王楓紅， 陳熾坤

（華南理工大學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)院，廣東 廣州 510640）

在實(shí)際防雷工作中，有很多建筑物采用了多種防雷設(shè)施結(jié)合的手段。這種復(fù)雜條件下的防雷設(shè)計(jì)給防雷保護(hù)范圍及其三維模型的研究帶來(lái)了一定的困難[1]。目前，關(guān)于復(fù)雜防雷模型的研究還比較少見(jiàn)，本文將以復(fù)雜防雷條件下的保護(hù)范圍及其三維模型為研究對(duì)象，探討其生成方法。

1 復(fù)雜防雷現(xiàn)狀

如果建筑物高度高于滾球半徑時(shí)，單靠避雷針幾乎起不到什么效果，還可能發(fā)生雷電繞擊現(xiàn)象。并且單支避雷針的保護(hù)范圍并不是同針高的增減成正比例，只有在接近地面的情況下，保護(hù)范圍的半徑才處于最大值，隨著高度的增加，保護(hù)范圍的半徑縮小速度反而增快；另外，在同等高度處，不同高度的避雷針的保護(hù)范圍半徑相差并不大[2]。因此，在選擇防雷設(shè)計(jì)方案時(shí)，并不是避雷針高度越高越好。合理配置的兩支20m的避雷針在某高度的保護(hù)范圍要比 40m避雷針的保護(hù)范圍大。

一般情況下，如果屋頂安裝有避雷帶、避雷線(xiàn)、接地金屬等相對(duì)經(jīng)濟(jì)的接閃器，則這些設(shè)施可以起到地平面或基準(zhǔn)面的作用，則只需安置高度較低的避雷針，就可獲得較大的保護(hù)范圍。另外，還有其他因素影響防雷保護(hù)范圍。防雷設(shè)計(jì)中建筑物附近突出的其它建筑物、樹(shù)木、山等也可在不同程度上充當(dāng)避雷針或基準(zhǔn)面（地面）的角色[3]。這些因素將會(huì)對(duì)防雷效果產(chǎn)生較大影響，因此，在防雷設(shè)計(jì)中必須予以認(rèn)真考慮。

綜上所述，本文所要研究的復(fù)雜模型是在多種防雷設(shè)施結(jié)合應(yīng)用下，綜合考慮建筑物所處環(huán)境的防雷保護(hù)范圍模型。在多種因素作用下，我們不可能簡(jiǎn)單的利用單針、多針?lè)览追秶姆椒ù_定保護(hù)范圍，必須另辟蹊徑。

2 保護(hù)范圍平面二維輪廓線(xiàn)的求取

2.1 由輪廓線(xiàn)重建模型的思路

盡管復(fù)雜條件下的防雷模型需另辟蹊徑，但仍然適用滾球法。滾球在裝有接閃器的建筑物上滾過(guò)時(shí)，滾球體在受到建筑物上安裝之接閃器的阻擋時(shí)，無(wú)法觸及某些區(qū)域，這個(gè)區(qū)域范圍就是接閃器的保護(hù)范圍。根據(jù)這一原則就可以得出滾球球心的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖1所示。復(fù)雜防雷條件下的保護(hù)范圍模型相對(duì)要復(fù)雜得多。以圖2為例，避雷針旁的建筑物頂安裝有接閃器，滾球球心軌跡為曲線(xiàn) C1、C2、C3，其中曲線(xiàn) C1、C2與曲線(xiàn)C3分布在不同的高度平面上。

圖1 簡(jiǎn)單防雷模型滾球球心運(yùn)動(dòng)軌跡

圖2 復(fù)雜防雷模型滾球球心運(yùn)動(dòng)軌跡

顯然復(fù)雜防雷條件下的模型可以從滾球法的原理中找到研究的思路。當(dāng)一定半徑的圓在某高度平面上沿著滾球球心運(yùn)動(dòng)軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)，所形成之圖形將形成內(nèi)包絡(luò)線(xiàn)，該包絡(luò)線(xiàn)就是在這一高度平面上保護(hù)范圍的截面圖形和輪廓線(xiàn)。以此類(lèi)推，可得到不同高度平面上的輪廓線(xiàn)或等高線(xiàn)?？梢岳眠@些不同高度上的輪廓線(xiàn)或等高線(xiàn)進(jìn)行三角剖分，建立防雷保護(hù)范圍的三維模型。

