程襄武

（南京化工職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)械系，江蘇 南京 210048）

1 工程設(shè)計(jì)的系統(tǒng)分析與偏微分方程

工程設(shè)計(jì)的核心是設(shè)計(jì)計(jì)算?，F(xiàn)代工程設(shè)計(jì)將對象抽象為工程系統(tǒng)，在數(shù)學(xué)上更抽象為動(dòng)力系統(tǒng)，分析其動(dòng)態(tài)進(jìn)行設(shè)計(jì)計(jì)算。所謂動(dòng)力系統(tǒng)是在系統(tǒng)內(nèi)在規(guī)律反復(fù)作用下按時(shí)間變化發(fā)展的系統(tǒng)。[2，3]傳統(tǒng)計(jì)算方法采用集總的靜態(tài)方法，在典型工況附近達(dá)到較高效率，但實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)行是在整個(gè)過程即全工況下進(jìn)行，因此達(dá)不到整體過程最優(yōu)。采用全過程工況基礎(chǔ)上的過程設(shè)計(jì)方法[6]筆者認(rèn)為更為合理，可以得到更符合實(shí)際的系統(tǒng)特性作為計(jì)算基礎(chǔ)。

系統(tǒng)過程的數(shù)學(xué)模擬是上述計(jì)算為基礎(chǔ)。動(dòng)態(tài)模擬主要有機(jī)理建模與辨識(shí)建模等方法。由于實(shí)際過程的復(fù)雜性，機(jī)理建模時(shí)不可行，辨識(shí)建模日益重要，可處理很多非線性問題?，F(xiàn)代科學(xué)計(jì)算的智能算法多屬辨識(shí)建模的非線性算法，盡管有許多基于不確定性的，依據(jù)統(tǒng)計(jì)規(guī)律的方法，傳統(tǒng)機(jī)理建模依然是重要手段，與系統(tǒng)關(guān)系更密切，可反映系統(tǒng)內(nèi)部關(guān)系與過程。其模型與動(dòng)力系統(tǒng)的定義一致，是物理、化學(xué)等自然規(guī)律、機(jī)制作用的數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式，具體形式為描述系統(tǒng)的偏微分方程。集總參數(shù)或分布參數(shù)系統(tǒng)的分析形式都可采用，更細(xì)致全面的分布參數(shù)系統(tǒng)一般是偏微分方程形式。設(shè)計(jì)計(jì)算關(guān)鍵即成為偏微分方程的求解問題，這些偏微分方程常常以非線性形式出現(xiàn)。

2 微分方程概念、類型及一般形式

2.1 微分方程定義及分類大概

微分方程是表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程；若未知函數(shù)是一元函數(shù)即常微分方程（OED），若未知函數(shù)是多元函數(shù)即偏微分方程（PDE）。[4，5]涉及一個(gè)或幾個(gè)未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的偏微分方程組成一個(gè)偏微分方程方程組；偏微分方程（組）的階數(shù)是其導(dǎo)數(shù)最高階數(shù)[7]。常微分與偏微分的類型劃分是依據(jù)未知函數(shù)與自變量的數(shù)量對應(yīng)。微分方程的階亦可作為微分方程分類依據(jù)。以方程系數(shù)來分，可分常系數(shù)方程與變系數(shù)方程。按非線性性質(zhì)來分，微分方程可分為線性、非線性及擬線性方程。按非線性性質(zhì)的方程分類不僅僅是數(shù)學(xué)形式，更和過程與規(guī)律的實(shí)質(zhì)有深刻的聯(lián)系。

2.2 常微分方程與偏微分方程形式

工程問題的微分方程由物理、化學(xué)，乃至機(jī)械、電控等復(fù)雜規(guī)律、機(jī)理確定，形式多樣，繁簡不一。在理論上，其微分方程屬應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域，以下簡略概括其數(shù)學(xué)形式。

2.2.1 常微分方程形式例舉

y=R（x）（方程①）是 n 階常微分方程，若 R（x）=0，則稱齊次方程[8]。

顯然是一個(gè)自變量x，及一個(gè)因變量y（x）的情形。

2.3 線性與非線性微分方程形式例舉

2.4 偏微分方程一般形式寫法

3 微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)的形式關(guān)系與實(shí)質(zhì)關(guān)系

