孫文超 常 青 徐 勇 齊 巍

（北京航空航天大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，北京 100191）

星間DOWRT中的相對論效應(yīng)分析與修正

孫文超 常 青 徐 勇 齊 巍

（北京航空航天大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，北京 100191）

推導(dǎo)了雙向單程測距與時間同步（DOWRT，Dual One-Way Ranging/Time Synchronization）的解耦方程，分析了空間動態(tài)下DOWRT法的計算方法及相對論效應(yīng)在測距和時間比對中的影響，提出了帶有相對論效應(yīng)修正的DOWRT算法，最后分別仿真分析了低軌編隊飛行衛(wèi)星和導(dǎo)航星座中的距離與時間同步測量中相對論效應(yīng)引起的誤差.結(jié)果表明:衛(wèi)星間采用DOWRT測量方法時，由相對論效應(yīng)引起的低軌短基線編隊飛行衛(wèi)星間距離測量誤差為米級、時間同步誤差為亞皮秒級，而在導(dǎo)航星座測量中引起近百米級距離測量誤差和高達微秒級的時間同步誤差.因此為了實現(xiàn)導(dǎo)航衛(wèi)星間高精度距離與時間同步測量，必須進行相對論效應(yīng)修正.

雙向單程測距與時間同步;衛(wèi)星導(dǎo)航星座;星間鏈路;誤差分析;廣義相對論

衛(wèi)星編隊飛行是近年來興起并受到國內(nèi)外航天界普遍關(guān)注的一個新的研究領(lǐng)域，而編隊衛(wèi)星間的距離和時間同步測量技術(shù)是其中一項關(guān)鍵技術(shù)，很多文獻討論了這一問題［1－5］.考慮到衛(wèi)星運動的影響，文獻［3］對雙向法進行了修正，提出通過預(yù)先估計衛(wèi)星的徑向速度、星間距離實現(xiàn)動態(tài)下衛(wèi)星距離和鐘差的精確測量.

在全球?qū)Ш蕉ㄎ幌到y(tǒng)中，星間鏈路的測量在輔助地面進行精密定軌、增加星歷注入頻度、增強星座自主運行和管理等方面起著重要作用.目前，美國GPS BLOCK-IIR衛(wèi)星已具備了星間相對測量的能力［4］，一旦有足夠的衛(wèi)星在軌，GPS星座將可以實現(xiàn)戰(zhàn)時的自主運行，但其星間鏈路的測量技術(shù)細節(jié)卻很少公布，很多技術(shù)尚不清楚實現(xiàn)方法.所以針對導(dǎo)航星座的星間鏈路測量技術(shù)的研究與探索在建設(shè)我國全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)過程中有著重要的實際和戰(zhàn)略意義.文獻［5］介紹了一種導(dǎo)航衛(wèi)星動態(tài)雙向時間同步算法，提出利用星間偽距擬合多項式和鐘差擬合多項式聯(lián)合求解高精度星間鐘差.

在大尺度空間范圍內(nèi)，以歐幾里德空間為基礎(chǔ)的經(jīng)典牛頓力學(xué)理論中時間觀測精度在10－8以內(nèi)［6］，遠不能滿足現(xiàn)代高精度測量的要求，所以必須在相對論框架下考慮衛(wèi)星間距離和時間同步測量這一問題.對此國內(nèi)外鮮有文獻提及，本文給出了動態(tài)下帶有相對論效應(yīng)修正的星間距離測量與時間同步的解耦方程，并仿真分析了相對論效應(yīng)對LEO（Low Earth Orbit）衛(wèi)星編隊飛行和導(dǎo)航星座中測距與時間同步測量的影響.

1 基于雙向法的DOWRT原理

基于雙向法的雙向單程測距技術(shù)DOWR（Dual One-Way Ranging）是一種非相干擴頻測距和時間比對方法［1－2］，在這種方法中，每顆衛(wèi)星均安裝有發(fā)射機和接收機，通過偽碼和載波相位測量，各自得到觀測偽距，通過交換偽距消除多種誤差量，實現(xiàn)星間精密測距，時間同步.其基本原理可用圖1說明.

