季 曄 劉宏昭 原大寧

西安理工大學(xué)，西安，710048

0 引言

由于并聯(lián)機構(gòu)具有串聯(lián)機構(gòu)所不具備的優(yōu)點，因此受到了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注。在許多場合應(yīng)用的并聯(lián)機構(gòu)往往只需要部分自由度即可，故少自由度并聯(lián)機構(gòu)已成為近年來研究的熱點?？臻g四自由度并聯(lián)機構(gòu)是少自由度并聯(lián)機構(gòu)中的一個重要分支，其中，具有2個移動自由度和2個轉(zhuǎn)動自由度的并聯(lián)機構(gòu)有著廣闊的應(yīng)用前景。

文獻［1－3］分別利用拉格朗日方程、凱恩方程和牛頓－歐拉法（N－E法）建立了六自由度并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)方程；文獻［4］建立了考慮摩擦的兩自由度平面五桿機構(gòu)的動力學(xué)方程。摩擦的存在會影響機械系統(tǒng)的效率，滑動摩擦的影響更為顯著。含摩擦的并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)研究相對較少，本文以一種新型4－UPS/PPU并聯(lián)機構(gòu)為研究對象，其中，UPS支鏈為驅(qū)動支鏈，PPU支鏈為從動支鏈。P副控制支鏈長度，其原型為活塞桿和液壓缸之間的滑動。低速運動時，P副之間的滑動摩擦力對系統(tǒng)的影響顯著；S副和U副以轉(zhuǎn)動為主，如果潤滑良好，摩擦對系統(tǒng)的影響較小。綜上所述，根據(jù)機構(gòu)動平臺實際位姿變量，建立了機構(gòu)動平臺和各支鏈的運動學(xué)方程；運用N－E法建立了含摩擦的機構(gòu)動力學(xué)方程，得到了摩擦對輸入的影響程度和各運動副的約束反力/力偶。

1 機構(gòu)模型描述

該機構(gòu)具有4條驅(qū)動支鏈（UPS支鏈）和1條約束從動支鏈（PPU支鏈）。在驅(qū)動支鏈上，與運動平臺相連的S副用Ai（i＝1，2，3，4）表示，與固定平臺相連的U副用Bi表示。從動支鏈的U副與運動平臺中心（A5）相連，在固定平臺上有一位于x軸上能自由移動的P副，無論動平臺處于何種位姿，該支鏈都與z軸平行。各支鏈均由副Pj（j＝1，2，…，5）控制伸縮。

2 運動分析

2.1 機構(gòu)位置分析

在機構(gòu)的固定平臺上建立慣性坐標系Oxyz，坐標原點位于B1B2B3B4組成矩形的中心，x軸平行于B1B2，y軸平行于B2B3，z軸可由右手法則確定方向，如圖1所示。

圖1 4－UPS/PPU并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖

固定于運動平臺的動坐標系O′x′y′z′的坐標原點位于A1A2A3A4組成矩形的中心，x′軸平行于A1A2，y′軸平行于A2A3，z′軸可由右手法則確定方向，如圖1所示。

運動平臺位姿X由動坐標系相對于慣性坐標系的廣義坐標表示：

式中，xp、zp分別為P點在慣性坐標系Oxyz下的絕對坐標；β、γ分別為Y－X型Euler角。

動坐標系O′x′y′z′到慣性坐標系Oxyz的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為

設(shè)運動平臺各頂點在動坐標系O′x′y′z′下的坐標為（A′ix，A′iy，A′iz），在慣性坐標系Oxyz中的坐標為（Aix，Aiy，Aiz）。 在慣性坐標系Oxyz下，固定平臺各頂點坐標為（Bix，Biy，Biz），則有

