張春英，劉璐，歐陽東

(1.河北聯(lián)合大學 理學院，河北唐山 063009;2.河北聯(lián)合大學輕工學院，河北唐山 063009)

0 引言

認知圖(cognitive map，CM)［1］是表示和推理系統(tǒng)中概念間因果關(guān)系的圖模型。Kosko在1986年在Axelord認知圖概念間的因果關(guān)系中引入模糊測度，提出了模糊認知圖(fuzzy cognitive map，F(xiàn)CM)［3］，用于概念間模糊因果關(guān)系的表達與推理。我國學者駱祥峰［5］在2003年首次在概念間的因果關(guān)系中引入條件概率測度，提出概率模糊認知圖模型，該模型具有簡單、魯棒性好、實用等特點，具有比FCM模型對現(xiàn)實世界更為真實的模擬能力。然而，模糊認知圖和概率模糊認知圖僅從單個方面考慮，認為概念間的關(guān)系是唯一的，并且常常用一個固定的由專家主觀確定的模糊測度來反映。但是現(xiàn)實中，兩概念間的關(guān)系往往是多種多樣的，并且具有相應(yīng)的屬性，因此用以表示概念間關(guān)系的邊會有多條，每條邊具有不盡相同的屬性權(quán)值，且權(quán)值隨著時間的變化、事件的發(fā)展而不斷變化。而在分析問題時，這些概念間的關(guān)系類的劃分是隨著人們的認識能力及具體要求的改變而改變的，這就涉及知識的分類及問題的表示，屬于不確定性問題中的粗糙問題。故此，本文將粗糙集［6］的思想融入到認知圖中，提出粗糙認知圖(Rough Cognitive Map，RCM)模型，粗糙認知圖可以將認知圖當中邊粗糙問題合理的轉(zhuǎn)化并解決，抽象出兩概念間的一個綜合關(guān)系，賦予權(quán)值，以完成認知圖的關(guān)系推理過程，并進行應(yīng)用研究。

1 基本概念

1.1 認知圖及模糊認知圖

認知圖是一種以圖形的描述形式表示復雜系統(tǒng)模型的因果關(guān)系的方法。它用節(jié)點和邊分別表示概念(concept)及概念間的因果關(guān)系(relations of concept)，是表示和推理系統(tǒng)中概念間因果關(guān)系的圖模型。

認知圖的定義為:

定義 一個基本CM的拓撲結(jié)構(gòu)是一個三元序組U=(V，E，W)，其中V={v1，v2，...vn}表示CM的概念節(jié)點集合，E={＜vi，vj＞|vi，vj∈V}是所有節(jié)點間的因果關(guān)聯(lián)有向弧。有向?。紇i，vj＞表示節(jié)點vi對vj有因果關(guān)聯(lián)或影響)，W={wij|wij是有向?。紇i，vj＞的權(quán)值}(即wij表示結(jié)點ci對cj的關(guān)聯(lián)或影響強度)。每個節(jié)點有一個狀態(tài)空間，(t)表示節(jié)點ci在t時刻的狀態(tài)值，(t)∈［－1，1］，其狀態(tài)值越大表示該概念的狀態(tài)越活躍。節(jié)點間有向連接弧對應(yīng)的權(quán)值wij∈－1，0，{ }1 ，表示概念間關(guān)系增加與減少兩種定性狀態(tài)。

模糊認知圖［3，4，7］把概念間的三值{－1，0，1}邏輯關(guān)系擴展為區(qū)間［－1，1］上的模糊關(guān)系。其概念值為模糊值，也可以為二值，反映該節(jié)點對某概念以某種程度發(fā)生或表示概念狀態(tài)是關(guān)還是開。概念間的因果關(guān)系是模糊關(guān)系，其聯(lián)系強度也為模糊值。概念節(jié)點的輸出與兩種類型水平有關(guān)，即概念節(jié)點自身的狀態(tài)水平與外部因果聯(lián)系的強度。通過整個網(wǎng)絡(luò)中各概念節(jié)點的相互作用來模擬系統(tǒng)行為，是一種無監(jiān)督模型(unsupervised models)。

FCM推理的數(shù)學模型為:

式中Vci(t)為原因概念結(jié)點ci在t時刻的狀態(tài)值，Vcj(t)為結(jié)果概念結(jié)點cj在t+1時刻的狀態(tài)值，w為與cj有鄰接關(guān)系的概念結(jié)點集合，f為閾值函數(shù)(threshold function)，可以是二值的、S型的、模糊集合或概率函數(shù)。

1.2 粗糙集理論

設(shè)U是非空有限論域，R是U上的二元等價關(guān)系，R稱不可分辨關(guān)系，序?qū)=U，()R稱為近似空間。U/R是U上由R生成的等價類全體，它構(gòu)成了U的一個劃分。U上的一族劃分稱為關(guān)于U的一個知識庫(knowledge base).令X?U，R為U上的一個等價關(guān)系。當X能表達成某些R基本范疇的并時，稱X是R可定義的，否則，稱X是R不可定義的。R可定義集也稱為R精確集，而R不可定義集稱為R粗糙集［6］(Rough Set)。

令知識庫K=U，()R，集合X?U，R是一個等價關(guān)系:

由等價關(guān)系R定義的集合X的近似精度如下:

粗糙集是刻畫不確定性問題的一種手段，它在數(shù)據(jù)庫知識發(fā)現(xiàn)、數(shù)據(jù)挖掘等領(lǐng)域都得到廣泛的發(fā)展。它的特點是:無需借助于數(shù)據(jù)以外的先驗信息就可對數(shù)據(jù)進行比較客觀的處理。因此用粗糙集的思想能更客觀的分析系統(tǒng)，具有較深刻的意義。

2 粗糙認知圖

2.1 粗糙認知圖定義

定義2 給定集合G={e1，e2，…em} ，頂點集V={v1，v2，…vn}。若賦予頂點屬性后的邊組成集合E=∪ek＜vi，vj＞，則稱E是G的邊集。稱G=(V，E)是圖，其中=m分別為頂點和邊的個數(shù)。

2.2 粗糙認知圖概念間權(quán)重的確定

邊精度aR(T)用來反映人們對粗糙圖T邊集知識了解的完全程度。

由上述粗糙認知圖的定義可知，兩概念間存在有限多條邊，并每條邊都具有屬性權(quán)值，基于認知圖的應(yīng)用，我們必須抽象出兩概念間的一個綜合關(guān)系，并賦予權(quán)值，以完成因果關(guān)系推理，基于此，我們給定:

通過邊界域與上下近似之間的關(guān)系，經(jīng)整理得:ρij=λ+(1－λ)aR(T)

3 粗糙認知圖模型

3.1 粗糙認知圖時間模型(Rough Cognitive Map Time Model，RCMTM)

認知圖及模糊認知圖理論參見文獻［7～14］。從這些文獻可以看出，雖然FCM具有較多的優(yōu)點，但它不能表示概念間的多種關(guān)系及關(guān)系測度對概念狀態(tài)值的動態(tài)依賴關(guān)系，也不能表示概念間因果關(guān)系測度的不確定性。如圖1所示，概念1與概念2之間的關(guān)系是多種多樣的，概念自身的狀態(tài)在變化，概念間的關(guān)系也是變化的。因此，其影響結(jié)果和程度肯定也會不同，從模糊認知圖的角度出發(fā)考慮概念間的關(guān)系是不符合分析實際的。

圖1

Eugene等證明了若在環(huán)中加入時間的方向性，則環(huán)中各概念就不會出現(xiàn)相互依賴關(guān)系［15］。Stylios等在Kosko的模糊認知圖模型中引入時間變量，為粗糙認知圖奠定了理論基礎(chǔ)［12～14］。

Stylios提出的具有時間及記憶狀態(tài)的FCM可以表示為:

式中，Vcj(t)為概念cj在時間t的狀態(tài)值，γ為上一時刻狀態(tài)值對下一時刻時間狀態(tài)值的影響因子。

如果用近似精度ρij來代替式(2)中的wij，即得到我們提出的具有記憶功能與動態(tài)特性的粗糙認知圖時間模型(Rough Cognitive Map Time Model，RCMTM):