偏微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)簡稱為方程與系統(tǒng)。方程是系統(tǒng)的描述，系統(tǒng)以方程形式表現(xiàn)。方程較系統(tǒng)更抽象，更表現(xiàn)實(shí)質(zhì)。系統(tǒng)形式以方程形式確定，方程形式即是系統(tǒng)形式。同樣方程表現(xiàn)出的實(shí)質(zhì)是系統(tǒng)的實(shí)質(zhì)，但不是全部。這可由方程建立的階段特點(diǎn)與模型的近似性來理解。一般我們總是先確定系統(tǒng)，以系統(tǒng)基礎(chǔ)才可確定方程，最后通過方程了解系統(tǒng)更深層次實(shí)質(zhì)，但近似性決定這種實(shí)質(zhì)不是全部。

系統(tǒng)直接以方程表述其許多形式或特性。例如，動(dòng)力系統(tǒng)若是單輸入單輸出系統(tǒng)，其描述方程是常微分方程；若是多輸入多輸出系統(tǒng)，其描述方程是偏微分方程。前述方程①描述單輸入單輸出系統(tǒng)，方程②～⑦描述多輸入多輸出系統(tǒng)。上述方程（組）⑦若看作工程系統(tǒng)的偏微分方程描述，顯然是n個(gè)x輸入，m個(gè)u輸出的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，并可看成工程系統(tǒng)偏微分方程的普遍形式。以微分方程的形式可對系統(tǒng)定性分析，以確定工程問題的正確方案。又如，若方程是線性的則系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)；系統(tǒng)方程是非線性的則系統(tǒng)稱非線性系統(tǒng)[1]，方程的形式確定系統(tǒng)的特性。

4 方程與系統(tǒng)的線性與非線性

非線性與線性是方程與系統(tǒng)都具有的特性。方程的線性與非線性的形式特征決定系統(tǒng)的線性與非線性的形式，并確定其性質(zhì)特征。系統(tǒng)的線性與非線性性質(zhì)可表現(xiàn)為物理實(shí)在。

由于學(xué)生成長的環(huán)境不同，受教育情況不同，有些學(xué)生思想政治意識(shí)欠佳，沒有樹立正確的世界觀、人生觀和價(jià)值觀，以致于遇到問題時(shí)，容易偏激，不能理性分析問題、解決問題，這在一定程度上增加了高校輔導(dǎo)員管理工作的難度。要想使學(xué)生擁有健全的思想政治意識(shí)，高校輔導(dǎo)員必須注重加強(qiáng)對學(xué)生的思想教育工作，使他們樹立正確的世界觀、人生觀和價(jià)值觀，養(yǎng)成良好的處事習(xí)慣。

4.1 偏微分方程的線性與非線性

4.1.1 線性與非線性的定義

若偏微分方程（組）關(guān)于所有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都是線性的，則稱線性偏微分方程（組），否則成為非線性偏微分方程（組）。非線性偏微分方程（組）若對未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)是線性的，則稱擬線性偏微分方程（組）。[11]我們可將偏微分方程看成關(guān)于未知函數(shù)以及未知函數(shù)對各自變量的偏導(dǎo)函數(shù)的方程，并注意方程相對于此兩類函數(shù)的系數(shù)項(xiàng)的特點(diǎn)對線性與非線性的形式成因，以及線性與非線性是方程的形式特征。

4.1.2 線性與非線性的判定

線性與非線性由偏微分方程的組成項(xiàng)的特點(diǎn)決定其定義，并可由組成項(xiàng)的形式特征判定。即若微分方程的每一項(xiàng)最多只含有因變量或因變量的各階導(dǎo)數(shù)的一次方冪，不包括因變量或其各階導(dǎo)數(shù)的高次方冪，也不包含這些函數(shù)的乘積，則稱這個(gè)方程是非線性的。[1]注意此處雖是古典控制論的單輸入單輸出的常微分方程情形，[1，12]但可推到多輸入多輸出的一般情形，與前述定義根本一致。線性微分方程所有應(yīng)變量及其導(dǎo)數(shù)的系數(shù)可是常數(shù)，也可是一個(gè)或幾個(gè)自變量的函數(shù)。[8]應(yīng)注意線性與非線性非此即彼，一個(gè)偏微分方程不是線性的，就稱為非線性的。[10]