支鏈i的向量表示為

長度為

2.2 速度分析

運動平臺的廣義位姿速度可表示為

動平臺角速度為

上平臺各鉸點在Oxyz坐標系下的速度為

由式（3）可得輸入速度：

式中，eni為第i條驅(qū)動桿伸縮的單位方向向量。

驅(qū)動桿伸縮速率為

支鏈由缸筒和活塞桿組成，各構(gòu)件運動包括空間轉(zhuǎn)動和移動，活塞桿質(zhì)心速度為

式中，rg為活塞桿質(zhì)心與上鉸點之間的距離；ωli為驅(qū)動支鏈角速度。

缸筒的質(zhì)心速度為

式中，rt為缸筒質(zhì)心與下鉸點之間的距離。

假設(shè)缸筒和活塞桿質(zhì)量分布均勻，質(zhì)心位于其幾何中心。

2.3 加速度分析

運動平臺的廣義位姿加速度為

支鏈的角加速度

活塞桿質(zhì)心的加速度

缸筒質(zhì)心的加速度

3 動力學(xué)分析

3.1 支鏈受力分析

機構(gòu)的驅(qū)動支鏈由1個S副、1個U副和1個P副組成，以鉸點Bi建立支鏈坐標系Bixiyizi，各坐標軸平行于慣性坐標系且方向相同。將支鏈的活塞桿與缸筒分解，進行受力分析。以缸筒為研究對象，固定平臺與缸筒之間為U副連接，固定平臺對缸筒的約束力、約束力偶分別為BFBi和BMBi，BFBi、BMBi在坐標系Bixiyizi下的表示為（FBix，F(xiàn)Biy，F(xiàn)Biz）T和（0，0，MBiz）T；缸筒與活塞桿之間通過P副連接，在P副處，活塞桿對缸筒的約束力和約束力偶分別為BFPi、BMPi，BFPi、BMPi在坐標系Bixiyizi下的表示為（FPix，F(xiàn)Piy，F(xiàn)Piz）T和（MPix，MPiy，MPiz）T；同時，缸筒還受到驅(qū)動力Fi、活塞桿對缸筒的摩擦力fi和重力Gt的作用。取活塞桿為研究對象，由于運動平臺與活塞桿之間采用S副連接，因此運動平臺對活塞桿的作用力為BFAi，BFAi在坐標系Bixiyizi下的表示為（FAix，F(xiàn)Aiy，F(xiàn)Aiz）T；缸筒對活塞桿亦存在約束力（力偶），與活塞桿對缸筒的約束力（力偶）是作用力與反作用力關(guān)系。另外，活塞桿受驅(qū)動力Fi、摩擦力fi和重力Gg的作用，活塞桿上的驅(qū)動力和摩擦力與缸筒上的驅(qū)動力和摩擦力亦為作用力與反作用力關(guān)系，缸筒和活塞桿受力如圖2所示。

圖2 驅(qū)動支鏈缸筒和活塞桿受力圖

約束從動支鏈的缸筒和活塞桿受力如圖3所示。以慣性坐標系為支鏈坐標系，將支鏈的活塞桿與缸筒分解，進行受力分析。以缸筒為研究對象，固定平臺與缸筒之間是P副連接，固定平臺對缸筒的 約 束 力、 約 束 力 偶 可 表 示 為OFP′5和OMP′5，OFP′5、OMP′5在 慣 性 坐 標 系 下 的 表 示 為（0，F(xiàn)P′5y，F(xiàn)P′5z）T和（MP′5x，MP′5y，MP′5z）T；活塞桿和缸筒之間為P副連接，在P副處活塞桿對缸筒的約束力、約束力偶分別為OFP5和OMP5，OFP5＝（FP5x，F(xiàn)P5y，0）T，OMP5＝ （MP5x，MP5y，MP5z）T；支鏈為從動支鏈，同時不考慮摩擦，缸筒還存在重力Gt的作用。以活塞桿為研究對象，運動平臺與該支鏈活塞桿采用U副連接，運動平臺對活塞桿的約束力、約束力偶分別為OFU5和OMU5，OFU5＝ （FUx，F(xiàn)Uy，F(xiàn)Uz）T，OMU5＝ （0，0，MUz）T；缸筒對活塞桿亦存在約束力（力偶），其與活塞桿對缸筒的約束力（力偶）是作用力與反作用力關(guān)系；活塞桿還受重力Gg的作用。

