陳輝金，黃喜軍

(桂林電子科技大學1.教學實踐部;2.電子工程與自動化學院，廣西 桂林 541004)

在“數(shù)字信號處理”課程中，一般是利用公式對圓周卷積進行求解的[1-3]。該方法雖然物理概念清晰但運算較復雜，費時又易出錯。文獻[4，5]中對豎式法求解卷積和進行了詳細的討論，該方法直觀簡便，且計算時采取“由左至右”與“由右至左”兩種不同運算順序，結(jié)果是一致的。筆者借鑒豎式法并稍作變化進行圓周卷積的計算，并就不同順序時的運算結(jié)果進行了討論。

1 公式法求解圓周卷積

以序列 x[n]={1，2，0，1}和 h[n]={2，2，1，1}(0≤n≤3)為例，運用圓周卷積的公式求解序列的4點圓周卷積。根據(jù)圓周卷積的定義:

其中，h[〈n－m〉4]表示序列 h[n]的4 點圓周移位。

根據(jù)上式可得

由此可得，x[n]和 h[n]的4點圓周卷積結(jié)果為 yc[n]={6，7，6，5}，0≤n≤3。從以上過程可以看出，圓周卷積的求解運算較復雜，也容易出錯。

2 豎式法求解圓周卷積

2.1 按“由左至右”順序求解圓周卷積

豎式法是將兩個序列寫成豎式相乘的形式，再進行相乘與相加運算，運算簡便而不易出錯。仍以上述序列為例，按“由左至右”順序求解x[n]和h[n]的4點圓周卷積。

如圖1所示，x[n]和 h[n]寫成豎式相乘的形式，按“由左至右”順序相乘，并注意對齊坐標。根據(jù)圓周移位的特點，將虛線以右部分的數(shù)據(jù)整體向左平移4位，即左側(cè)三角框內(nèi)的斜體數(shù)字為右側(cè)三角框內(nèi)的數(shù)字經(jīng)平移4位得到，然后將虛線以左部分的數(shù)據(jù)相加，由此得到的圓周卷積結(jié)果為yc[n]={6，7，6，5}，0≤n≤3。這一結(jié)果與利用公式直接計算得到的結(jié)果一致。

圖1 堅式法“由左至右”求解圓周卷積

2.2 按“由右至左”順序求解圓周卷積

這種求解方法如圖2所示。先將x[n]和h[n]寫成豎式相乘的形式，按“由右至左”順序相乘。然后將虛線以左部分的數(shù)據(jù)整體向右平移4位。即圖2中右側(cè)三角框內(nèi)的斜體數(shù)字為左側(cè)三角框內(nèi)的數(shù)字經(jīng)平移4位得到。然后將虛線以右部分的數(shù)據(jù)相加，得到的圓周卷積結(jié)果為{5，6，7，6}，但此時對應的坐標n=3，0，1，2。也即序列須以第2個數(shù)據(jù)作為n=0時刻的值。

圖2 豎式法“由右至左”求解圓周卷積

因為序列x[n]和 h[n]中 n=0時刻的值經(jīng)相乘與平移操作后，對應于圓周卷積結(jié)果中的數(shù)字“6”，即為圖2中帶有下劃線的數(shù)字。所以，按“由右至左”順序求解x[n]和h[n]的4點圓周卷積結(jié)果仍為 yc[n]={6，7，6，5}，0≤n≤3。若直接把運算結(jié)果{5，6，7，6}作為圓周卷積的結(jié)果是不正確的，把運算結(jié)果按“由右至左”進行讀取作為圓周卷積的結(jié)果也是不正確的。雖然此例中的數(shù)值結(jié)果似乎一致，換為其他數(shù)值進行運算，如將h[n]設為{1，2，3，1}進行計算，按“由右至左”進行讀取的結(jié)果就不一致。所以，利用豎式法按“由右至左”順序進行圓周卷積的計算時，不能簡單地把運算結(jié)果按“由左至右”或“由右至左”進行讀取作為圓周卷積的結(jié)果。

通過以上的求解過程可以看出，豎式法是求解圓周卷積的一種直觀簡便的方法，雖然兩種順序?qū)慕Y(jié)果看似不同，其實卻是一致的，只需將“由右至左”獲得的運算結(jié)果向左平移1位即可，只是此時的移位為圓周移位而已。當然，按“由左至右”的順序進行運算的豎式法更易為初學者掌握。

3 結(jié)語

本文提出的用豎式法進行圓周卷積的計算，方法簡單且不易出錯。筆者對兩種不同運算順序的豎式法進行了討論，得出按“由左至右”的順序進行運算的豎式法更容易被初學者掌握的結(jié)論。當然，兩個序列的圓周卷積滿足一定條件時(即兩序列長度之和減1以后小于等于圓周卷積的長度)，線性卷積與圓周卷積結(jié)果一致，而圓周卷積的計算可以通過FFT運算獲得，所以最終可以通過FFT求出線性卷積。因此，在理解圓周卷積的作用后，不必在課堂教學中過多討論圓周卷積的各種計算方法。

[1]陳后金，胡健，薛健.《數(shù)字信號處理》[M](第2版).北京:高等教育出版社，2008

[2]Sanjit K.Mitra.《Digital Signal Processing:A Computer-Based Approach》[M](Third Edition).BEIJING:Publish House of Electronics Industry，2006

[3]Vinay K.Ingle，John G.Prokis.《Digital Signal Processing Using MATLAB》[M].BEIJING:Science Press，2003

[4]黎明.探討卷積和的求解方法[J].北京:北京工商大學學報，2005，23(2):49-51

[5]李昌利.有限長序列卷積和求解法[J].南京:電氣電子教學學報，2008，30(1):45-47