李 暢

華中師范大學 城市與環(huán)境科學學院，湖北 武漢 430079

1 引 言

滅點是一種無成本的控制點，可用于非量測相機的定標（內(nèi)方位元素：主距）及任意相機的定姿（外方位元素：角元素），在本文中將“定標”和“定姿”合稱“定參”。以往的研究幾乎都假定3個正交方向上滅點存在［1－5］，然而有些場景中不存在3個正交方向滅點或者三滅點很難被全部檢測出來，那么傳統(tǒng)的三滅點定參理論在實際應用中受到了挑戰(zhàn)。

另外，到目前為止，基于滅點的研究皆以應用研究為主，如滅點自動檢測和基于滅點的相機定參方面［1，3－8］，雖 然 精 度 評 定 必 不 可 少，卻 都 是 以滅點為橋梁建立直線與相機參數(shù)的關系，繞過滅點探討相機參數(shù)的精度，然而對滅點本身的誤差及其對應的誤差空間分布研究并不多。

鑒于此，本文將探討滅點定參的充要條件，重點分析雙正交滅點聯(lián)合誤差分布條件下，雙滅點及第三滅點誤差空間分布及其不確定性問題。

2 滅點定參的充要條件

在人類活動最頻繁的城市，建筑物提供了大量的“空間平行線”。根據(jù)計算機視覺與攝影測量的滅點理論可知，空間的平行線在影像上的投影應當嚴格相交于一點［6］。不同場景中相交所成的滅點個數(shù)亦會不同。由于建筑立面的特殊性，通常只能檢測出兩個滅點：建筑物水平方向滅點X和鉛垂線方向滅點Y，而垂直于建筑物（深度）方向的滅點Z不易被檢測。值得注意的是，影像中滅點個數(shù)可能會出現(xiàn)大于3而正交方向的滅點數(shù)卻小于3的情況，如圖1（a）截面為正六邊形的棱柱有4個滅點，但僅存在兩個正交方向的滅點。圖1（b）截面為正五邊形的棱柱有6個滅點，也僅存在兩個正交方向的滅點。

文獻［9］論述了滅點個數(shù)對相機參數(shù)確定的影響。在此基礎上，補充并給出滅點定參的充要條件如下：

（1）若存在3個正交方向的滅點，則可采用文獻［9］中的定參方法。

（2）若僅存在兩個正交方向的滅點，則需采用雙滅點定參方法，即解算出第3個正交方向的滅點從而轉(zhuǎn)化成三滅點定參問題。但存在一種病態(tài)情況（將在下一節(jié)討論）。

（3）不存在正交方向的滅點，此時無解。

即滅點定參的充要條件為：當且僅當存在3個正交方向的滅點。綜上可知，對于規(guī)則的房子等建筑物，出現(xiàn)3個正交方向上的滅點是可能的，但更一般的情況下，像方可能存在兩個、3個、甚至多個方向上的滅點，但這些方向不一定都相互正交。加之滅點檢測算法的靈敏性又會對檢測到的滅點數(shù)打折扣（如，立面很難檢測深度方向滅點），故雙正交方向滅點更為普遍，亟須研究該條件下的滅點理論與方法并探討其不確定性。

3 雙正交滅點條件下的滅點問題

3.1 雙滅點不確定性分析

文獻［10］提出了3種確定地理信息數(shù)據(jù)中點的不確定方法：一是解析法，即基于統(tǒng)計學中的誤差傳播定律，其分布、方差協(xié)方差的傳播；二是基于試驗法；三是基于模擬法。