4.1.3 線性與非線性偏微分方程的解

非線性偏微分方程的解析解極為困難，可與線性及常微分方程的求解相比較得知。與常微分方程比較，求解復(fù)雜性體現(xiàn)在常微分方程的解一般依賴于若干常數(shù)，偏微分方程的解自由度往往更大，可能很多，一般很難用通解形式表示，即對線性方程也如此。往往更多研究偏微分方程在初始與邊界等定解條件下的解。雖然許多常見偏微分方程不考慮定解條件，解的自由度很大，但許多偏微分方程卻連一個(gè)解也不存在，這種現(xiàn)象奇特。偏微分方程與常微分方程的不同形成兩個(gè)不同數(shù)學(xué)分支。[11]

與線性方程比較，求解復(fù)雜性體現(xiàn)在疊加原理對非線性方程不再成立，求解更困難。擬線性方程非線性程度較弱，比一般的非線性方程容易些。[11]線性方程可利用解的疊加性原理求解。無論常微分或偏微分方程的線性齊次微分方程都具疊加性質(zhì)，即若z1、z2都是線性齊次偏微分方程的特殊解，那么c1z1+c2z2，其中c1，c2是常量，也是方程的一個(gè)解。并且若zn都是特殊解，收斂級(jí)數(shù)∑cnzn也是方程的一個(gè)解，只要此級(jí)數(shù)可以任意微分。[8]一定條件下可根據(jù)已知解序列構(gòu)造級(jí)數(shù)形式的解，或根據(jù)已知含參數(shù)的解來構(gòu)造積分形式的解。[11]

4.1.4 工程問題的偏微分方程近似解

4.1.4.1 偏微分方程的解的適定性

工程問題要得到偏微分方程的適定定解。偏微分方程的定解問題就是滿足適當(dāng)初始或邊界條件等附加條件的解的問題。若定解問題滿足至少一個(gè)解的存在性，只有一個(gè)解的唯一性，解連續(xù)依賴于給定已知數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，則稱為是適定的。不能簡單認(rèn)為物理問題有解則定解問題也有解；物理問題可以有唯一解但定解問題的解可多于一個(gè)；穩(wěn)定性是必須的要求，對描述特定物理現(xiàn)象的定解問題，給定的數(shù)據(jù)的微小變化最多只能產(chǎn)生解的微小變化。[10]定解問題存在唯一解，且定解條件的原始資料作微小變化時(shí)，解也僅作微小變化，這時(shí)我們稱該定解問題是穩(wěn)定的。合理的定解問題應(yīng)當(dāng)滿足解的存在、唯一和穩(wěn)定三個(gè)要求，存在性、唯一性和穩(wěn)定性統(tǒng)稱為定解問題的適定性。[11]顯然，適定性的要求較為嚴(yán)格，此特點(diǎn)決定了偏微分方程的求解難度。

4.1.4.2 偏微分方程的工程近似解

由于非線性的影響，適定解析解極其困難。常系數(shù)線性方程組求解比較簡單，可導(dǎo)出解析解。[15]變系數(shù)的線性系統(tǒng)或非線性微分方程只能用級(jí)數(shù)解法，或僅能用定性方法研討解的性質(zhì)，僅對具備某些特點(diǎn)的方程才可用變換技巧求解。[14]絕大多數(shù)變系數(shù)、非線性、不規(guī)則幾何等復(fù)雜問題，數(shù)學(xué)的解析方法幾乎無能為力。[13]