動平臺受力如圖4所示，約束力均來源于驅(qū)動支鏈和從動支鏈活塞桿，彼此之間是作用力與反作用力（力偶）關(guān)系，Gd為動平臺自身的重力。

圖3 從動支鏈缸筒和活塞桿受力圖

圖4 動平臺受力圖

根據(jù)上述分析可知，機構(gòu)存在4個驅(qū)動力和66（13×4＋14）個未知力（力偶），共70個未知量。每個構(gòu)件有6個平衡方程，方程數(shù)為66（構(gòu)件數(shù)11×平衡方程數(shù)目6），而BFPi垂直于支鏈，可建立補充方程（共4個方程），因此機構(gòu)線性無關(guān)的平衡方程數(shù)為70。缸筒與活塞桿之間的摩擦力與FPi有關(guān)，不是獨立變量。綜上所述，機構(gòu)動力學(xué)方程為靜定方程。

3.2 建立系統(tǒng)動力學(xué)方程

機構(gòu)的動力學(xué)建模方法主要有Lagrange法、Kane方法、虛功原理、旋量法和N－E法等。這些建模方法中，一類不含運動副約束反力，其維數(shù)等于機構(gòu)廣義坐標數(shù)；另一類含運動副約束反力，維數(shù)遠大于機構(gòu)的廣義坐標數(shù)。Lagrange法建立的方程具有系統(tǒng)性強、表達緊湊、物理意義明確等優(yōu)點，是目前使用較多的方法之一，但單純使用該方法無法獲得各運動副的約束反力。N－E法是將各構(gòu)件分離，其動力學(xué)方程基于達朗貝爾原理，是力和力矩平衡方程的組合，模型包含構(gòu)件的約束反力，盡管方程維數(shù)較大，但可以得到機構(gòu)的全部受力信息。由于摩擦力與正壓力有關(guān)，即與P副約束反力有關(guān)，因此采用N－E法建立含摩擦的機構(gòu)動力學(xué)方程。在圖2的坐標系Bixiyizi下，建立驅(qū)動支鏈缸筒的平衡方程

式中，BFi為支鏈的驅(qū)動力，即圖2中的Fi；Bfi為摩擦力，即圖2中的fi，由BFPi決定；BFti為缸筒的慣性力，BFti＝－mtati；mt為缸筒質(zhì)量；BGt為缸筒的重力，即圖2中的Gt，Gt＝ （0，0，mtg）T；g為重力加速度，取9.8m/s2；BMti

坐標系Bixiyizi相對于支鏈坐標系變換過程為坐標系Bixiyizi先繞zi軸旋轉(zhuǎn)φi角，然后再繞新的yi軸即yli旋轉(zhuǎn)θi角，如圖5所示。故

圖5 支鏈的歐拉角

驅(qū)動支鏈活塞桿在坐標系Bixiyizi下的平衡方程為

每條驅(qū)動支鏈還存在補充方程（共4個方程），即

從動支鏈缸筒在坐標系Oxyz下的平衡方程為

從動支鏈活塞桿在坐標系Oxyz下的平衡方程為

動平臺在坐標系Oxyz下的平衡方程為

4 摩擦模型選取

文獻［5］對目前已有的十幾種摩擦模型進行了介紹。庫侖摩擦模型和指數(shù)摩擦模型［6］等屬于靜態(tài)摩擦模型；Dahl［7－8］和 LuGre［9］摩擦模型等屬于動態(tài)摩擦模型。前者包含的參數(shù)相對較少，后者包含的參數(shù)相對較多且參數(shù)難以辨識。雖然后者可以更好地描述摩擦的動態(tài)非線性特性，前者則略顯不足，但前者在一定程度上仍滿足實際使用要求，依然有很多學(xué)者使用。本文選取庫侖摩擦模型和指數(shù)摩擦模型進行計算。