衛(wèi)星A（B）在其鐘面時刻tAt（tBt）發(fā)射測距幀信號，在tAr（tBr）時刻接收到對方衛(wèi)星測距幀信號.其他參數(shù)定義為:①ρA為A衛(wèi)星接收B衛(wèi)星信號處理解算出來的偽距（基本觀測量，時間單位）;②ρB為B衛(wèi)星接收A衛(wèi)星處理解算出來的偽距（基本觀測量，時間單位）;③τAB（τBA）為測距信號在A星與B星（B星與A星）的天線相位中心之間的幾何傳輸時延;④Δt為A星與B星發(fā)射（接收）測距信號時兩星之間的鐘差;⑤τAt，τAr，τBt，τBr分別為A星發(fā)射設(shè)備和接收設(shè)備的時延與B星發(fā)射設(shè)備和接收設(shè)備的時延.分析過程中以測距信號傳播時延關(guān)系來推導(dǎo)測距衛(wèi)星天線相位中心之間的幾何距離，當(dāng)忽略各種測量誤差時，顯然有

圖1 DOWRT法的時空分析圖

如圖1b所示，由于衛(wèi)星運動，測距信號在A星與B星（B星與A星）的天線相位中心之間的幾何傳輸時延τAB（τBA）不同.R為信號發(fā)射時刻衛(wèi)星A，B天線相位中心之間的幾何距離矢量，vAlos，vBlos為衛(wèi)星A，B速度在它們幾何距離矢量上的投影，根據(jù)經(jīng)典運動學(xué)原理有

由式（1）、式（2）可以得到經(jīng)典理論下動態(tài)衛(wèi)星間距離與時間同步測量的解耦方程:

2 DOWRT的廣義相對論效應(yīng)與修正

經(jīng)典的牛頓理論認為同時性是瞬時的、絕對的，亦即慣性系中不同地點發(fā)生的事件都可以在一個時間軸上（用一只鐘）給予記錄.但是相對論理論認為（假設(shè)）:①光的傳播速度不滿足疊加性，光速恒定不變;②愛因斯坦同時性，即利用光信號將發(fā)生在不同地點的事件的時間維聯(lián)系起來［6－8］.狹義相對論解決了相互做勻速運動的慣性系中時空度量的問題，廣義相對論解決的是在任意慣性系之間時空度量的問題.經(jīng)典理論中測量精度為10－8，不能滿足高精度測量的要求.

在廣義相對論中，時空坐標系是由與物質(zhì)分布及引力場等有關(guān)的度規(guī)張量gαβ定義的，時空中四維不變弧元ds2表示如下［8］:

時空的測量與度規(guī)張量gαβ的選取有關(guān)，事實上，很難嚴格給出某一坐標系下度規(guī)的完整表達形式.

在地心非旋轉(zhuǎn)坐標系下，采用1991年IAU第21次大會決議A4推薦的后牛頓精度近似下（c－2的精度對星間距離測量與時間同步而言已經(jīng)足夠）的時空度規(guī):

其中，U為地球的牛頓引力勢和太陽等外部天體的引潮力之和;δij為科羅內(nèi)克符號.

測距與時間同步的基礎(chǔ)是測時，即前述問題的本質(zhì)是對時間的計量.不同地點的時鐘比對，除了與同時性的定義有關(guān)以外，還與信號的傳播時延有關(guān).式中的偽距觀測值ρA，ρB就是接收衛(wèi)星鐘面時tAr（tBr）與發(fā)射衛(wèi)星鐘面時tBt（tAt）的比對（求差）.

在廣義相對論框架下，形如式的通過無線電進行時間比對（求差）的問題，必須對相對論效應(yīng)進行修正，即

其中，δBA（δAB）是測距信號由衛(wèi)星A到衛(wèi)星B（衛(wèi)星B到衛(wèi)星A）的相對論效應(yīng)修正項，它們主要表現(xiàn)為引力時延.根據(jù)式（4）～式（6）且只考慮地心引力項，可以得出如下的表達式（皮秒量級）:

其中，RBA（RAB）表示由衛(wèi)星B指向衛(wèi)星A（衛(wèi)星A指向衛(wèi)星B）的幾何距離矢量;vA（vB）和aA（aB）分別表示衛(wèi)星A（B）在地心非旋轉(zhuǎn)坐標系下的速度和加速度矢量;rA（rB）則表示衛(wèi)星A（B）到地心的距離值;GM為地心引力常數(shù).因為近似過程只考慮了地心引力影響，所以只有在地球附近2×105km的范圍內(nèi)式（7）、式（8）才有效.