因此，工程技術(shù)中的定解問題，往往無法求得其準(zhǔn)確解，可借助近似解法，常用的有差分法、變分法、有限元法。[16]解決非線性微分方程的求解和研究它所描述的復(fù)雜現(xiàn)象和過程的時(shí)間演化和動(dòng)態(tài)行為，只能依靠計(jì)算機(jī)和實(shí)驗(yàn)方法。按照理論的設(shè)計(jì)來進(jìn)行各種數(shù)值運(yùn)算與模擬，方便地改變控制參數(shù)以改變動(dòng)態(tài)結(jié)果，并可在時(shí)間與空間的大、中、小諸尺度上進(jìn)行模擬研究。[13]工程實(shí)際系統(tǒng)的非線性影響的復(fù)雜性，甚至使得數(shù)值近似計(jì)算亦極困難，例如，相對于線性最優(yōu)控制易求得解析解，許多非線性最優(yōu)控制問題不能用計(jì)算機(jī)求解，即使有解，計(jì)算工作也繁重。[19]工程設(shè)計(jì)必須定量計(jì)算。工程系統(tǒng)涉及的偏微分方程，現(xiàn)代工程設(shè)計(jì)的定量計(jì)算對于非線性問題主要以其數(shù)值解為基礎(chǔ)，或采用線性近似進(jìn)行計(jì)算。

4.2 系統(tǒng)的線性與非線性

工程系統(tǒng)的定量，方程是手段與基礎(chǔ)，系統(tǒng)是過程與目的。工程設(shè)計(jì)要對工程系統(tǒng)定量才能完成以交付制造并運(yùn)行，設(shè)計(jì)計(jì)算是定性分析基礎(chǔ)上的定量分析。系統(tǒng)線性非線性特征分析屬定性分析，是其工作前階段。系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性與描述系統(tǒng)的微分方程的類型密切相關(guān)，微分方程的類型可確定對提出的系統(tǒng)合理問題的性質(zhì)，即對系統(tǒng)進(jìn)行定性分析，方程類型可確定工程問題的正確解法。[1]

4.2.1 線性與非線性系統(tǒng)的劃分

描述系統(tǒng)的偏微分方程是線性的系統(tǒng)稱線性系統(tǒng)，若系統(tǒng)的描述方程是非線性的稱非線性系統(tǒng)。[1]顯然，方程的形式?jīng)Q定系統(tǒng)的形式，系統(tǒng)的形式根據(jù)方程的形式劃分。此外，線性系統(tǒng)分常系數(shù)線性系統(tǒng)與變系數(shù)線性系統(tǒng)兩類。若描述方程的每一項(xiàng)的系數(shù)都是常數(shù)，則稱常系數(shù)線性系統(tǒng)；不是常數(shù)而是自變量的函數(shù)，則稱變系數(shù)線性系統(tǒng)。[1]

4.2.2 線性系統(tǒng)特點(diǎn)概要

線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為均可由一組一階線性方程組表示，這組微分方程的解，結(jié)合初始條件與邊界條件，可以精確地反映該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)過程。[20]若系統(tǒng)輸入為u1=[u11，u21]T，u2=[u12，u22]T，輸出為y1=[y11，y11]T，y2=[y12，y12]T，則若系統(tǒng)輸入為u=u1+u2時(shí)，系統(tǒng)的輸出為y=y1+y2，則稱系統(tǒng)有加性。若系統(tǒng)輸入u放大K倍時(shí)，輸出y也放大K倍，則稱系統(tǒng)有齊性。系統(tǒng)對輸入和初始條件都滿足加性和齊性，則稱其滿足疊加原理。滿足疊加原理是線性系統(tǒng)的基本特征，表征線性系統(tǒng)的線性方程組也滿足疊加原理。[15]線性系統(tǒng)的研究在數(shù)學(xué)上包括線性微分方程、傅立葉分析、線性算子理論和隨機(jī)過程的線性理論在內(nèi)的強(qiáng)有力的解析方法和工具。[13]顯然，工程系統(tǒng)采用線性近似以線性系統(tǒng)處理易于定量。線性系統(tǒng)滿足疊加原理，整體等于部分之和。[13]體現(xiàn)在實(shí)際系統(tǒng)的物理實(shí)在特點(diǎn)上，例如，一臺(tái)電爐加熱可獲一份熱量，兩臺(tái)則可獲兩份；由牛頓第二定律，一定質(zhì)量物體受一定力作用得到一定加速度，力增加一定倍數(shù)則加速度增加相同倍數(shù)。[20]但是，在實(shí)際過程里，線性系統(tǒng)只是理想的或近似的，它是真實(shí)系統(tǒng)在特定狀態(tài)附近線性化的結(jié)果。[20]

