黃旭方,陳靜開,覃新賢

(廣西大學計算機與電子信息學院,南寧 530004)

1 引 言

從等效載噪比和干擾系數的推導過程[1]可看到,干擾系數和碼跟蹤干擾系數涉及到的信號功率譜是預積分時間內GNSS基帶信號的功率譜。因此,在精確估計無線射頻干擾時,正確分析GNSS基帶信號功率譜密度是評估GPS、Galileo和“北斗”導航系統(tǒng)間無線頻率兼容性的關鍵。目前在進行GNSS無線頻率兼容性評估時,由于忽略了接收端預積分時間對基帶信號的截斷作用在時域上相當于矩形窗乘以偽隨機碼序列,在頻域上相當于sinc函數與偽隨機碼序列離散譜卷積的事實,導致采用的短碼功率譜密度計算方法有錯誤,這將影響到評估結果的精確性。研究發(fā)現,預積分時間長短對功率譜的影響較大,對于導航通道沒有數據位的情況,通常為了提高碼跟蹤精度,預積分時間取值較長,若忽略預積分時間的影響,會對分析結果帶來較大誤差。文獻[2-6]在計算干擾系數時,采用碼片的功率譜來代替導航信號的功率譜,在對于碼長較短的信號(如C/A碼),這種近似方法會產生較大誤差甚至是錯誤的結果。文獻[7-9]針對這種情況,提出了碼長較短時要考慮數據位對功率譜的影響,碼長較長時,可用碼片的功率譜包絡代替導航信號的實際功率譜。這些文獻都沒有考慮預積分時間對功率譜的影響,對于需要精確評估射頻兼容性的情況,這些研究結果還不充分。針對這些問題,推導預積分時間內GNSS基帶信號功率譜的解析式,并驗證其正確性。

2 預積分時間內GNSS基帶信號的功率譜

考慮到導航通道沒有數據位,分預積分時間大于等于和小于偽碼周期兩種情況,而且預積分時間為偽碼周期的整數倍,來推導GNSS基帶信號功率譜的解析式。

2.1 情況一

假設預積分時間Tco大于等于偽碼周期T,假設碼片寬度為 Tc,碼長為L,預積分時間內包含K個周期偽碼序列,Tco=KLTc,N=KL。因此,可以認為在預積分時間內偽碼序列是周期確定的。預積分時間內的基帶信號可表示為

式中,wTco(t)是寬度為Tco的矩形窗,信號在預積分時間內被截斷等效于加了矩形窗;p(t)是單位幅度的碼片波形;cns是偽碼序列中的第n個碼元,取值為±1。

式(1)的傅里葉變換為

式中,Sw(f)是wTco(t)的傅里葉變換,Sp(f)是 p(t)的傅里葉變換。式(2)最后一部分可以通過變換并求解得

將式(3)代入式(2),得到式(4):

當Tco≥T時,基帶信號功率譜解析式為

從上式看到,GS(f)是3個頻率函數的乘積。第1個是sinc()函數,偽碼在預積分時間內被截斷相當于在時域上乘于一個矩形窗,在頻域上相當于偽碼的線譜與矩形窗的頻譜相卷積。偽碼的線譜間隔為1/T,與sinc函數卷積后得到一組梳狀函數,每個梳齒是一個帶寬為(2/Tco)Hz的sinc函數。第2個是S(f),它取決于GNSS信號采用的碼片波形,這里假設是矩形賦形。第3個是偽碼序列的傅里葉變換,可通過FFT來計算。

2.2 情況二

假設預積分時間小于偽碼周期,即在預積分時間內只包含一段偽隨機碼,信號表示為

式中,yk是偽隨機序列中的第k個碼元素。用ξ表示一個隨機截斷偽碼的事件,yTco(t,ξ)則是從一組截斷的信號集合中隨機抽取出來的一段信號,預積分時間內的信號表示為

yTco(t,ξ)的功率譜為

其中:

上式利用了偽碼序列的廣義周期平穩(wěn)特性,其統(tǒng)計平均等于時間平均,平均值在所有L個起始位置上進行。式(9)涉及到要與sinc函數卷積和兩重求和,運算量非常大,特別是卷積運算。由于sinc函數主要起到平滑功率譜的作用,若在帶寬內對功率譜求積分,頻率間隔取得足夠小(不大于sinc函數的主瓣寬度),它對干擾系數的影響就很小。因此,為了減小功率譜計算的復雜度和運算量,將忽略sinc函數的影響,化簡式(7)為

上式的歸一化自相關函數為

令 k=m-n,則 m=k+n,-N+1≤k≤N-1,并把yn表示為y(n)以方便理解,式(11)化為

其中:

式中,Rp(τ)是基礎碼片的自相關函數,RNL(k)和RNR(k)分別是預積分時間內的偽碼序列左移和右移的歸一化相關函數。

由于每次隨機截取的序列會隨截取的起始位置不同而有較大差異,有時甚至可能出現前后截取的兩段信號是偽碼序列中沒有重合的兩段序列,顯然這兩段信號的自相關函數會有較大差異。但由于截取是隨機的,我們無法獲得截取的起始位置,因此只能對隨機截取事件取統(tǒng)計平均,雖然這樣會帶來一定的偏差,但可以從統(tǒng)計的角度來反映實際情況。下面對式(12)求統(tǒng)計平均,利用偽碼序列的廣義周期平穩(wěn)特性,其統(tǒng)計平均等于時間平均,而且平均值在所有L個起始位置上進行,式(12)的統(tǒng)計平均為

交換上式的求和順序,得到

對上式進行傅里葉變換,得到預積分時間內信號的功率譜解析式為

3 仿真驗證

在上面的推導中進行了一些假設,得到的解析式與實際功率譜會有一些偏差,這部分將驗證偏差在合理范圍內。

情況一假設了預相關的起始時間與偽碼周期的起始時間剛好重合,而實際情況是預相關的起始時間可能在一個偽碼周期內的任何位置,下面進行兩組實驗來觀察引起的偏差有多大,以及預積分時間的長短對信號功率譜和干擾系數有什么影響。取T=1 ms,Tco分別取1 ms和10 ms,碼速率為1.023Mchip/s,碼長為1 023,偽碼序列選用一組m序列,m序列的生成多項式為[1 00 0 0 0 1 1 0 1 1],初相為[1 1 0 0 1 1 1 1 1 1],對m序列進行矩形賦形和BPSK調制,前端帶寬為10.23MHz。

圖1是起始位置在第237個碼片的碼序列功率譜在零頻附近的放大圖。圖2是用公式(5)畫的功率譜,圖3是1 000個隨機截取起始位置的碼序列的自干擾系數的平均值,圖4是用公式(5)計算得到的干擾系數,圖1～4是 T=1 ms、Tco=1 ms的仿真結果 ,圖5～8是 T=1 ms、Tco=10 ms的仿真結果 。當T=Tco=1 ms時,平均偏差約為0.15 dB。T=1 ms、Tco=10 ms時,平均偏差約為0.3 dB?？梢?平均偏差都較小,說明推導結果正確。另外,隨著預積分時間與偽碼周期的比值增大,用式(5)的功率譜計算得到的干擾系數與實際干擾系數越接近,這是因為預積分時間越長,包含的偽碼周期越多,偽隨機序列就越接近確定序列;而且預積分時間的長短對干擾系數的大小有很大影響,預積分時間越長干擾系數越大。

圖1 功率譜密度,起始位是第237個碼元(T=Tco=1 ms)Fig.1 PSD,start in 237 code chip(T=Tco=1 ms)

圖2 用公式(6)畫的功率譜密度(T=Tco=1 ms)Fig.2 PSD drawn using Equation(6)(T=Tco=1 ms)