式（7）、式（8）中，等號右邊第1項，在地心地固坐標系中表現(xiàn)為Sagnac效應(yīng)，在星間時鐘比對中影響量級為102ns;第2項中衛(wèi)星的加速度項的影響很小可以忽略.第3項為引力勢項，并且有

而且根據(jù)圖1有 RAB≈R，RBA≈－R，所以式（7）、式（8）可以近似表達為

需要說明的是，廣義相對論框架中式中的τBA，τAB稱為幾何時延，且有

這樣結(jié)合式（6）、式（10）、式（11）就可以得到動態(tài)下進行了相對論效應(yīng)修正（后牛頓精度下）的衛(wèi)星間測距與時間同步解耦方程:

3 數(shù)值仿真分析

文獻［9］給出了相對論效應(yīng)對衛(wèi)星時鐘的影響.表1中摘錄了4種衛(wèi)星的相對論效應(yīng)中影響量級較大的Sagnac效應(yīng)典型值.其中第3行給出按式（7）、式（8）中等式右邊第1項計算的Sagnac效應(yīng)值.可見通過式（7）、式（8）計算的Sagnac效應(yīng)值與典型值基本吻合.

表1 Sagnac效應(yīng)典型值與計算值比較

下面通過仿真對比分析LEO衛(wèi)星編隊間和導(dǎo)航星座衛(wèi)星間DOWRT法測量中的相對論效應(yīng)引起的誤差.假設(shè) LEO衛(wèi)星編隊軌道高度約240 km，基線長度約370 km;導(dǎo)航星座由24顆MEO（Medium Earth Orbit）衛(wèi)星（Walker24/3/2）、3顆GEO（Geostationary Earth Orbit）衛(wèi)星和3顆IGSO（Inclined Geosynchronous Orbit）衛(wèi)星組成，其中MEO衛(wèi)星軌道高度為24126km，GEO/IGSO衛(wèi)星軌道高度35 780 km.并忽略接收機測量誤差、原子鐘變化誤差、測量設(shè)備延時誤差、天線相位中心的偏差.

圖2、圖3為LEO衛(wèi)星編隊間和導(dǎo)航星座中MEO衛(wèi)星間DOWRT法中相對論效應(yīng)引起的誤差.結(jié)果表明:對低軌短基線編隊飛行的衛(wèi)星而言，相對論效應(yīng)對DOWRT法測量的影響較?。ň嚯x測量誤差為米級、時間同步誤差為亞納皮級），而在導(dǎo)航星座中MEO衛(wèi)星間的距離測量誤差為百米級、（異軌中）時間同步誤差為微秒級.可見，衛(wèi)星的軌道高度和星間的相對距離決定著相對論效應(yīng)誤差的量級.

圖2 LEO衛(wèi)星編隊星間測量相對論效應(yīng)誤差

圖4為導(dǎo)航星座中MEO與GEO（IGSO）衛(wèi)星測量的相對論效應(yīng)誤差分析.由圖可知，相對論效應(yīng)對不同軌道高度衛(wèi)星MEO與GEO（IGSO）衛(wèi)星間的距離測量引起百米量級的誤差，引起的時間同步測量誤差為微秒量級.

圖4 導(dǎo)航星座中MEO與GEO（IGSO）衛(wèi)星間測量的相對論效應(yīng)誤差

4 結(jié)論

本文通過研究與分析相對論效應(yīng)對DOWRT法測量的影響，得到了以下結(jié)論:①相對論效應(yīng)引起的誤差與測距衛(wèi)星相對距離和在此距離方向上的速度投影有關(guān);②衛(wèi)星的軌道高度和星間相對距離決定了相對論效應(yīng)引起的誤差量級;③相對論效應(yīng)對短基線LEO衛(wèi)星編隊距離測量產(chǎn)生的誤差為米級、時間同步誤差為亞皮秒級，但在導(dǎo)航星座中，相對論效應(yīng)引起的距離測量誤差為百米級、時間同步誤差為微秒級.

綜上，為實現(xiàn)導(dǎo)航星座衛(wèi)星間的高精度DOWRT，必須考慮相對論效應(yīng)的影響，并按修正公式進行解耦計算.

