許道軍， 李 敏， 沈 浮

(解放軍陸軍軍官學(xué)院基礎(chǔ)部數(shù)學(xué)教研室，安徽合肥230031)

0 引言

不管是單張保單還是保單組合，死亡率和利率都隨機(jī)時(shí)準(zhǔn)備金的表達(dá)形式比較繁瑣，因此，人們對(duì)隨機(jī)利率下壽險(xiǎn)的準(zhǔn)備金理論研究很少，對(duì)于多元衰減模型的情形更是如此．在Hans U．Gerber的著作“Life Insurance Mathematics”(Third Edition 1997)中給出了在固定利息力δ下多元衰減的模型

(1)在時(shí)刻t，由第j種原因?qū)е滤劳龅谋ｋU(xiǎn)金額記為Cj(t)，(j=1，2，…，m);

(2)在時(shí)刻t，由第j種原因?qū)е滤劳龅乃劳隽瘮?shù)記為 μj，x+t，(j=1，2，…，m)，且有

(3)保費(fèi)連續(xù)繳納，設(shè)時(shí)刻t的保費(fèi)繳納率為π(t)的凈準(zhǔn)備金與Thiele’s微分方程，得到時(shí)刻t繳納的保費(fèi)由儲(chǔ)蓄保費(fèi)πs(t)和(死亡)風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)πr(t)構(gòu)成，其中 πs(t)

1 模型的建立

亡后立即給付，采用下面的表示方法

(1)在時(shí)刻t，由第j種原因?qū)е滤劳龅谋ｋU(xiǎn)金額記為Cj(t)，j=1，2，…，m;

(2)在時(shí)刻t，由第j種原因?qū)е滤劳龅乃劳隽?/p>

考慮下面的模型:在x歲投保的壽險(xiǎn)，假設(shè)保費(fèi)連續(xù)繳納，死亡原因有m種，死亡保險(xiǎn)金額在死函數(shù)記為μj，x+t，j=1，2，…，m，且有

(3)保費(fèi)連續(xù)繳納，設(shè)時(shí)刻t的保費(fèi)繳納率為π(t);

(4)在時(shí)刻t的利息力函數(shù)隨機(jī)變量記為，其中t≥0，δ≥0，β 為參數(shù)，W(t)為標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程．

3 論文必須包括題名(不超過20個(gè)漢字)、作者姓名(多位作者的署名之間以逗號(hào)“，”隔開，不同工作單位的作者，應(yīng)在姓名右上角加注阿拉伯?dāng)?shù)字序號(hào))、作者工作單位(寫明地址、郵政編碼和聯(lián)系電話，并在其工作單位名稱之前加與作者姓名序號(hào)相同的數(shù)字，各工作單位之間連排并以分號(hào)“；”隔開)、中文摘要(100-200字)、關(guān)鍵詞(3-5個(gè))、中圖分類號(hào)、英文題目、作者姓名(漢語(yǔ)拼音)及英譯作者單位、英文摘要及關(guān)鍵詞、正文、參考文獻(xiàn)。

記Y(t)，易得Y(t)，時(shí)刻t保險(xiǎn)人的未來?yè)p失量為

2 凈準(zhǔn)備金與Thiele’s微分方程

定理1: 時(shí)刻t的凈準(zhǔn)備金

證明: 由凈準(zhǔn)備金的定義知，時(shí)刻t的凈準(zhǔn)備金

定理2: 時(shí)刻t的凈準(zhǔn)備金t對(duì)t的導(dǎo)數(shù)

從而有

方程兩邊t求導(dǎo)數(shù)，得到

顯然，(3)式就是隨機(jī)利率為Wiener過程時(shí)的Thiele’s Differential Equation．值得注意的是，它與固定利率下的Thiele’s Differential Equation在結(jié)構(gòu)上是一致的．(3)式整理得

這里，πs(t)為儲(chǔ)蓄保費(fèi)，而πir(t)為利率風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)，πmr(t)為死亡風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)，因此在隨機(jī)利率條件下，風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)是由利率風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)和死亡風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)兩部分組成，即

證明: 在定理1的證明中，易知πr(t)=πir(t)+πmr(t)

不難發(fā)現(xiàn)，隨機(jī)利率下的保費(fèi)比固定利率下多出一部分，即利率風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)πir(t)，而在傳統(tǒng)的固定利率的情形下，這一部分保費(fèi)全部是由保險(xiǎn)公司獨(dú)自承擔(dān)的，這必然加大了保險(xiǎn)公司的經(jīng)營(yíng)風(fēng)險(xiǎn)．

3 數(shù)值模擬

下面，將把固定利率下多元衰減模型的凈準(zhǔn)備金與隨機(jī)利率下的多元衰減模型的凈準(zhǔn)備金進(jìn)行數(shù)值模擬并比較．假定衰減原因有兩種，即m=2，并設(shè)兩種原因?qū)е碌乃劳霰ｋU(xiǎn)金額分別為:C1(t)=1000，C2(t)=2000，兩種原因?qū)е滤劳龅乃劳隽Ψ謩e為:μ1，x=，投保年齡x=25，極限年齡ω=105，保費(fèi)繳納率π(t)取常數(shù)．

在傳統(tǒng)的固定利率下，假設(shè)利息力δ=0．05，則由0V=0，計(jì)算出保費(fèi)繳納率π(t)=73．0240．在隨機(jī)利率為Wiener過程下，取δ=0．05，β=0．1，仍由0V=0，計(jì)算出保費(fèi)繳納率 π(t)=73．6495．

通過兩種模型的對(duì)比，首先在隨機(jī)利率下，保費(fèi)繳納率π(t)=73．6495，要比固定利率下的保費(fèi)繳納率π(t)=73．0240增加了0．6255．不難發(fā)現(xiàn)，這正是由于利率風(fēng)險(xiǎn)的存在所導(dǎo)致的，所以按照固定利率收取保費(fèi)，實(shí)際上增大了保險(xiǎn)公司的經(jīng)營(yíng)風(fēng)險(xiǎn)．其次，當(dāng)β=0．1時(shí)，剛開始時(shí)，利率風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)πir(t)的值都比較小，當(dāng)然這首先是由保額較低所導(dǎo)致的，但是可以看到πir(t)隨著t的增加也在不斷增加．事實(shí)上，隨著投保人年齡的增大，保險(xiǎn)公司的準(zhǔn)備金也會(huì)隨之大幅增長(zhǎng)，從而導(dǎo)致利率風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)的增加，由Matlab容易計(jì)算出當(dāng)t=50時(shí)，利率風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)高達(dá)7．0250，約占保費(fèi)的10%，因此保險(xiǎn)公司在實(shí)際經(jīng)營(yíng)中利率風(fēng)險(xiǎn)是絕對(duì)不容忽視的，在產(chǎn)品設(shè)計(jì)中，不應(yīng)忽視利率風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)的收?。?/p>

[1] Hans U．Gerber．Life Insurance Mathematics[M]．Springer，1997，75 －81．

[2] 楊靜平．壽險(xiǎn)精算基礎(chǔ)[M]．北京:北京大學(xué)出版社，2002．

[3] Kellison S G．尚漢冀，譯．利息理論[M]．上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1995．

[4] 張千祥．一類隨機(jī)利率模型下的年金計(jì)算問題[J]．巢湖學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，(3):1 －2．

[5] 尚勤，王永茂．隨機(jī)利率下的年金[J]．吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，(3):49 －51．

[6] 王廷臣，代金，張波．隨機(jī)利率下的保險(xiǎn)精算函數(shù)[J]．經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2004(3):189－193．