2.2 保護(hù)范圍輪廓線(xiàn)的產(chǎn)生及實(shí)現(xiàn)

2.2.1 復(fù)雜防雷條件下的滾球軌跡

如圖2所示，有雙支不等高避雷針旁的建筑物頂有接閃器為例，在該圖中曲線(xiàn) C1、C2、C3為球心軌跡曲線(xiàn)，其中對(duì)曲線(xiàn)C2和曲線(xiàn)C3連接處做了簡(jiǎn)化處理（主要是因?yàn)镃2與C3不是處于同一高度，兩曲線(xiàn)之間的連接曲線(xiàn)很復(fù)雜，而防雷又是個(gè)對(duì)精確沒(méi)有過(guò)嚴(yán)要求的設(shè)計(jì)），曲線(xiàn)C'3為曲線(xiàn)C3在曲線(xiàn)C1、C2所在平面的投影圖。根據(jù)圖2所描述的球心運(yùn)動(dòng)軌跡可以看出，球心的運(yùn)動(dòng)軌跡比較簡(jiǎn)單、規(guī)則，是由多條圓弧或直線(xiàn)連接所組成。圓弧 C1、C2、C3可由如下方程來(lái)描述

ha為避雷針的針頂與地面或屋頂?shù)慕娱W器等基準(zhǔn)面間的距離，h1、h2分別取避雷針1和2的針高，h3= h2- H。

2.2.2 截面輪廓線(xiàn)的數(shù)學(xué)模型及實(shí)現(xiàn)研究

當(dāng)滾球在軌跡上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其在某高度平面上的截面就是無(wú)數(shù)的圓在運(yùn)動(dòng)，由這些圓形成的內(nèi)包絡(luò)線(xiàn)就是防雷保護(hù)范圍的平面輪廓線(xiàn)。

1）包絡(luò)原理

根據(jù)滾球球心軌跡方程式1知，由于各圓弧圓心坐標(biāo)已知，該方程為參數(shù)θ的函數(shù)，同時(shí)該方程也是各曲線(xiàn)簇（在本文中為圓簇）的運(yùn)動(dòng)軌跡函數(shù)，即為單參數(shù)的曲線(xiàn)簇。

對(duì)于單參數(shù)平面曲線(xiàn)簇，其方程為{Ca}: F(x,y, z)=0，當(dāng)a取某個(gè)實(shí)數(shù)值時(shí)，就得到一條確定的簇中曲線(xiàn)Ca。如果存在一條平面曲線(xiàn)L，它的每一點(diǎn)至少和簇中一條曲線(xiàn)相切，并且L與簇中每一條曲線(xiàn)至少切于一點(diǎn)，則稱(chēng)L為曲線(xiàn)簇{Ca}的包絡(luò)線(xiàn)[4]。

如圖3所示，和曲線(xiàn)簇中每一根曲線(xiàn)同時(shí)都相切的一根曲線(xiàn)叫做包絡(luò)線(xiàn)L。對(duì)包絡(luò)線(xiàn)上的每一點(diǎn)，必然能找到與包絡(luò)線(xiàn)在此點(diǎn)相切的簇中的一根曲線(xiàn)。即曲線(xiàn)簇中的一根曲線(xiàn)上至少有一點(diǎn)落在包絡(luò)線(xiàn)上并與包絡(luò)線(xiàn)相切，包絡(luò)線(xiàn)就是由這無(wú)數(shù)的切點(diǎn)所組成。這無(wú)數(shù)的切點(diǎn)既在曲線(xiàn)簇上、又在包絡(luò)線(xiàn)上。所以曲線(xiàn)簇的方程式C適合于包絡(luò)線(xiàn)L的方程式。