庫侖摩擦模型為

式中，μc為動摩擦因數(shù)；Ni為正壓力，Ni＝｜FPi｜。

指數(shù)摩擦模型為

式中，μs為靜摩擦因數(shù)；v為運動速度；vs為Stribeck速度；δ為經(jīng)驗常數(shù)。

5 數(shù)值計算與結(jié)果分析

5.1 計算參數(shù)選取

機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)為：運動平臺邊長a＝0.4m；固定平臺長邊長b＝1m，短邊長c＝0.6m；動平臺、缸筒、活塞桿質(zhì)量分別為24.96kg、4.008kg和18.526kg；支鏈伸縮范圍為1～1.5m；rg和rt均為0.375m。缸筒的慣性張量（單位kg·m2）為

活塞桿的慣性張量（單位kg·m2）為

動平臺的慣性張量（單位kg·m2）為

動平臺幾何中心的軌跡采用3次多項式規(guī)劃?？紤]動平臺在初始時刻t0＝0和終點時刻tf＝10s時，平臺運動速度均為0。運動方程可記為

動平臺初始位置為：xp＝－0.005m，zp＝1.3m，β＝γ＝ （π/18）rad；終 止 位 置 為xp＝0.005m，zp＝1.25m，β＝γ＝（π/6）rad。根據(jù)上述邊界條件，方程滿足

由已知條件可得動平臺運動軌跡：

根據(jù)動平臺的位置參數(shù)，機構(gòu)各構(gòu)件的運動學(xué)參數(shù)（位置、速度和加速度）即可確定。根據(jù)文獻 ［10］可 確 定μc＝ 0.05，μs＝0.1；vs＝0.2mm/s［11］。當δ＝1時，模型為 Tustin模型；當δ＝2時，模型為Gauss模型。本文分別選取庫侖模型、Tustin和Gauss模型進行計算。

5.2 計算方法描述

聯(lián)立式（19）～ 式（24），可得

式中，x為約束反力/力偶和驅(qū)動力矩陣；A為系數(shù)矩陣；BI為慣性矩陣；BG為重力矩陣；Bf為摩擦力矩陣。

A、BI和BG為已知矩陣，Bf與x有關(guān)。不含摩擦?xí)r，Bf等于0，則x＝－A－1（BI＋BG）。

考慮摩擦?xí)r，求解過程如下：

（1）將不含摩擦?xí)r求得的x記為x0，把x0代入摩擦模型計算Bf，得到的Bf記為Bf0。

（2）將Bf0代入式（28），求解x，記為x1，并再次按步驟1求解Bf，記為Bf1，以此類推，可求得xi和Bfi。

（3）向量范數(shù)norm（xi－xi－1，2）＜ζ時，計算結(jié)束，xi即為全部未知量的解。此次計算ζ取0.1。

5.3 計算結(jié)果及分析

經(jīng)計算得到各驅(qū)動支鏈的驅(qū)動力（不含摩擦、含庫侖摩擦和含Gauss摩擦?xí)r驅(qū)動力計算結(jié)果），如圖6所示。Tustin摩擦模型和Gauss摩擦模型計算結(jié)果相差很小，曲線幾乎重合，圖6中未描述。支鏈A1B1和A3B3需要的驅(qū)動力較大，支鏈A2B2和A4B4需要的驅(qū)動力較小。含庫侖摩擦與含Gauss摩擦的計算結(jié)果相比，在起始階段和運動終止階段驅(qū)動力存在差異，平穩(wěn)運動時驅(qū)動力幾乎無差異。同時，在起始和終止階段，摩擦對驅(qū)動力的影響明顯。根據(jù)計算結(jié)果還發(fā)現(xiàn)，支鏈A1B1和A3B3的U副和S副的約束反力較大，而約束力偶較小。

圖6 支鏈驅(qū)動力計算結(jié)果

6 結(jié)語

建立了一種四自由度并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)方程；根據(jù)N－E法建立了含摩擦的機構(gòu)動力學(xué)方程，在給定運動規(guī)律的條件下，得到了考慮摩擦的機構(gòu)各支鏈驅(qū)動力和各運動副的約束反力和約束力偶。

計算結(jié)果表明，驅(qū)動支鏈的U副和S副在機構(gòu)運動過程中存在較大的載荷。在起始和終止兩個階段，摩擦對驅(qū)動力的影響顯著，需充分考慮驅(qū)動力的補償。

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