通過解析法分析滅點不確定性方法如下：在有噪聲的情況下，空間平行線在影像上的投影未必交于一點，即存在閉合差。滿足滅點方向分組的線段ij對應滅點V。

如圖2，由i、j、V三點共線可得

式中，（xV，yV）為滅點V的坐標；（xi，yi）、（xj，yj）分別為點i、j坐標，線性化后矩陣方程為［11］

式中，觀測向量為V＝［vxivyivxjvyj］T；未知數(shù)（即滅點）為x＝［vxvy］T；A為觀測系數(shù)矩陣；B為未知數(shù)系數(shù)矩陣；W為閉合差。此為附有參數(shù)的條件平差模型，在平差時采用粗差探測的“選權迭代法”［12］可在計算滅點坐標的同時將不支持此滅點的粗差直線（誤分組）剔除掉，得到滅點坐標。

圖2 滅點與分組直線段Fig.2 Vanishing point and grouped line segments

文獻［4］提出如下指標評價滅點精度

式中，θi、θj表示交會滅點的兩條直線各自的角度。顯然指標c接近于1精度最高，當θi－θj為90°時，c＝1，即當兩直線正交時，滅點的精度最高。在平行攝影時，物方的平行直線在像方幾乎也都是相互平行的。實際中c值往往很大，那么僅通過式（3）是無法更好評價滅點精度的，而且對滅點的點位誤差，和任意方向上的位差都無法評定。所以可利用誤差橢圓［11］來評定滅點分布的不確定性。

由平差中的協(xié)因數(shù)傳播律可知式（1）對應未知參數(shù)（滅點）的方差為

則滅點的點位誤差為

誤差橢圓參數(shù)計算如下［13］

式中，QEE表示滅點在φE方向上取得位差的極大值；QFF為φE正交方向的極小值；E和F對應誤差橢圓的長軸和短軸。此橢圓方程長軸對應的方位角為φE。根據(jù)點位誤差橢圓可以解算出點位誤差曲線從而確定任意方向上的誤差。

然而，在工程應用中，有時需要關心任意兩個待定點之間相對位置的精度，此時點位誤差橢圓失效，需用相對誤差橢圓進行估算。設兩個待定點為Pi和Pk，這兩點的相對位置可通過其坐標差來表示，即

根據(jù)協(xié)因數(shù)傳播律可得

由于滅點的平差都是基于直線段分組的，X方向的分組直線對應X方向的滅點，Y方向的分組直線對應Y方向的滅點，這兩組觀測值相互獨立，所以其相關系數(shù)為零

即式（7）中

可得計算Pi和Pk點間的相對誤差橢圓3個參數(shù)［13］的公式

下面討論式（8）中的如何確定。此時涉及兩類獨立觀測值：X和Y方向滅點，依據(jù)滅點方程（2）可列出如下方程

先對各類觀測量定初權，進行預平差，滅點初始定權可參見文獻［11］。再用平差后得到的觀測值改正數(shù)進行估計并重新定權，如此重復，直到不同類觀測值的權趨于合理，即采用赫爾默特（Helmert）驗后方差分量估計［14］，以此估算出單位權方差。

3.2 第三正交方向滅點解算

圖3中3個正交方向的滅點為X∞，Y∞，Z∞即為三點透視，攝影中心為S，o為相機主點，f為主距，3個正交方向X、Y、Z的直線所形成的滅點必落在相應的坐標軸上。因此SX∞Y∞Z∞為一直角錐，So⊥ΔX∞Y∞Z∞，則相機主點o為ΔX∞Y∞Z∞的垂心［9］。

圖3 三正交方向上滅點幾何關系Fig.3 Image geometry with three vanishing points

設像主點坐標O（x0，y0）為坐標系原點，VX（x1，y1）、VY（x2，y2）和VZ（x3，y3）為該坐標系下三正交方向滅點坐標，并已知兩個滅點VX和VY，以及O（x0，y0），如何解算第3個正交方向的滅點VZ？如圖4，O（x0，y0）是像主點同時也是滅點三角形ΔVXVYVZ的垂心（注意不是重心，若為重心，滅點三角形在像主點為圓心的外接圓上，雙滅點無法定參）。易知OZo⊥VXVY，VXOXo⊥VZVY，所以VZ是ZoO與VYXo的交點，可得方程

