☉江蘇省揚州市江都區(qū)實驗初級中學(xué) 姚永華

解析初中數(shù)學(xué)中分式方程的解法及應(yīng)用

☉江蘇省揚州市江都區(qū)實驗初級中學(xué) 姚永華

分式方程的解法及應(yīng)用是中考考查的重點內(nèi)容，考查時大多以直接解分式方程和列分式方程解應(yīng)用題的形式出現(xiàn).因此，對本部分知識需要進行專項訓(xùn)練，熟練掌握解分式方程的方法，并通過應(yīng)用題使學(xué)生進一步使用代數(shù)中的方程去反映現(xiàn)實世界中的等量關(guān)系，體會代數(shù)方法的優(yōu)越性，進一步培養(yǎng)學(xué)生化實際問題為數(shù)學(xué)問題的能力和分析問題解決問題的能力.下面就對分式方程的解法及其應(yīng)用做具體解析.

一、分式方程的有關(guān)概念

分式方程是方程中的一種，且分母里含有未知數(shù)的（有理）方程叫做分式方程.

二、分式方程的解法

解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是“去分母”，即方程兩邊同乘最簡公分母，這也是解分式方程的一般思路和做法.

1.去分母

方程兩邊同時乘以最簡公分母（最簡公分母：①系數(shù)取最小公倍數(shù)②出現(xiàn)的字母取最高次冪③出現(xiàn)的因式取最高次冪），將分式方程化為整式方程；若遇到互為相反數(shù)時.不要忘了改變符號.

2.解整式方程

移項，若有括號應(yīng)去括號，注意變號，合并同類項，把系數(shù)化為1求出未知數(shù)的值；

3.驗根

求出未知數(shù)的值后必須驗根，因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根.驗根時把整式方程的根代入最簡公分母，如果最簡公分母等于0，這個根就是增根.否則這個根就是原分式方程的根.若解出的根是增根，則原方程無解.如果分式本身約分了，也要帶進去檢驗.一般的，解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母為零，因此要將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為零，則是方程的解.

（1）注意去分母時，不要漏乘整式項.（2）増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的解.（3）増根使最簡分母等于0.

三、分式方程的應(yīng)用

列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟是：找等量關(guān)系—設(shè)—列—解—檢驗—答.

例1 玉樹地震后，有一段公路急需搶修，此項工程原計劃由甲工程隊獨立完成，需要20天，在甲工程隊施工4天后，為了加快工程進度，又調(diào)來乙工程隊與甲工程隊共同施工，結(jié)果比原計劃提前10天，為抗震救災(zāi)贏得了寶貴時間，求乙工程隊獨立完成這項工程需要多少天？

考點：分式方程的應(yīng)用．專題：工程問題．分析：等量關(guān)系為：甲工作量+乙工作量=1．

解析：設(shè)乙工程隊獨立完成這項工程需要x天．

經(jīng)檢驗x=12是原方程的解．

答：乙工程隊獨立完成這項工程需要12天．

點評：工作量問題常用的等量關(guān)系為：工作量之和為1，易錯點是準(zhǔn)確找到各個隊的工作時間．

例2 某公司開發(fā)生產(chǎn)的1200件新產(chǎn)品需要精加工后才能投放市場，現(xiàn)有甲、乙兩個工廠都想加工這批產(chǎn)品．公司派出相關(guān)人員分別到這兩間工廠了解生產(chǎn)情況，獲得如下信息：

信息一：甲工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品多用10天；

信息二：乙工廠每天比甲工廠多加工20件．

根據(jù)以上信息，求甲、乙兩個工廠每天分別能加工多少件新產(chǎn)品.

考點：分式方程的應(yīng)用．

分析：總工作量除以所用時間即為工效，而乙工廠每天比甲工廠多加工20件的前提下，甲工廠單獨完成比乙工廠單獨完成多用10天，據(jù)此可列方程．

解：設(shè)甲工廠每天能加工x件新產(chǎn)品，則乙工廠每天能加工（x+20）件新產(chǎn)品．

經(jīng)檢驗：x=40是所列方程的解．

乙工廠每天加工零件為：x+20=60．

答：甲工廠每天能加工40件新產(chǎn)品，乙工廠每天能加工60件新產(chǎn)品．

點評：理解題意找出題中的等量關(guān)系，列出方程，注意分式方程一定要驗根．

例3 在某道路拓寬改造工程中，一工程隊承擔(dān)了24千米的任務(wù).為了減少施工帶來的影響，在確保工程質(zhì)量的前提下，實際施工速度是原計劃的1.2倍，結(jié)果提前20天完成了任務(wù)，求原計劃平均每天改造道路多少千米.

解析：該題目的等量關(guān)系是計劃用的天數(shù)-實際用的天數(shù)=20天

設(shè)原計劃平均每天改造道路x千米，根據(jù)題意，得：

解這個方程，得x=0.2.

經(jīng)檢驗，x=0.2是原方程的解.

答：原計劃平均每天改造道路0.2千米.

例4 杭州國際動漫節(jié)開幕前，某動漫公司預(yù)測某種動漫玩具能夠暢銷，就用32 000元購進了一批這種玩具，上市后很快脫銷，動漫公司又用68 000元購進第二批這種玩具，所購數(shù)量是第一批購進數(shù)量的2倍，但每套進價多了10元.求：

（1）該動漫公司兩次共購進這種玩具多少套？

（2）如果這兩批玩具每套的售價相同，且全部售完后總利潤率不低于20%，那么每套售價至少是多少元？

解：（1）設(shè)動漫公司第一次購進x套玩具，由題意得：

經(jīng)檢驗，x=200是所列方程的根.

所以動漫公司兩次共購進這種玩具600套.

（2）設(shè)每套玩具的售價為y元，由題意得：

解分式方程作為基礎(chǔ)性知識，在中考中以直接考查為主，也經(jīng)常與數(shù)軸等知識綜合考查，解決問題時要注意分式方程根的檢驗是必不可少的步驟.列分式方程解應(yīng)用題，在中考中多以解答題為主，有時也會出現(xiàn)在選擇題或填空題中，解決此類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解題意，確定題目中的等量關(guān)系，列出分式方程.而在解此時的分式方程時，不僅要檢驗所得解的是否滿足方程式，還要檢驗是否符合題意.