4.2.3 非線性系統(tǒng)特點(diǎn)概要

非線性系統(tǒng)主要特點(diǎn)是復(fù)雜性。工程設(shè)計(jì)的系統(tǒng)復(fù)雜性體現(xiàn)在非線性的不穩(wěn)定、不確定、難以求解。工程系統(tǒng)的數(shù)學(xué)抽象目的在于定量計(jì)算，非線性系統(tǒng)的處理成為難點(diǎn)。例如，常系數(shù)線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析較為簡單，進(jìn)展到變系數(shù)線性系統(tǒng)變得較復(fù)雜，非線性系統(tǒng)即使極簡單的非線性方程的動(dòng)態(tài)已出現(xiàn)較高復(fù)雜性，穩(wěn)定與不穩(wěn)定性可同時(shí)出現(xiàn)，一般提出的穩(wěn)定性問題已無意義。[1]但實(shí)際過程多是非線性的，非線性現(xiàn)象在自然界廣泛存在，線性只是平衡態(tài)附近的近似。[20]工程過程的描述偏微分方程常是非線性的。傳統(tǒng)上線性近似計(jì)算即可，現(xiàn)代工程設(shè)計(jì)計(jì)算更多采用計(jì)算機(jī)方法進(jìn)行更符合工程實(shí)際的優(yōu)化設(shè)計(jì)，面臨更多非線性系統(tǒng)的處理。

5 工程設(shè)計(jì)的工程系統(tǒng)的非線性問題及處理

工程設(shè)計(jì)的計(jì)算理論顯然應(yīng)基于確定論，其工程系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)分析應(yīng)該是確定的、可預(yù)測的。工程設(shè)計(jì)的專業(yè)系統(tǒng)千差萬別，但數(shù)學(xué)抽象的理論方法大致相同，面臨的非線性問題是共同的，不穩(wěn)定、難解和復(fù)雜性是共同特點(diǎn)，精準(zhǔn)高效的現(xiàn)代設(shè)計(jì)要求直接面對非線性的實(shí)際過程。工程系統(tǒng)若可近似作常系數(shù)線性系統(tǒng)則易求解，實(shí)際的變系數(shù)的線性系統(tǒng)或非線性微分方程，只能有級(jí)數(shù)解法或數(shù)值積分解法求解，工程設(shè)計(jì)計(jì)算以此大都即可完成。但有時(shí)僅能定性討論涉及方程解的性質(zhì)，一些形式非常簡單的偏微分方程，初始條件的微小誤差會(huì)引起解的很大改變，即使可確定解的存在唯一，甚至用某些方法已得到這個(gè)解，仍然很難說這個(gè)解能真實(shí)反映過程實(shí)際。[11]即有時(shí)即使是工程數(shù)值解，也存在解的可靠性問題。甚至“某些實(shí)際系統(tǒng)的偏微分方程模型可以產(chǎn)生混沌，[14]導(dǎo)致系統(tǒng)特性無法預(yù)測。工程設(shè)計(jì)可以利用非線性導(dǎo)致的混沌現(xiàn)象進(jìn)行混沌控制[18]，根據(jù)需要增強(qiáng)或抑制混沌，例如，利用混沌增強(qiáng)換熱。[17]控制混沌的方法，都是通過對實(shí)際過程的偏微分方程的理論分析及數(shù)值計(jì)算找到的。[17，18]

工程設(shè)計(jì)無論以何種方式完成設(shè)計(jì)計(jì)算，認(rèn)知與判定工程系統(tǒng)與其偏微分方程的形式與非線性特點(diǎn)，并進(jìn)行設(shè)計(jì)定性分析以及設(shè)計(jì)定量是必要的。

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