解得第三滅點坐標VZ（x3，y3）

式中

滅點VX、VY的誤差橢圓方程可寫為

式中，E和F由式（6）計算可得，將式（13）轉(zhuǎn)換到像主點為原點的坐標系，則有

將其代入橢圓式（13），可得

此方程就是在右手坐標系XOY（見圖4）下滅點VX，VY的誤差橢圓方程，由此也可確定XOY坐標系下相對誤差橢圓方程。式（14）中i＝1，2，即為XOY下VX和VY橢圓圓心坐標。

圖4 滅點幾何及誤差橢圓Fig.4 Vanishing points geometry and error ellipses

值得注意式（11）存在一種病態(tài)情況，即

將式（12）代入式（15）可得

也就是當兩個滅點坐標VX、VY與像主點坐標O（x0，y0）3點共線時，不能解算第3個正交方向滅點，因此無法通過滅點定參。

3.3 第三滅點不確定性隨機統(tǒng)計模擬

3.3.1 第三滅點不確定空間分布模擬

上面討論了如何通過兩個正交方向滅點坐標VX和VY解算第3個正交方向滅點坐標VZ的方法，然而滅點VX和VY本身就存在不確定性。文獻［10］用點的標準橢圓和圓形正態(tài)模型分析了點誤差的不確定性。在點誤差的二維正態(tài)分布下還可以計算其概率［13］。所以，本節(jié)提出在雙滅點聯(lián)合誤差分布（誤差橢圓）條件下，利用 Monte－Carlo方法模擬第三滅點的誤差分布。算法如下。

（1）在誤差橢圓內(nèi)生成均勻分布的偽隨機點：

①在VX和VY對應誤差橢圓的外切矩形區(qū)域內(nèi)生成均勻分布隨機點；

②通過下面的兩個集合判斷是否落入VX或VY誤差橢圓內(nèi)

即保留落入誤差橢圓內(nèi)的均勻分布隨機點。

（2）遍歷VX和VY誤差橢圓內(nèi)的隨機點并利用推導的第三滅點坐標公式（11）計算對應的Z方向滅點，模擬出VZ的離散點空間分布。

3.3.2 第三滅點空間分布面積估算

如圖5要計算y＝f（x）與x＝0和y＝0圍成的Ω區(qū)域面積，通?？梢酝ㄟ^積分的方法。

圖5 基于Monte－Carlo估算Ω區(qū)域面積Fig.5 Estimation of the area size ofΩ

此處可通過Monte－Carlo方法來計算，根據(jù)幾何概型可知落入Ω區(qū)域的概率為

式中，p為概率；S＿AreaΩ為所求面積；nΩ為落入Ω的隨機點數(shù)；N為總隨機點數(shù)

RectX和RectY為Ω的外切矩形區(qū)域的長和寬，乘積即為Ω的外切矩形區(qū)域面積。圖5中RectX＝RectY＝1。由中心極限定理可知當N趨于無窮時有

