

2.1 數(shù)學教材中含有大量可資利用的素材

數(shù)學中充滿了辯證法，高中數(shù)學教材中也充滿了辯證法.若舍棄不用，則是資源的浪費和良機的喪失.說嚴重一點，更是數(shù)學教師的失責.關鍵問題是須做到抓住契機、有機結合、巧妙揭示.

2.2 深入淺出的教學可取得良好的效果

別擔心學生“不懂”，只要利用教學內容中鮮活生動的實例，用貼近學生思維、知識和生活的語言，深入淺出地進行講解，學生的思維和思想定會與教師產生可喜的共鳴，深刻的道理就會變得淺顯，通過內化，就變成他們自己腦海中的組成部分.數(shù)學教師來做這件事，學生將更加感到興趣盎然.

2.3 辯證思維也有助于學生數(shù)學素養(yǎng)的優(yōu)化

在許多概念的教學和問題解答的過程中，辯證思維的培養(yǎng)和數(shù)學素養(yǎng)的優(yōu)化是融為一體、很難分割的，那么兩者的互補和相得益彰，就使學生的綜合素養(yǎng)提升到一個新的制高點，也將使我們的數(shù)學教學上升到一個更高的品位.

2.4 結合貼近學生生活的具體事例強化辯證思維的發(fā)展

在學生的實際生活中也存在著大量蘊涵辯證思維的例子，巧妙結合數(shù)學內容，利用學生的親身感悟和體驗，辯證思維的科學理念將更加深入學生的心靈.

3.在數(shù)學教學中培養(yǎng)學生辯證思維例探

3.1 矛盾是推動事物發(fā)展的根本動力

矛盾是推動事物發(fā)展的根本動力.“矛”想戳穿“盾”，就須變得越來越銳利；“盾”想防住“矛”，就須變得越來越堅固.“矛”和“盾”之間的爭斗推動了“攻、守”雙方的不斷進步.肝炎原本只有一種“甲肝”，但在人們與甲肝的斗爭中，甲肝病毒它要謀求生存，就不斷變異，以后就陸續(xù)出現(xiàn)了“乙肝、丙肝、丁肝、戊肝、…”.藥物與病毒之間的爭斗推動了醫(yī)藥事業(yè)的發(fā)展.

數(shù)學中也不乏其例.計算3-5的矛盾，促使負數(shù)的誕生；計算3÷5的矛盾，促使分數(shù)的誕生；研究方程x2=2解的矛盾，促使無理數(shù)的誕生；研究方程x2=-1解的矛盾，促使虛數(shù)的誕生；…所以應讓學生明白，我們不僅不回避矛盾，而且還要尋找矛盾、發(fā)現(xiàn)矛盾，并用創(chuàng)造性的思維解決矛盾，那么我們就會在這個辯證運動的過程中變得越來越聰明、越來越能干.

3.2 矛盾雙方的良性轉化

矛盾雙方在一定條件下是可以實現(xiàn)相互轉化的，而轉化是非常重要的一種數(shù)學思想，是解決數(shù)學問題最具威力的一種武器.我們不僅要讓學生熟練掌握轉化的技能、技巧，而且還要從本質上深刻領會轉化中蘊涵的辯證思想，這樣才能做到高瞻遠矚、運用自如、得心應手.當然轉化有“良性”和“惡性”之分.正常細胞在外界某種刺激源的作用下，產生癌變，這是惡性轉化.我們追求的當然是有利于問題解決和能力提高的良性轉化.

例1 如圖1（1），在側棱長為2，底面邊長為1的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，P是對角線BD1上的動點，求AP+PC的最小值.

圖 1（1） 圖 1（2）

分析：在立體幾何的學習和問題解決中，有一個突出的矛盾，就是平面的二維空間與立體的三維空間之間的視覺和心理差異.在本題中，求的是AP+PC的最小值，可是AP在平面ABD1內，PC在平面BCD1內，這給題解造成極大的麻煩.可熟稔轉化的學生卻很快找到突破的方法，將△ABD1與△BCD1所在平面展開為一個平面，得圖1（2），則AC之長為所求.

只知道將立體圖形展開成平面圖形，那是技能；若又知道這是一種普遍規(guī)律，那就形成了一種思想；基于此，還知道轉化是辯證思想的體現(xiàn)，那就是一種高境界.

