肖 鯤 王莉娜 M.Khurram Shahzad

（北京航空航天大學自動化科學與電氣工程學院 北京 100191）

1 引言

現代航空技術的總趨勢是發(fā)展多電和全電飛機。多電和全電飛機電源體制的主流趨勢是采用大容量變速變頻交流發(fā)電技術，產生360～800Hz變頻交流電[1]。靜態(tài)無功補償器、有源電力濾波器、背靠背變換器及矩陣變換器等系統(tǒng)的網側電路由可控功率器件組成，實時頻率信息是實現功率器件開關控制、參考坐標變換、有功功率和無功功率計算的重要基準。因此，為保證機載電氣設備正常工作，航空電源頻率的高精度與實時檢測至關重要。

目前，國內外已提出多種頻率檢測算法檢測電力系統(tǒng)頻率。過零檢測法[2]的原理是通過檢測過零點的時間差來計算頻率，計算量小，方法簡單，但動態(tài)性能較差，且對直流分量和噪聲干擾敏感，檢測的精度不佳。Prony檢測法[3,4]是使用指數函數的線性組合來描述等間距采樣數據的數學模型，缺點是算法所需的復數乘法和求解二元方程計算量大，硬件實現困難，且對信噪比的要求較高。卡爾曼濾波法[5]對離散隨機動態(tài)過程及其噪聲進行變換，在協(xié)方差最小的原則下遞推估計狀態(tài)矢量，但由于受到算法飽和現象的限制，當系統(tǒng)參數發(fā)生變化時，需重置協(xié)方差矩陣，算法較復雜。鎖相環(huán)（Phase Locked Loop,PLL）檢測法[6,7]通過坐標旋轉提取dq軸分量，以相位為反饋量對q軸分量進行零值跟蹤，動態(tài)性能較好，但是PI調節(jié)器需精心設計，且系統(tǒng)穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)誤差易受所選參數影響。離散傅里葉變換（DFT）在頻率檢測中得到了廣泛應用，但只能用于整數次諧波，由于采樣點數的限制，出現頻譜泄露和柵欄效應[8]。另外，電力系統(tǒng)的頻率檢測法還有最小二乘法[9]、多信號分類（Multiple Signal Classification,MUSIC）算法[10]和自適應陷波（Adaptive Notch Filter,ANF）算法[11]等。

本文推導了加漢寧窗后基波頻率與3條離散譜線幅值的數值關系，提出基于三線DFT的航空電源頻率檢測算法。該方法克服了DFT的柵欄效應，實現寬范圍連續(xù)頻率檢測。結合電力系統(tǒng)特點分析了無主瓣幅值頻譜泄露的參數選擇方法，并在雙級矩陣變換器實驗樣機上實現該算法。仿真和實驗結果表明了算法的有效性。

2 三線DFT算法數學模型

圖1 時域信號傅里葉分析過程Fig.1 Process of Fourier analysis in time domain

設時域下連續(xù)信號為

式中，V為時域信號有效值；fF為基波頻率。

對連續(xù)時域信號離散化采樣，采樣時間間隔為Ts，采樣點數為N，則離散序列為

對離散序列加窗，考慮窗函數的主瓣寬度和相對旁瓣幅值，選用漢寧窗

加窗后的離散信號為

對式（4）進行DFT，得

圖2 加窗對幅度譜影響示意圖Fig.2 Sketch of amplitude spectrum after windowing

從圖2中可以看出，如果時域信號為fF、2fF、3fF等頻率分量的合成，其無限長序列的頻域分析結果應為fF、2fF、3fF等頻率處的離散譜線，其余頻率處譜線幅值為零。但由于對無限長序列的截斷和加窗的影響，fF、2fF、3fF等頻率分量的主瓣幅值沿虛線擴展（旁瓣幅值未畫出），其中基波頻率fF主瓣幅值沿虛線擴展到離散頻率f0、f-1和f1上。如果能夠根據f0、f-1和f1三條離散譜線幅值確定主瓣中心位置，那么基波頻率fF即可得到。

式中，D[·]為中間函數

設a=A1/A0，b=A-1/A0，可以證明[12]