式中，隨著時間得變化，通過等價關(guān)系Rij劃分得到的等價類可能會發(fā)生變化，ρij隨之改變以反映兩概念間影響程度得大小。

對于圖1，用ρij可以很容易解決用FCM表示時存在的問題。由于在ρij中引入了時間項，ρij(t)不僅能表現(xiàn)出“概念1”與“概念2”間因果關(guān)系確定－不確定性，還能表現(xiàn)出這種因果關(guān)系的動態(tài)特性，并由不同關(guān)系集合X的確定，通過計算得出不同的ρij(t)值。因此，RCMTM不僅繼承了FCM的優(yōu)點，還自然擴展了FCM的應(yīng)用領(lǐng)域及模擬概念間關(guān)系的能力。

3.2 粗糙認知圖時空模型(Rough Cognitive Map Space-Time Model，RCMSTM)

粗糙認知圖時間模型建立了一個隨時間變化的動態(tài)因果關(guān)系。實際上，概念間的關(guān)系除了會隨著時間變化而變化外，往往與空間上概念的狀態(tài)也是有關(guān)系的。如果我們在考慮因果關(guān)系時間特性的基礎(chǔ)上，進一步考慮因果關(guān)系的空間特性，則得到粗糙認知圖時空模型(Rough Cognitive Map Space－Time Model，RCMSTM)。其數(shù)學模型為:

式(4)這種表達方法不僅解決了FCM存在的缺陷，使得認知圖不僅能處理概念間關(guān)系測度的不確定性，還對概念間因果關(guān)系的時空聯(lián)系加以有效的整合。如圖1中“概念1”對“概念2”的影響程度不僅與“概念1”的狀態(tài)有關(guān)，而且與“概念1”的積累狀態(tài)有關(guān)，表現(xiàn)為時間特性。同時影響程度還與空間上概念的狀態(tài)等有關(guān)，表現(xiàn)為空間特性。這樣就把關(guān)系測度的不確定性及聯(lián)系的時空特性有效的融入粗糙認知圖中，進一步擴展了粗糙認知圖。

4 RCM的性質(zhì)

定理2 (1)給定粗糙圖T，對任一屬性集R，都有0≤aR(T)≤1。

由以上定理可知，隨著人們對粗糙圖T邊集X的知識了解完全程度的不同，反映在圖中即為邊屬性集的豐富程度的不同，則邊精度也會不同，從而邊的綜合權(quán)重也不同。

設(shè)C，V分別表示RCM的所有概念及概念狀態(tài)值，R表示所有概念間具有直接因果關(guān)系的測度。

定理3(RCM概念間等價變換定理)

定理4 (RCM概念間動態(tài)測度等價關(guān)系定理)

在 RCM中若存在～Ci∈C，～Vi∈V，－ρij∈R，且ρij=λ+(1－λ)aR(T)，則－ρij(t)=1－ρij(t)。

上述兩個定理具有很重要的實際意義，它可從一個RCM得到一個新的RCM，能指導我們對一個新系統(tǒng)因果關(guān)系的認識，并能減少較多工作量。

5 結(jié)束語

本文介紹了認知圖模型和粗糙集的相關(guān)概念，為了克服認知圖和模糊認知圖的不足，本文提出了一種基于粗糙集理論的粗糙認知圖模型。具有以下三點貢獻:(1)肯定認知圖中兩概念間關(guān)系的多樣性，更好的模擬現(xiàn)實生活中存在的問題;(2)不僅能表現(xiàn)出概念間關(guān)系確定－不確定性，還能表現(xiàn)出關(guān)系的動態(tài)特性;(3)對概念間關(guān)系的時空聯(lián)系加以有效的整合;(4)針對認知圖和粗糙認知圖權(quán)值給定的主觀性這一缺陷，綜合邊精度客觀的給出兩概念間的綜合權(quán)重，使得粗糙認知圖與模糊認知圖相比計算量減小、復雜度降低。

關(guān)于粗糙認知圖的研究目前尚處于探索階段，還未形成相應(yīng)的理論體系和系統(tǒng)的設(shè)計方法，存在許多的問題有待進一步研究與探索。

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