張舒原，吳運新，龔海

(中南大學 機電工程學院，湖南 長沙，410083)

航空鋁合金預(yù)拉伸厚板是航空航天與武器裝備戰(zhàn)略產(chǎn)業(yè)用高性能輕合金大型復雜結(jié)構(gòu)件制造的基礎(chǔ)材料，在大型軍/民用飛機、戰(zhàn)略航空武器裝備中大量使用的整體結(jié)構(gòu)件都會用到這類材料。目前制約我國高強鋁合金厚板應(yīng)用的主要問題是厚板淬火強化后將產(chǎn)生較大的殘余應(yīng)力，在后續(xù)加工中極易導致構(gòu)建變形而報廢。消除厚板淬火殘余應(yīng)力的最有效手段是厚板淬火后進行預(yù)拉伸。預(yù)拉伸工藝通過對厚板施加均勻塑性變形達到使厚板內(nèi)部殘余應(yīng)力釋放的目的。而建立厚板彈塑性增量本構(gòu)模型是分析預(yù)拉伸消除殘余應(yīng)力機理的基礎(chǔ)。目前用于鋁合金材料的彈塑性本構(gòu)模型都基于應(yīng)力空間構(gòu)建。當已知變量為應(yīng)力時，可方便地求出板材內(nèi)部應(yīng)變。然而厚板可在線測試得到的物理量是應(yīng)變和應(yīng)變率，將其用于鋁合金等強化材料的應(yīng)力空間彈塑性模型時無法直接求解。由于航空鋁合金預(yù)拉伸工藝的控制參數(shù)是板材軋制和橫向的變形，其屈服函數(shù)不能簡化為橢圓方程的形式，因而不能在應(yīng)力空間的彈塑性模型中求得解析解。這一領(lǐng)域有關(guān)研究均是通過有限元數(shù)值仿真分析預(yù)拉伸應(yīng)力，并結(jié)合實驗數(shù)據(jù)來優(yōu)化預(yù)拉伸工藝。采用應(yīng)變空間表述的彈塑性本構(gòu)模型可以直接由已知的變形條件求解出板內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)，為分析殘余應(yīng)力消減的宏觀機理奠定基礎(chǔ)?；趹?yīng)變空間的彈塑性模型最初由Drucker[1]提出，但是這一領(lǐng)域最早的工作應(yīng)該歸功于 Naghdi等[2]的研究，他們將塑性應(yīng)變和累積塑性應(yīng)變作為塑性變形研究的狀態(tài)變量。大部分研究者對這種變量更加熟悉。Yoder等[3]用塑性應(yīng)力作為內(nèi)變量建立了應(yīng)變空間的屈服條件。Lu等[4]分析了應(yīng)力空間模型和應(yīng)變空間的等效性。他們的研究表明兩種模型是等效的。應(yīng)變空間彈塑性模型由于具有諸多優(yōu)點，因此在混凝土、巖石、土壤等非金屬材料的分析中得到廣泛的應(yīng)用[5-9]。然而到目前為止，應(yīng)用于高強鋁合金等線性等向強化金屬材料的彈塑性本構(gòu)模型研究未見報道。本文作者由巖土力學中使用的應(yīng)變空間彈塑性應(yīng)力應(yīng)變一般關(guān)系出發(fā)，根據(jù)航空鋁合金材料力學特征推導出適合等向強化金屬材料的應(yīng)變空間彈塑性增量本構(gòu)模型，從而為超高強航空鋁合金厚板預(yù)拉伸工藝機理分析奠定基礎(chǔ)。

1 應(yīng)變空間彈塑性本構(gòu)模型

由于應(yīng)變空間中屈服函數(shù)的實驗研究較少，故應(yīng)變空間中的屈服函數(shù)通常由應(yīng)力空間屈服函數(shù)轉(zhuǎn)化得到。應(yīng)變空間里的屈服函數(shù)一般可表示為：

其中： εipj為塑形變形分量；H為加載歷史的內(nèi)變量，可以取為累積塑性應(yīng)變或者塑性功，一般情況下使用前者更加方便。累積塑性應(yīng)變[10]的定義是為偏應(yīng)變張量增量的塑性部分。對于金屬材料來說，無塑性體積變化，故所以有：