把式（7）代入fF=(k0+δ)df，得

傳統(tǒng)DFT只能得到N條離散譜線幅值，因存在柵欄效應，無法得到離散譜線間的頻譜信息。如提高頻率分辨率則需相應增加采樣點數，使DFT計算量大幅增加。

由式（8）可知，已知fF主瓣區(qū)域的3條離散譜線幅值，則可計算連續(xù)頻譜信息，得到基波頻率。該算法在保證加窗后各頻率分量主瓣互不重疊前提下，減少采樣點數N不影響對連續(xù)基波頻率的計算，計算量得以顯著減小。

3 頻率檢測算法與參數選擇

結合電力系統(tǒng)頻譜特點，把三線DFT算法應用于航空電源頻率實時檢測。采用旋轉坐標法計算3條離散譜線幅值，分析采樣參數和頻率初值取值方法，得到算法參數選擇步驟。

3.1 旋轉坐標法計算譜線幅值

設三相輸入電壓矢量為

為方便DFT，對其進行克拉克變換，得兩相坐標系下的電壓矢量為

式中，C為克拉克變換矩陣

兩相坐標系下的電壓矢量vαβ(t) 亦可用復數表示

式中，V為矢量幅值；ej2πft為旋轉算子；Vej2πft表示矢量以ω=2πf的角速度在復平面旋轉。如對vαβ(t)進行旋轉坐標轉換，乘以旋轉算子e-j2πft，在角速度為ω=2πf的旋轉坐標系下觀察，vαβ(t)為靜止矢量，即直流量

實際的電源波形可分解為基波和m(m=2,3,…)次諧波的合成，基波和m次諧波分別以頻率f=fF和f=mfF在復平面上旋轉，可用復序列表示為

同上述，采用旋轉坐標法，分別對加窗后序列vαβ[n]乘以旋轉算子e-j2πf0nTs、e-j2π(f0-df)nTs和e-j2π(f0+df)nTs，即在頻率分別為f、f和f的旋轉

0-11坐標系上觀察，A0、A-1和A1應為靜止譜線幅值，為直流量。由式（5）可知，當k為零時，可得直流量

采用旋轉坐標法求取離散譜線幅值，物理概念清晰，坐標旋轉后只需執(zhí)行加法運算。其優(yōu)點體現在：一方面，直接進行DFT時每次采樣需計算N次與旋轉算子的復數乘法，而旋轉坐標法每次采樣只需計算1次復數乘法，后續(xù)計算可直接引用結果，計算量得到顯著減??；另一方面，直接進行DFT，fF估計值只能取特定離散頻率kdf處，而旋轉坐標法可根據對fF的估計值任選旋轉頻率，不受特定頻率限制。

3.2 參數選擇

三線DFT的頻率檢測算法，需選擇的參數有采樣時間間隔Ts、采樣點數N、頻率分辨率df及頻率估計初值f0。

Ts的取值參照乃奎斯特采樣定律。采樣時間間隔Ts=1/fs，其中fs為采樣頻率。根據乃奎斯特采樣定律，fs為信號頻率的兩倍以上，則不會產生混疊現象。一般的航空電力變換器控制器中，fs與脈寬調制（PWM）頻率（5～20kHz）一致，比基波頻率高一個數量級，滿足奎斯特采樣定律，fs取PWM頻率即可。

N的取值大小需謹慎權衡多方面因素：N的取值越大，窗函數的主瓣越窄，發(fā)生泄漏越弱，譜線幅值精度越高，但相應的算法運算量也越大，影響算法的實時性；相反，N的取值較小，窗函數的主瓣加寬，基波和諧波的譜線幅值可能相互發(fā)生泄漏，甚至無法分辨，但是算法的計算量會相應減?。h寧窗的最大旁瓣幅值相對主瓣為－31dB，其幅值較小，文中忽略旁瓣的影響）。為使頻域下各譜線的主瓣互不重疊，主瓣寬度應小于頻域下相鄰譜線頻率差值，即flobe＜ΔfT；對于漢寧窗，主瓣寬度flobe=4/(NTs)。電源系統(tǒng)中無偶次諧波，相鄰譜線頻率差為2倍的基波頻率，可得主瓣互不重疊的條件為