圖3 包絡(luò)原理圖

代入第1式，即可獲得包絡(luò)線(xiàn)L的表達(dá)式 F(x, y,a(x, y))=0。

2）保護(hù)范圍平面輪廓線(xiàn)的獲取

圖4為復(fù)雜防雷條件下滾球球心運(yùn)動(dòng)軌跡圖（以雙支不等高避雷針為例），為獲得不同高度平面上的防雷保護(hù)范圍的輪廓線(xiàn)，需將球心軌跡投影到該平面上。

圖4 球心軌跡圖

圖4(b)為球心軌跡在某高度平面上的投影。由于空間曲線(xiàn) C2、C3間的連接曲線(xiàn)較復(fù)雜，而防雷保護(hù)范圍設(shè)計(jì)的精度要求不是太高，因此筆者對(duì)空間曲線(xiàn) C2、C3在某高度平面上的投影曲線(xiàn) C2、C'3之間的連接曲線(xiàn)做了簡(jiǎn)化處理。以直線(xiàn)AB和CD連接，得出球心軌跡投影后的曲線(xiàn)C1、C2、C'3。在獲取滾球球心軌跡在某高度平面上的投影曲線(xiàn)后，將按一定規(guī)律、一定半徑的曲線(xiàn)簇（本文取為圓簇）沿軌跡曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，所形成的內(nèi)包絡(luò)曲線(xiàn)就是該高度平面上的保護(hù)范圍輪廓線(xiàn)。圖4(b)中的曲線(xiàn)由兩部分組成：曲線(xiàn)C1與C2圓簇半徑相同，設(shè)圓簇半徑為r'1；曲線(xiàn)C'3為不同半徑的另一圓簇，設(shè)圓簇半徑為r'2。

圖5為各圓簇半徑的計(jì)算方法。其中：

曲線(xiàn)C1與C2處的圓簇半徑為

在不同高度平面上，按上文規(guī)定的圓簇半徑方法，若干圓在球心軌跡上運(yùn)動(dòng)，所形成圖形的內(nèi)包絡(luò)線(xiàn)即為在這些高度上的防雷范圍的輪廓線(xiàn)，在曲線(xiàn) C2、C'3的連接處應(yīng)用包絡(luò)原理獲得的圖形按圖6所示的方法處理。

圖5 不同高度平面上的rx

圖6 內(nèi)包絡(luò)線(xiàn)的處理方法

圖6中由滾球軌跡曲線(xiàn)AOM產(chǎn)生的內(nèi)包絡(luò)線(xiàn)為弧A1OM1，由滾球軌跡曲線(xiàn)BON產(chǎn)生的內(nèi)包絡(luò)線(xiàn)為弧B1ON1，連接直線(xiàn)A1B1，即為內(nèi)包絡(luò)線(xiàn)A1OM1和B1ON1的連接線(xiàn)。之所以如此簡(jiǎn)化處理，是因?yàn)橹本€(xiàn)A1B1相比附近圓簇更靠近內(nèi)側(cè)，也就是說(shuō)使該部分保護(hù)范圍輪廓線(xiàn)向內(nèi)縮了，因此導(dǎo)致保護(hù)范圍也略微變小，這就使得保護(hù)設(shè)計(jì)更嚴(yán)格了，不會(huì)影響防雷設(shè)計(jì)的安全性。

根據(jù)以上方法獲得的輪廓線(xiàn)可用以下方程表示

其中ra按式(4)和式(5)確定。通過(guò)這3個(gè)方程就可以建立輪廓線(xiàn)的數(shù)學(xué)模型。

3）輪廓線(xiàn)的對(duì)應(yīng)問(wèn)題

為使各相鄰斷層上的輪廓線(xiàn)具有幾何形狀上的相似性，我們可以用一種簡(jiǎn)單的輪廓線(xiàn)相對(duì)位置的約束方法，即判斷兩相鄰斷層上的輪廓線(xiàn)中心點(diǎn)距離是否充分小。令j 和 j+1層上的兩條輪廓線(xiàn)分別為和，它們之間的距離定義為

其中dj是兩層輪廓線(xiàn)之間的垂直距離，是輪廓線(xiàn)區(qū)域內(nèi)的面積，是輪廓線(xiàn)區(qū)域內(nèi)的面積，函數(shù) g計(jì)算x∈到輪廓線(xiàn)中所有內(nèi)點(diǎn)的最短歐氏距離。

