何 偉，蘆 亮

(中國(guó)人民解放軍92306 部隊(duì)，海南陵水 572425)

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，大型廠房，高層建筑的建設(shè)得到了迅猛的發(fā)展。這樣不可避免的渉及到彎矩作用對(duì)三角形板的彎曲的影響。如大型船板在電機(jī)偏心轉(zhuǎn)子作用下引起的彎矩，突然啟動(dòng)機(jī)械設(shè)備引起的彎矩等等。本文應(yīng)用混合變量法［1］研究三角板上任意一點(diǎn)作用一集中彎矩的三角形板的彎曲問(wèn)題。

1 斜邊自由兩邊固定的三角形板的彎曲

1.1 對(duì)實(shí)際系統(tǒng)的約束分布

取在一流動(dòng)坐標(biāo)(ξ，η)處有一單位集中力作用的四邊簡(jiǎn)支矩形板的一半為基本系統(tǒng)，如圖1 所示而取斜邊自由兩邊固定，在任意一點(diǎn)(x0，y0)處有一集中彎矩作用的同一直角

三角形板為實(shí)際系統(tǒng)，如圖2 所示。

在計(jì)算三角形板的彎曲時(shí)，將要用到單位載荷基本系統(tǒng)的相應(yīng)量由文獻(xiàn)［2］得

圖1 基本系統(tǒng)

圖2 實(shí)際系統(tǒng)

圖3 解除約束的實(shí)際系統(tǒng)

對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)，解除固定邊的彎曲約束，這一約束被分布彎矩所代替，如圖3 所示。

1.2 撓曲面方程

假設(shè)自由邊的撓度和轉(zhuǎn)角方程分別為

并且在圖1 所示基本系統(tǒng)與圖3 所示實(shí)際系統(tǒng)之間應(yīng)用混合變量法?；旌献兞康目倓?shì)能為

則可得到作為實(shí)際系統(tǒng)的三角板的撓曲面方程為如下形式

于是我們得到

式中αn=nπa/b。

將式(11)～式(16)代入式(10)，便得到三角形板撓曲面的一般方程。

1.3 邊界條件

撓曲面方程(10)必須滿(mǎn)足下述邊界條件

將式(10)代入式(17)～式(20)經(jīng)整理，最后得到四個(gè)方程。

1.4 數(shù)值計(jì)算

作為數(shù)值算例，取a=b=1 m，集中彎矩M=100 N·m，彈性模量E=200 GPa，泊松比v=0.3，分別取彎矩作用在點(diǎn)(0.2，0.2)、(0.3，0.3)和(0.5，0.5)處，計(jì)算出斜邊的撓度。m=n=1，2，3，…，各取到80，用Matlab 軟件編程［3］計(jì)算可得參數(shù)am，bm，Em和An，將所得結(jié)果代入撓曲面方程中，即得到撓曲函數(shù)的數(shù)值解。表1 給出了斜邊撓度值的本文計(jì)算的結(jié)果和ANSYS 有限元［4］計(jì)算結(jié)果。

表1 斜邊的撓度變化數(shù)據(jù)表Ma2/bD(×10－3)

2 結(jié)論

本章依據(jù)彎曲薄板的混合變量法，對(duì)三邊固定的三角形板進(jìn)行了計(jì)算，給出了集中彎矩作用下三角形板的撓曲面方程。對(duì)不同問(wèn)題在Matlab 平臺(tái)上進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，計(jì)算表明:用混合變量法所求的結(jié)果是正確的。

［1］付寶連.彈性力學(xué)中的能量原理及其應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，2004:561—585

［2］徐翔.從Levinson 理論一致變分到高次翹曲梁理論［J］.工程力學(xué)，2008，25(2):56－61

［3］陳杰.MATLAB 寶典［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2007

［4］王新敏.ANSYS 工程結(jié)構(gòu)數(shù)值分析［M］.北京:人民交通出版社，2007:378－384