圖3 平均干擾系數(T=Tco=1 ms)Fig.3 Average interference coefficient(T=Tco=1 ms)

圖4 用公式(5)計算得到的干擾系數(T=Tco=1 ms)Fig.4 Interference coefficient calculated using the Equation(5)

圖5 功率譜密度,起始位是第960個碼元(T=1 ms,Tco=10ms)Fig.5 PSD,start in 237 code chip(T=1 ms,Tco=10 ms)

圖6 用公式(5)畫的功率譜密度(T=1 ms,Tco=10 ms)Fig.6 PSD drawn using Equation(5)(T=1ms,Tco=10 ms)

圖7 用公式(5)計算得到的干擾系數(T=1ms,Tco=10 ms)Fig.7 Interference coefficient calculated using the Equation(5)(T=1ms,Tco=10ms)

圖8 平均干擾系數(T=1 ms,Tco=10 ms)Fig.8 Average Interference coefficient(T=1 ms,Tco=10 ms)

情況二忽略了sinc函數的影響,下面通過仿真來觀察sinc函數對實際信號的功率譜和干擾系數的影響,以及帶來多大偏差。取 T=10 ms,Tco等于1 ms、2 ms和5 ms,碼速率為1.023 Mchip/s,碼長為10 230,賦形方式為矩形脈沖,調制方式為BPSK,偽隨機序列的生成多項式為[1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1],初相為[1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0],前端帶寬為5.115 MHz。偽隨機序列的生成多項式和初相選用文獻[10]提供的GPS L2CM碼的PRN1的生成多項式和初相。

圖9是Tco=5 ms,截取的起始位置在第19個碼片的功率譜;(b)是在零頻附近的放大圖。圖10是用公式(18)畫的功率譜,圖11是 Tco分別為1 ms、2 ms和5 ms時,對100個隨機產生的截取起始位置的自干擾系數求平均。圖12是用公式(18)計算得到的干擾系數。當 Tco分別為1 ms、2 ms和5 ms時,sinc函數的主瓣寬度分別為1 kHz、500 Hz和200 Hz,從以上結果看到,圖9的譜包絡比圖10的包絡要光滑。另外,當多普勒頻移大于sinc函數的主瓣時,圖11和圖12的干擾系數在-61.5 dB/Hz附近小幅度波動?？梢?sinc函數對功率譜的影響,主要起到了平滑作用;sinc函數對干擾系數的影響,隨著頻移大于sinc函數的主瓣后,影響可忽略。而且,Tco取值越大(但仍小于T),sinc函數對干擾系數的影響越小。推導結果的偏差,除了頻移在sinc函數的主瓣寬度之內偏差較大之外,其他地方的偏差約小于0.5 dB。而且,預積分時間越長(但仍小于T),偏差越小。

圖9 功率譜,起始位在第19個碼元(Tco=5 ms,T=10 ms)Fig.9 PSD,start in 19 code chip(Tco=5 ms,T=10 ms)

圖10 用公式(18)畫的功率譜密度(Tco=5 ms,T=10 ms)Fig.10 PSD drawn using Equation(18)(Tco=5 ms,T=10 ms)

圖11 平均干擾系數(T=10ms,Tco=1,2,5 ms)Fig.11 Average interference coefficient(T=10 ms,Tco=1,2,5 ms)

圖12 用公式(18)計算得到的干擾系數(T=10ms,Tco=1,2,5ms)Fig.12 Interference coefficient calculated using the Equation(18)

4 結 論

以上推導的功率譜解析式和仿真結果說明了預積分時間長短對功率譜密度有較大影響,干擾系數隨著預積分時間增大而增大。當導航通道的預積分時間較長時,在精確評估無線射頻兼容性時,預積分時間的影響不能忽略。下一階段將研究預積分時間對干擾評估結果的影響,量化反映在GPS、Galileo和“北斗”系統(tǒng)間。

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