3.3 偶然性與必然性

科學中的發(fā)明創(chuàng)造看似有一定的偶然性，學生也許認為靠的是某種“運氣”，殊不知從偶然性中折射出來的是一種必然性，必然性存在與偶然性之中，這就是哲學的一個基本原理.那種不靠堅實的基礎、靈活的思維，靠“撞大運”取勝的心理是不可取的.

蘋果從樹上掉到地上，是再普通的常見現(xiàn)象，別人見了，無任何反應，但有心的牛頓卻從中獲得啟示發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律.法國著名數(shù)學家笛卡兒長期思考用代數(shù)方法來研究幾何問題.1619年11月10日傍晚，他在朦朧中觀察到在墻角結網(wǎng)的蜘蛛，那縱橫交錯的蛛絲網(wǎng)絡引發(fā)了他的靈感，那不正是多年來夢寐以求的“坐標系”嗎？由此創(chuàng)立了推動世界科技發(fā)展的新型數(shù)學分支《解析幾何》.偶然的發(fā)現(xiàn)是長期苦苦思索和孜孜以求的必然結果.

例2 如圖2，設拋物線E：x2=2py（p＞0），M為直線y=-2p上任意一點，過M引拋物線E的兩條切線，切點分別為A、B.求證：A、M、B三點的橫坐標成等差數(shù)列.

圖2

由①②兩式，立即知x1、x2是方程x2-2x0x-4p2=0的兩根，則x1+x2=2x0.欲證結論成立.

一道頗具難度的高考試題就這樣“輕而易舉”地被征服了，為閃光的靈感叫好吧！可應看到偶然迸發(fā)的靈感背后顯示的必然性.要證的是x1+x2=2x0，由此應想到韋達定理，但須有關于x的一個一元二次方程.那么，就會從①②兩式中尋求突破.這兩式中除字母x1、x2的下標分別為1、2外，其余的結構均相同，由循根找方程的規(guī)律，則得x1、x2是方程x2-2x0x-4p2=0的二根，問題解決.從智慧閃光中窺見的是扎實的基礎和開闊的思維，是偶然中的必然.

3.4 動中求靜變中寓定

“動”和“靜”、“變”與“定”也是矛盾對立的事物，是數(shù)學研究的極為重要的內容，所以關于定值、定點的數(shù)學問題往往成為各級各類數(shù)學試卷中的常客.我們不僅要帶領學生解決這類問題，更重要的是須使學生發(fā)現(xiàn)、利用“動中求靜”和“變中寓定”的規(guī)律，這對于我們認識宇宙、自然、世界和社會都具有重大的意義.

分析：實數(shù)a是非零變量，否則在P點處的切線l為定直線，直線上的點都是定點，探討此直線過定點將失去任何意義.所以此題妙就妙在不管a的值如何變化，切線l均過定點，即該點的坐標為與a無關的常數(shù).盡管此題證明的難度不大，而啟迪意義即在此.

3.5 制約與依賴

制約與依賴也是辯證的對立統(tǒng)一的關系.子女都要受到父母的管束和制約，但又都離不開父母的呵護與撫養(yǎng).社會中的每一個成員都要受到法律、法規(guī)的制約，但這些法律、法規(guī)又保護著每個社會成員生命財產的安全.風箏都有一根線牽著，若風箏不想受此制約，脫離了牽線，那它永遠也飛不起來.簡單的事例中含有深刻的道理.數(shù)學中，函數(shù)符號f（x）也是如此，如f（x）=2x+1，則當x=1時，函數(shù)值f（1）只能由2x+1，即法則“2倍加1”來決定，沒有任何“自由”；但欲求的f（1），卻又依賴著法則“2倍加1”，否則無從求起.諸如此類現(xiàn)象極其生動地揭示了制約與依賴的辯證關系，學生怎么會“不懂”呢？

分析：這是一道初、高中銜接的遞進式的妙題，（1）中各括號中均為加號，我們不禁想起最簡單、最熟悉的公式（a-b）（a+b）=a2-b2，那么在式子前面應添加一個括號，當然是（2-1），這既是后面式子決定了的，也是后面式子給予啟示的結果，則得：

（2）雖然與（1）的結構不一樣，但處理的意向卻一致的，后面各因式制約了也指明了應添加的因式為于是原式=

積累了經(jīng)驗，解決（3）則不在話下：

此題運用制約與依賴的辯證關系，使題解過程的演繹達到淋漓盡致的境界.