用應(yīng)變空間的屈服函數(shù)可以給出如下的加載準則：

類似于應(yīng)力空間中的流動法則，在應(yīng)變空間也有與之對應(yīng)的形式：

式中：ijklC 為材料的彈性剛度張量。且有

其中：E為材料的彈性模量；v為泊松比；ijδ為Kronecker符號。由式(4)和(5)可以得到：

類似于應(yīng)力空間中的定義，λd與應(yīng)變增量之間有如下關(guān)系：

其中：A為比例系數(shù)。由于屈服函數(shù)F必須滿足一致性條件，故由式(1)有

將式(6)和(7)帶入式(8)則得到：

由d0λ≠，則可求出系數(shù)A的表達式：

將式(10)帶入式(7)即可得到比例系數(shù)λd的表達式。由于材料的應(yīng)變增量可以表達為彈性應(yīng)變增量和塑性應(yīng)變增量之和，故有

式(11)兩邊乘以 Cijkl，考慮到 Cijkldεe=dσ 及式(4)和(7)，經(jīng)整理后可得應(yīng)變空間彈塑性增量本構(gòu)關(guān)系：

2 鋁合金應(yīng)變空間彈塑性本構(gòu)模型

前面得到的本構(gòu)關(guān)系式(12)是應(yīng)變空間彈塑性增量本構(gòu)關(guān)系一般表達式。要建立航空鋁合金材料的彈塑性增量本構(gòu)模型，還需要確定屈服條件、流動法則、塑性模量和強化函數(shù)。

2.1 屈服函數(shù)

航空鋁合金材料屬于強化材料，毋玲等[11-12]研究表明超高強航空鋁合金材料具有明顯的各向同性線性強化特征。因此本文選取各向同性線性強化作為材料的硬化模型。在應(yīng)力空間中，以累積塑性應(yīng)變?yōu)閮?nèi)變量的各向同性Mises強化材料的屈服函數(shù)可取為：

式中：J2為偏應(yīng)力張量的第二不變量。由于J2和偏應(yīng)變第二不變量 J2′之間的關(guān)系為，故式(13)可轉(zhuǎn)化為應(yīng)變空間中的屈服函數(shù)：

其中：G為剪變模量。式(14)可做進一步簡化，但相應(yīng)的強化函數(shù)等參量也要改變。為了方便與應(yīng)力空間的塑性模型對照，保留式(13)中的形式作為應(yīng)變空間中的屈服函數(shù)。由式(14)可以得到屈服函數(shù)對于應(yīng)變分量的偏導數(shù)：

由于金屬是穩(wěn)定材料，故取屈服函數(shù)作為塑性勢函數(shù)，即Q=F，以下均用F代替Q。

2.2 塑性模量和硬化函數(shù)

式(16)后半部分即為強化材料在應(yīng)變空間里的硬化函數(shù)。由式(15)可得到以下關(guān)系：

將式(17)和式(18)帶入式(16)可得系數(shù) A的表達式：

2.3 增量本構(gòu)模型

由式(15)可推得：

將式(17)～(20)帶入式(12)得到高強鋁合金材料的彈塑性增量本構(gòu)關(guān)系：

3 模型驗證及分析

預(yù)拉伸工藝屬于平面應(yīng)力狀態(tài)下的彈塑性變形[13-14]，厚板內(nèi)部不同深度處可視為沿著軋制方向和橫向呈一定固定比例的變形。文獻[15]例題8.14中的變形條件與預(yù)拉伸工藝類似，故本文采用該題設(shè)定條件，將其計算結(jié)果作為已知應(yīng)變條件輸入本文模型反求應(yīng)力，以驗證本模型的正確性?，F(xiàn)假定一鋁合金金屬薄板軋制方向(x向)和橫向(y向)受均勻外力作用發(fā)生變形，產(chǎn)生的內(nèi)應(yīng)力變化路徑如圖1所示(簡明起見量綱為1)。

圖1 薄板應(yīng)力加載關(guān)系曲線Fig.1 Stress curve of loading on plate

薄板由初始點O開始比例加載至B點，2個正方向的應(yīng)力成比例增大。設(shè)A點是初始屈服點，B點應(yīng)力為已知材料強化特性是各向同性線性強化，應(yīng)力空間的屈服函數(shù)為：原題將柏松比取為0.5，為避免彈性剛度張量在矩陣計算時分母取值為0，這里將泊松比的值取為0.499 9。由設(shè)定條件可知應(yīng)力主方向和應(yīng)變主方向重合，不存在剪應(yīng)力和剪應(yīng)變。

由平面應(yīng)力狀態(tài)下的Mises屈服條件，在A點有：

式中：上標A表示該變量是變形狀態(tài)A點處的量，以下相同。由式(22)可求出屈服點A處的應(yīng)力狀態(tài)是：

根據(jù)應(yīng)力空間的加載準則容易判斷在 AB段薄板均處于加載狀態(tài)。考慮應(yīng)力空間關(guān)聯(lián)正交流動法則和增量線性理論，用應(yīng)力增量表達應(yīng)變增量如下：

