☉江蘇省丹陽市珥陵高級(jí)中學(xué) 余學(xué)鋒

分段函數(shù)的求解策略

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分段函數(shù)是指自變量在兩個(gè)或兩個(gè)以上不同的范圍內(nèi)，有不同的對(duì)應(yīng)法則的函數(shù).它是一個(gè)函數(shù)，卻又常常被同學(xué)們誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù).分段函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占有重要的位置，在高考試卷中也常常出現(xiàn).為此，本文從如下幾個(gè)方面進(jìn)行系統(tǒng)的介紹.

1.求分段函數(shù)的定義域和值域

解：作圖1，分段作圖如下：

圖1

利用“數(shù)形結(jié)合”，易知f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），值域?yàn)椋?1，2］∪{3}.

點(diǎn)評(píng)：分段函數(shù)的定義域?yàn)槊恳欢魏瘮?shù)定義域的并集，在表示每一段函數(shù)中x的取值范圍時(shí)，要確保做到定義域不重不漏，即交集為空集，并集為整個(gè)定義域.值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集.

2.求分段函數(shù)的函數(shù)值

點(diǎn)評(píng)：利用分段函數(shù)的定義求值.

3.求分段函數(shù)的最值

易得該函數(shù)的最小值是3，則m≤3，即m的取值范圍是（-∞，3］.

圖2

點(diǎn)評(píng)：對(duì)型如m≥f（x）、n≤f（x）的恒成立問題，只須m≥f（x）max、n≤f（x）min即可.

4.判斷分段函數(shù)的奇偶性

例4 （2006年上海春）已知函數(shù)f（x）是定義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù).當(dāng)x∈（-∞，0） 時(shí)，f（x）=x-x4，則當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）=__________.

5.判斷分段函數(shù)的單調(diào)性

點(diǎn)評(píng)：解決分段函數(shù)的單調(diào)性問題的策略是借助其圖像，還需考慮分界點(diǎn)左右兩側(cè)函數(shù)值的大小.

6.解分段函數(shù)的方程

點(diǎn)評(píng)：分段求解，應(yīng)注意所得方程的解是否在所給對(duì)應(yīng)關(guān)系的范圍內(nèi)！