3.6 特殊性與一般性

人們探索、認識、發(fā)現(xiàn)、總結社會、世界、自然、宇宙各種事物運動、發(fā)展、變化的數(shù)量規(guī)律，總是從個例到整體、從特殊到一般.一滴水知大海，一滴血知全身，通過一只麻雀的解剖與分析，就可以知道所有麻雀機體的結構與功能，這種理念對于數(shù)學的教與學具有巨大的指導意義與實踐價值.

如研究指數(shù)函數(shù)的圖像與性質，誰也畫不出函數(shù)y=ax（a＞0，且a≠1）的圖像，只能通過對具體函數(shù)等的研究來總結一般指數(shù)函數(shù)的性質.

解答數(shù)學問題，特別是某些選擇、填空題，有一種頻繁應用的“特殊化”法，但必須逐步引導學生辯證地理解這種方法的本質與操作時應持的科學態(tài)度.其一、在解答某些選擇、填空題時，特殊化法確實可發(fā)揮出巨大的優(yōu)勢；其二、對某些特例研究所獲得的結論必須得到一般情況下的證明，才能保證其正確性，否則就犯了“以偏賅全”的錯誤；其三、對于解答題，雖然“特殊化”不能作為可靠的證明依據(jù)，但“特殊化”所獲得的結論為一般情形的探索、證明指明了方向，提供了經(jīng)驗，也是“功不可沒”的.

分析：由于是填空題，則可大膽地用特殊化的方法來解：建立如圖4所示的坐標系，分別設A（0，3）、B（-2，0）、P（x，y）.由PA=PB，得4x＋6y=5，則

不能以此為滿足，將題目改為證明題，條件同上，求證：不論P點在l上的什么位置，p·（a-b）均為定值.

特殊化的方法不能使用了，但其思路與結論仍然具有重要的參考價值與啟迪意義，特殊與一般的辯證關系在這里得到了充分的展現(xiàn).

如圖4，建立坐標系，分別設A（acosα，asinα）、B（bcosβ，bsinβ）、P（x，y）（a與b均為定值）.

由PA=PB，得2axcosα-2bxcosβ+2aysinα-2bysinβ=a2-b2.

小、大兩題的聯(lián)袂出現(xiàn)與解決，可認為是在辯證法指導下進行數(shù)學科研的一次有意義的實踐活動，對于學生全方位的成長與綜合素質的提高具有積極的意義，并產生深遠的影響.

3.7 量變到質變

“量變到質變”是辯證法中的一個非常重要的基本原理，與此相關的數(shù)學內容不勝枚舉，初中學生非常熟悉一元二次方程實數(shù)根個數(shù)的判斷，以及點與圓、直線與圓的位置的判斷，這些都是講解“量變到質變”這一基本原理的知識基礎，但那時學生的理解必然是十分粗淺的，在高中階段有機結合教學內容進行這方面的講解就可以從根本上加深學生對這一基本原理的理解.

例6 如圖5，設平面內的一條定直線l以及l(fā)外的一個定點F，平面內的動點P、Q、R到直線l的距離分別為PN、QN、1三種情形.若設這些比值為e，并稱為離心率，則當e∈（0，1）時，動點的軌跡是橢圓；當e=1時，動點的軌跡“脫胎”為拋物線；當e∈（1，＋∞）時，動點的軌跡又“羽化”為雙曲線.

客觀事實極其深刻地揭示了“數(shù)量的積累變化達到，或越過一個關鍵值時，事物就會發(fā)生質的變化”這一本質規(guī)律.

結合生活中的許多事例，“量變到質變”這一基本原理還可以給予我們諸多啟示.

3.8 抓住主要矛盾

古詩云：“射人先射馬，擒賊先擒王”；軍事指揮員說：“先解決外圍，最后集中優(yōu)勢兵力攻堅”；農夫說：“打蛇要打七寸”；牧童說：“牽牛要牽牛鼻子”，雅俗共賞的語言說明的是同一個道理，即解決問題時要抓住主要矛盾.面對矛盾錯綜復雜的一件事情，理清各種矛盾的關系，分清主次，“牽住牛鼻子”，就大大降低了難度，使問題迎刃而解.

1.恩格斯.自然辯證法.北京：人民出版社，1971.

2.中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學課程標準（實驗）.北京：人民教育出版社，2003，4.