將A點應(yīng)變和AB段應(yīng)變增加量相加即可得到最終應(yīng)變：

現(xiàn)用計算出的應(yīng)變作為已知條件輸入前述建立的應(yīng)變空間彈塑性增量本構(gòu)模型。由應(yīng)力分量間的比例關(guān)系，容易由虎克定理計算出x和y方向的應(yīng)變分量在彈性階段(OA段)的比值是常數(shù)：

由式(24)～(27)可知：在彈塑性變形階段(AB段)，x和y方向的應(yīng)變之比也是常數(shù)：

上述應(yīng)變關(guān)系如圖2所示。

圖2 薄板應(yīng)變加載曲線Fig.2 Strain curve of loading on plate

根據(jù)彈性變形條件下的虎克定理， σij=Cijklεkl，容易求出初始屈服點A處的應(yīng)力狀態(tài)：

應(yīng)變空間中的屈服條件由已知應(yīng)力空間中的屈服條件轉(zhuǎn)化得到：

對式(33)應(yīng)變分量求偏導數(shù)的結(jié)果與式(15)相同。因此，本例中強化函數(shù)、比例系數(shù)等參量的表達式與式(16)～(20)中的形式相同。將材料常數(shù)及屈服條件代入式(21)，得到彈塑性變形階段的增量本構(gòu)關(guān)系如下：

AB段的應(yīng)變分量可由下式表達

由式(31)，可以得到AB段應(yīng)變增量間的關(guān)系：

將式(35)和(36)代入式(34)中的 eij和 J2′，則式(34)也可如式(24)一樣簡化為只含有表達式。將該式在塑性變形區(qū)間AB上對y方向應(yīng)變路徑積分即可得到塑性變形階段的應(yīng)力增量。對于x方向的應(yīng)力增量，積分式的顯式展開為：

同理，可得到

將A點應(yīng)力與AB段應(yīng)力增加量相加即得到B點應(yīng)力：

應(yīng)變空間模型所得結(jié)果與題設(shè)基本一致。由上述計算可知本文建立的應(yīng)變空間塑性增量本構(gòu)模型與應(yīng)力空間中的塑性增量本構(gòu)模型等效。

4 討論

式(39)的結(jié)果與精確值相比還有一定的差異，誤差主要有2個方面的因素：一方面誤差來自計算時的舍入誤差；另一方面，計算中泊松比的取值接近0.5，造成彈塑性剛度矩陣 Cep接近奇異，從而導致模型對于輸入誤差的敏感度增強，放大了舍入誤差帶來的影響。若采用材料實際泊松比值(如對高強鋁合金ν = 0.33)，則擾動會明顯降低。

在實際應(yīng)用中，板材厚度方向的應(yīng)變難以實時準確的檢測到，而應(yīng)變誤差的擾動對于應(yīng)力計算的結(jié)果影響很大。因此，厚度方向的應(yīng)變需要由軋制和橫向方向的應(yīng)變通過一定的關(guān)系模型求解，這樣就可以進一步簡化應(yīng)變空間彈塑性模型的計算，并獲得更為精確的結(jié)果。

通過前面的例題可以看出，利用應(yīng)變空間塑性增量本構(gòu)關(guān)系可以很容易地由已知應(yīng)變求出應(yīng)力，大大簡化了工程實際應(yīng)用時的計算。在高強鋁合金淬火厚板預(yù)拉伸等工藝的應(yīng)力測試和分析中，已知變量及實驗可直接測試的物理量均為位移，因此應(yīng)變空間中的彈塑性模型特別適合這些研究方面的應(yīng)用。事實上，式(21)模型適用于所有各向同性線性強化金屬材料的分析。通過對屈服條件、強化函數(shù)、塑性模量等條件的修改，該模型也可應(yīng)用于Tresca強化材料。

5 結(jié)論

(1) 建立的應(yīng)變空間塑性增量本構(gòu)模型適合于高強鋁合金等各向同性線性強化材料，該模型與應(yīng)力空間的塑性增量本構(gòu)模型等效。

(2) 基于應(yīng)變空間的彈塑性本構(gòu)模型可以由已知應(yīng)變條件直接求得應(yīng)力，在研究金屬變形應(yīng)力時使計算過程大為簡化。尤其是對于強化材料來說，應(yīng)變空間本構(gòu)模型在使用上特別方便。

(3) 對于以累積塑性應(yīng)變?yōu)閮?nèi)變量的線性強化材料，應(yīng)變空間中的硬化函數(shù)等于應(yīng)力空間的塑性模量，在計算中可以直接使用塑性模量的值作為應(yīng)變空間模型計算時的硬化函數(shù)。

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