在輪廓線(xiàn)的對(duì)應(yīng)問(wèn)題上，除了單輪廓線(xiàn)對(duì)單輪廓線(xiàn)外，還有單輪廓線(xiàn)對(duì)多輪廓線(xiàn)、多輪廓線(xiàn)對(duì)多輪廓線(xiàn)的問(wèn)題。而多輪廓不僅涉及到層間輪廓線(xiàn)的對(duì)應(yīng)問(wèn)題，還涉及到該平面多輪廓線(xiàn)間的三角剖分問(wèn)題[5]。本文研究的防雷保護(hù)模型的輪廓線(xiàn)均為簡(jiǎn)單對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)，不存在復(fù)雜輪廓的對(duì)應(yīng)問(wèn)題，因此輪廓對(duì)應(yīng)問(wèn)題對(duì)本章研究的影響不大。

4）輪廓線(xiàn)的實(shí)現(xiàn)

根據(jù)前面介紹的包絡(luò)線(xiàn)的數(shù)學(xué)模型，獲取輪廓線(xiàn)如圖7所示，圖中的外圍粗線(xiàn)條為滾球球心軌跡在輪廓線(xiàn)平面上的投影線(xiàn)，內(nèi)側(cè)的粗線(xiàn)條為保護(hù)范圍的輪廓線(xiàn)。

圖7 應(yīng)用包絡(luò)原理求取輪廓線(xiàn)

3 二維輪廓線(xiàn)重構(gòu)三維模型的實(shí)現(xiàn)

3.1 重構(gòu)方法

斷層間三角面片表面幾何重建技術(shù)的研究已相當(dāng)成熟，其中最短對(duì)角線(xiàn)法是一種計(jì)算量小、計(jì)算速度較快的優(yōu)化方法。本研究采用最短對(duì)角線(xiàn)法作為三角面片生成的優(yōu)化方法[5]。該方法就是在四邊形P1P2QlQ2中的兩條對(duì)角線(xiàn)P1Q2和P2Q1中，選擇較短的一條對(duì)角線(xiàn)作為下一個(gè)三角面片的邊，生成三角面片，如圖8所示。通過(guò)一系列相互連接的三角面片將上、下兩條輪廓線(xiàn)連接起來(lái)，以此完成三維形體表面重構(gòu)。

圖8 最短對(duì)角線(xiàn)法示意圖

按以上斷層模型生成的方法，對(duì)N個(gè)斷層按順序做層間四面體連接，得到N-1層四面體，疊加所有四面體層就可以形成三維實(shí)體的四面體網(wǎng)格。

3.2 仿真實(shí)驗(yàn)

本文以?xún)芍嗑?0m、高度為10m的等高避雷針保護(hù)范圍的設(shè)計(jì)為例，完成了該保護(hù)范圍模型的表面形體重建，如圖9所示。

圖9 仿真應(yīng)用實(shí)例

圖9(a)為通過(guò)三角劃分形成的避雷針保護(hù)范圍的表面網(wǎng)格圖示，圖9(b)是由三角面片形成的保護(hù)范圍的表面。由于時(shí)間有限，本文只以較為粗糙的精度實(shí)現(xiàn)了簡(jiǎn)單雙支等高避雷針的表面重建工作，高精度的三角劃分和體重構(gòu)工作還有待進(jìn)一步研究和實(shí)現(xiàn)。

4 結(jié) 論

復(fù)雜防雷條件下的防雷保護(hù)范圍的求取對(duì)于三維模型的創(chuàng)建至關(guān)重要。本文提出采用滾球法，并基于包絡(luò)線(xiàn)法的不同高度的防雷輪廓線(xiàn)求解方法，研究了通過(guò)二維輪廓線(xiàn)重建三維模型的方法。由二維輪廓線(xiàn)重建保護(hù)范圍模型的方案不僅適合于復(fù)雜條件的防雷范圍設(shè)計(jì)，同樣也適合簡(jiǎn)單模型條件下的防雷范圍模型，為防雷保護(hù)范圍設(shè)計(jì)提供了一條新的思路。

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