庫(kù)在強(qiáng)

(黃岡師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北黃州438000)

0 引言

概型(Schema)是隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)形式，它不是實(shí)際問題本身，而是實(shí)際問題的數(shù)學(xué)抽象.對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界中的隨機(jī)現(xiàn)象，要想進(jìn)行數(shù)學(xué)理論研究，首先必須確定其概型.概率論中著名的“選票問題”就是一個(gè)典型概型，其內(nèi)容是:假定在一次選舉中，候選人甲得m票，候選人乙得n票，且m ＞n，試求下列事件的概率:

(1)事件A:在計(jì)票過程中，甲、乙的票數(shù)在某個(gè)時(shí)刻相等;

(2)事件B:在計(jì)票過程中，甲的票數(shù)最終比乙的票數(shù)多;

(3)事件C:在計(jì)票過程中，甲的票數(shù)始終不落后于乙的票數(shù)［1］.

1 計(jì)算選票問題概率的一種特殊教學(xué)設(shè)計(jì)

定義1 非降路徑［2］:在二維直角坐標(biāo)系xoy中，從起點(diǎn)O(0，0)始終沿x軸正方向或y軸正方向移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，達(dá)到終點(diǎn)T(m，n)的路徑.

根據(jù)多重集S={m·x，n·y}的全排列數(shù)即可證.

特別地，當(dāng)m ＞n時(shí)有如下結(jié)論引理2，引理3，引理4.

引理2 從點(diǎn)O(0，0)到點(diǎn)T(m，n)至少一次接觸直線y=x的非降路徑數(shù)

證:將符合條件的非降路徑分為兩類:(N1=N11+N12即可證)

第一類，經(jīng)過點(diǎn)O1(0，1)，它等價(jià)于多重集S={m·x，(n－1)·y}的全排列數(shù)第二類，經(jīng)過點(diǎn)O2(1，0)，將其第一個(gè)接觸點(diǎn)Q與起點(diǎn)O之間的部分沿直線y=x對(duì)折，則變?yōu)榈谝活?，非降路徑?shù)N12=N11.

引理3 從點(diǎn)O到點(diǎn)T(m，n)除端點(diǎn)外不接觸直線y=x的非降路徑數(shù)，

證:N2=N － N1.

引理4 從點(diǎn)O到點(diǎn)T(m，n)不穿過直線y=x的非降路徑數(shù)

證:將坐標(biāo)原點(diǎn)O平移至O2(1，0)，在新坐標(biāo)系下，T點(diǎn)的坐標(biāo)變?yōu)?m+1，n)，且不穿過直線y=x的非降路徑變?yōu)槌它c(diǎn)外不接觸直線y=x的非降路徑用m+1替換N2中的m，即可得N3.

(1)事件A包含的樣本點(diǎn)與從點(diǎn)O(0，0)到點(diǎn)T(m，n)至少一次接觸直線y=x的非降路徑一一對(duì)應(yīng)，由引理2知，其樣本點(diǎn)數(shù)為N1.

(2)事件B包含的樣本點(diǎn)與從點(diǎn)O(0，0)到點(diǎn)T(m，n)除端點(diǎn)外不接觸直線y=x的非降路徑一一對(duì)應(yīng)，由引理3知，其樣本點(diǎn)數(shù)為N2.

(3)事件C包含的樣本點(diǎn)與從點(diǎn)O(0，0)到點(diǎn)T(m，n)不穿過直線y=x的非降路徑一一對(duì)應(yīng)，由引理4知，其樣本點(diǎn)數(shù)為N3.

由古典概型的概率定義知，P(A)=N1/N;P(B)=N2/N;P(C)=N3/N化簡(jiǎn)即可.

2 選票問題的遷移性學(xué)習(xí)

利用該模型的思想方法，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行遷移性學(xué)習(xí)，易解決下列問題［3］:

(1)袋中裝有a只白球及b只黑球，且a＞b，從袋中一個(gè)個(gè)把球取出(不返回)，直至把球全部取出.求在整個(gè)摸球過程中，得到相同個(gè)數(shù)黑、白球的概率.

(2)擲均勻硬幣n次，求總共擲出m次正面(m＞n/2)且在整個(gè)投擲過程中擲出反面次數(shù)總小于正面次數(shù)的概率.

該問題是選票問題中求事件B概率的等價(jià)描述，用n－m替換m，所求概率為

(3)售票處有2n個(gè)人排隊(duì)買票，其中n人只有一張幣值1元的鈔票，其余n個(gè)人只有一張2元錢的鈔票.開始售票時(shí)售票處無(wú)錢可找，而每個(gè)人只買一張1元錢的票.求售票處不會(huì)找不出錢的概率.

該問題是選票問題中求事件C概率的等價(jià)描述，用n替換m所求概率為

(4)袋中裝有n只白球和n只黑球.從袋中將球一只只取出(不返回)，直至球全部取出.求在摸完所有球之前，摸出的白球只數(shù)總比摸出的黑球只數(shù)多的概率.

記事件W={在摸完所有球之前，摸出的白球只數(shù)總比摸出的黑球只數(shù)多}，事件W1={摸出第一只球是白球}，且;W2={n－1只白球和n只黑球，摸出的白球只數(shù)總比摸出的黑球只數(shù)多}將白球與黑球互換，事件W2變成事件W3={n－1只白球和n只黑球，摸出的黑球只數(shù)總比摸出的白球只數(shù)多}.在選票問題中事件 C中，用 n替換 m，用 n－1替換 n可求.事件 W3的概率，，所求概率

3 選票問題的推廣性學(xué)習(xí)

由于現(xiàn)實(shí)問題的復(fù)雜性，同一問題可用多種概率模型來描述.以上只是筆者對(duì)古典概型—選票問題在m＞n條件下的一點(diǎn)認(rèn)識(shí)，至于在m≤n條件下，事件B、C為不可能事件，換一個(gè)角度，考慮侯選人乙的得票情況，類似地可得事件A的概率為

［1］ WilliamFeuer.概率論及應(yīng)用［M］.胡迪鶴，譯.北京:科學(xué)出版社，1964:11.

［2］ Richard A.Brualdi.組合數(shù)學(xué)［M］.馮舜璽，譯.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2002:1.

［3］ 王梓坤.概率論基礎(chǔ)及應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，1976.