4 試 驗

4.1 模擬試驗

表1中設計了4組誤差橢圓參數(shù)進行仿真試驗。

表1 誤差橢圓參數(shù)Tab.1 The error ellipse parameters of VXand VY

根據(jù)表1中第1組誤差橢圓參數(shù)并忽略相機的畸變，令像主點坐標為（0，0）（隨著當代相機鏡頭的畸變越來越小，此處做一個近似）。模擬出的第3個正交方向滅點的分布如圖6所示，其中類似雙葉型的VZ區(qū)域即為Z方向滅點的不確定性空間分布。在此區(qū)域的外切矩形內(nèi)隨機投15 000個點，并統(tǒng)計落入VZ區(qū)域的點數(shù)并根據(jù)式（20）計算得VZ區(qū)域面積S＿AreaVZ為1 447.1像素，該面積區(qū)域的估算精度約為±0.008像素。第2組數(shù)據(jù)在第1組的基礎上減少了VY分布范圍顯然S＿AreaVZ減少了。第3組數(shù)據(jù)在第2組的基礎上增大VX面積的同時增大了VX和VY間的距離，S＿AreaVZ雖然變大但仍小于第1組數(shù)據(jù)中VZ區(qū)域的面積。第4組數(shù)據(jù)在第3組的基礎上進一步增大了VX和VY間的距離，并令VX的誤差橢圓長短半軸與VY相同，此時VZ區(qū)域的面積為3 933.8，不確定性最強。但如果在第4組的基礎上將VY恢復到原來的長短半軸長，不確定性降到了5組數(shù)據(jù)中的最低。由此有理由假設：在VX和VY的空間分布范圍一大一小的條件下，隨著兩者間的距離增大，VZ分布的不確定性會降低。

圖6 滅點VZ空間分布Fig.6 VZerror graph under the Vxand Vy

4.2 影像試驗

為了驗證上述假設進行實拍檢驗，相機為KODAR （PROFESSIONAL DCS Pro SLR／n）普通數(shù)碼相機，像幅大小1000像素×1500像素，相機主距24mm，像元大小0.025mm，影像見圖7。提取圖7中的直線段，并對VX和VY滅點方向線段進行分組，采用式（2）可計算出滅點坐標。忽略相機系統(tǒng)誤差，假設像主點坐標為（0，0），由式（6）和式（8）可得雙正交方向滅點的誤差橢圓和相對誤差橢圓，再根據(jù)VX和VY坐標及其誤差橢圓內(nèi)生成的均勻分布隨機點和式（11）估算出第3個正交方向滅點的坐標及分布范圍（xmin，ymin，xmax，ymax表示VZ空間分布的邊界坐標最大最小值）見表2。利用 Monte－Carlo方法在VZ外切矩形內(nèi)隨機投15 000個隨機點，再用式（20）估算出VZ分布的面積為28.2±0.008（像素）。由此看出，盡管VX的誤差分布面積較大，但在VY分布面積不太大且VX和VY間距很大的條件下，它們的聯(lián)合誤差分布VZ的不確定區(qū)域卻相對較小。由此，驗證了前面的假設，其他實拍影像也能得出一致結論。此結論對于基于雙滅點的相機定參十分重要，拍攝角度對滅點的精度有很大的影響，獲得較好精度的雙滅點拍攝角度未必能得到（三滅點更難），但拍攝獲得一個較好精度的滅點角度比較容易，如圖7仰拍時VY滅點不確定性較小，表2中VY的誤差橢圓長軸和短軸皆相對較小。而且一般物方平行線投影于像方交會出的滅點間的坐標距離往往又很大，這都符合假定條件：在VX和VY的空間分布范圍一大一小的條件下，隨著兩者間的距離增大，VZ分布的不確定性似乎會變小。

圖7 原始影像及直線提取滅點分組后影像Fig.7 Original image and extracted and grouped lines

表2 雙滅點及第三滅點的不確定性Tab.2 The error ellipse parameters of VXand VYfor figure 7

5 結 論

本文在原來滅點理論與方法的基礎上，補充完善了滅點檢校與定姿的充要條件，給出了雙正交方向滅點定參中存在的病態(tài)問題。補充了基于雙滅點（兩個待定點）的相對誤差橢圓評定相對精度的方法。重點探討了在更普遍的情況：雙正交方向滅點聯(lián)合誤差橢圓分布條件下，解算第3個正交方向滅點坐標并隨機模擬其誤差空間分布和不確定性問題。通過試驗，提出并驗證了第3滅點不確定性較小的條件，進一步揭示和探討了滅點空間分布的規(guī)律。今后將通過計算滅點誤差空間分布的解析解，進一步揭示和論證滅點的不確定性規(guī)律。

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