（References）

［1］李雪，張其善，徐勇，等.AFF組網(wǎng)通信與測距/時間同步的新體制研究［J］.通信學(xué)報，2008，29（5）:81－87

Li Xue，Zhang Qishan，Xu Yong，et al.New techniques of intrasatellite communication and ranging/time synchronization for autonomous formation flyer［J］.Journal on Communications，2008，29（5）:81－87（in Chinese）

［2］Jeongrae Kim.Measurement time synchronization for a satelliteto-satellite ranging system［C］//International Conference on Control，Automation and Systems.Seoul，Korea:［s.n.］，2007:190－194

［3］鐘興旺，陳豪.衛(wèi)星運動對星間雙向法時間同步的影響分析與校正［J］.中國空間科學(xué)技術(shù)，2007，6（12）:54－58

Zhong Xingwang，Chen Hao.Analysis and correction techniques of movement influence on inter-satellite two-waytime transfer［J］.Chinese Space Science and Technoigy，2007，6（12）:54－58（in Chinese）

［4］Ananda M P，Bernstein H，Cunningham K E，et al.Global positioning system（GPS）autonomous navigatio［C］//Position Location and Navigation Symposium，1990.Record.The 1990's-A Decade of Excellence in the Navigation Sciences.Las Vegas，NV，USA:［s.n.］，1990:497－508

［5］黃飛江，盧曉春，吳海濤，等.基于星間距離變化的動態(tài)雙向時間同步算法［J］.武漢大學(xué)學(xué)報:信息科學(xué)版，2010，1（1）:13－16

Huang Feijiang，Lu Xiaochuan，Wu Haitao，et al.An algorithm of dynamic two-way time transfer based on inter-satellite range variation［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2010，1（1）:13－16（in Chinese）

［6］劉利.相對論時間比對理論與高精度時間同步技術(shù)［D］.鄭州:解放軍信息工程大學(xué)測繪學(xué)院，2004

Liu Li.Relativistic theory of time transfer and techniques of clock synchronization［D］.Zhengzhou:School of Geodesy and Geomatics，The PLA Information Engineering University，2004（in Chinese）

［7］韓春好.相對論框架中的時間計量［J］.天文學(xué)進展，2002，20（6）:107－112

Han Chunhao.Time measurement within the framework of relativity［J］.Progress in Astronomy，2002，20（6）:107 －112（in Chinese）

［8］Gernot M R Winkler.Synchronization and relativity［J］.Proceedings of the IEEE，1991，79（6）:1029－1039

［9］Francis S，Stein S，Celano T，et al.Analytical tools for clock in space［C］//Proceedings of the 2003 IEEE International Frequency Control Symposium and PDA Exhibition/Jointly with the 17 th European Frequency and Time Forum.Tampa，F(xiàn)lorida USA:IEEE，2003:312－316

Analysis and correction on relativistic effect of inter-satellites using dual one-way ranging/time synchronization

Sun Wenchao Chang Qing Xu Yong Qi Wei
（School of Electronics and Information Engineering，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China）

The calculation of dual one-way ranging/time synchronization（DOWRT）between dynamic satellites was analyzed.In addition，relativistic effect on ranging/time synchronization was presented.A calculation with relativistic correction of DOWRT was proposed.Measurement errors of ranging/time synchronization in low earth orbit（LEO）formation constellation and in navigation constellation caused by relativistic effect were simulated and comparatively analyzed.Simulation results demonstrate that when inter-satellite DOWRT method is adopted，ranging measurement and time synchronization errors during LEO formation flying caused by relativistic effects are in meter-scale and sub-picosecond level respectively，while in navigation constellation measurement，the corresponding errors would be in hundred-meter scale and microsecond level.As a result，relativistic correction should be included in order to realize high-precision ranging and time synchronization measurement between navigation satellites.

dual one-way ranging/time synchronization（DOWRT）;navigation constellation;inter-satellite links;error analysis;general relativity

TN 927;TN 961

A

1001-5965（2012）03-0335-05

2010-11-30;< class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時間:

時間:2012-03-09 10:37

www.cnki.net/kcms/detail/11.2625.V.20120309.1037.017.html

國家自然科學(xué)基金資助項目（60872062）;國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃（“863”計劃）資助項目（2007AA12Z336，2009AA12Z313）;航天科技重點創(chuàng)新基金資助項目（2009-06）

孫文超（1986－），男，天津人，碩士生，wenchao35092207@yahoo.com.cn.

（編 輯:婁 嘉）