頻率分辨率df=1/(NTs)，由式（8）可知，df越大，算法的頻率檢測范圍越大。算法中假定f0是距fF最近的頻率值，可知頻率檢測范圍為

在滿足乃奎斯特采樣定律和不發(fā)生泄漏的前提下，N和Ts盡量取較小值，可得較大df值，使算法具有較大的頻率檢查范圍。

f0是距fF最近的離散頻率值，其對應的譜線A0應為三條譜線中最大。在航空電源系統(tǒng)中，f0的取值可根據過零點檢測大致估計其初值，如按旋轉坐標法計算A0、A-1和A1后，A0不為最大值，可增加（A1最大）或減少（A-1最大）f0，進行迭代計算，直至A0最大。由式（16）可知，改變f0的步長為df/2，迭代的頻率檢測范圍既不重復，又無遺漏，因此具有最高效率。

綜上所述，三線DFT的頻率檢測算法參數選擇步驟如下：

（1）由控制器的采樣頻率fs確定Ts=1/fs，fs一般可滿足乃奎斯特采樣定律。

（2）由式（15）確定N的最小值。

（3）估計f0初值，采用步長為df/2的迭代法計算A0、A-1和A1三條譜線幅值，直至A0為最大值。

采用所選參數，對航空電源頻率的實時檢測的軟件框圖如圖3所示。三相采樣電壓值經克拉克變換后變?yōu)棣力伦鴺讼迪碌男蛄校謩e對其進行f0、f-1和f1的坐標旋轉，求和得到A0、A-1和A1的譜線幅值，最終利用式（8）得到基波頻率fF。每次采樣后對序列進行先入先出（FIFO）數據更新，只需進行一次旋轉算子的復數乘法運算。頻率檢測中，一旦A0不為三條譜線中的最大值，執(zhí)行迭代，直至A0為最大值，保證算法正確執(zhí)行。

圖3 三線DFT頻率檢測算法軟件框圖Fig.3 Diagram of frequency estimation based on 3-line DFT

4 仿真與實驗驗證

4.1 與PLL算法仿真對比

使用Matlab搭建仿真模型，把文中算法與PLL算法進行對比。PLL算法在理想電源系統(tǒng)下，采樣結果雖尚好，但在含有諧波時，采樣性能有所下降。而一般實際系統(tǒng)中均含有諧波，因此仿真該條件下的航空電源參數：設置電源基波幅值為115V，電源頻率變化范圍為360～800Hz，各次諧波相對基波幅值如下表所示。三線DFT算法中，采樣頻率fs為10kHz，由式（15）得N的最小值為55.5，取N=60，因此頻率分辨率df為167Hz。由式（16）可知，該算法的頻率檢測范圍為。分別對電源頻率的階躍變化和斜坡變化進行仿真。

表 仿真模型中電源諧波參數Tab.Parameters of power source in simulation module

圖4為三線DFT算法的階躍響應，電源的初始頻率為400Hz，在0.15s處突加10Hz的階躍量。f0的初始值設為430Hz。由圖4仿真結果可見，算法的檢測值對實際頻率的跟蹤較好，無超調和振蕩，延遲約為8ms，穩(wěn)態(tài)誤差小于0.1Hz。

圖4 三線DFT算法階躍響應Fig.4 Step response of frequency estimation based on 3-line DFT

圖5 為三線DFT算法的斜坡響應，電源的頻率斜坡變化率為100Hz/s，初始頻率為400Hz，在0.15s加斜坡信號。從圖中可以看出，檢測值對實際值的跟蹤有延遲，該延遲約為6ms。產生延遲的原因是算法中需對長度為N的序列進行DFT，序列對變化信號的更新將有N個采樣時間間隔的延遲?？梢?，減小參數N的選取不僅可以減小算法的計算量，同時可以減小頻率檢測的延遲時間，提高算法的響應帶寬。

圖5 三線DFT算法斜坡響應Fig.5 Ramp response of frequency estimation based on 3-line DFT

在電源參數設置相同的仿真條件下，對比PLL算法性能。PLL的仿真模型框圖如圖6所示。對電源的三相電壓進行采樣，采樣頻率為10kHz，經克拉克變換和帕克變換后，得到dq坐標下的電壓矢量，設置q軸的參考值為零，經PI調節(jié)器和積分環(huán)節(jié)得到旋轉矢量的角度，作為帕克變換的反饋量，實現對旋轉矢量的相位跟蹤。積分環(huán)節(jié)前端，即為頻率量，經過低通濾波器后得到頻率檢測值。

圖6 PLL算法仿真模型框圖Fig.6 Simulation diagram of PLL

圖7 為PLL算法的階躍響應，階躍條件與圖4相同。PLL算法的性能與PI參數的設置密切相關，圖7中的PI設置，檢測值無超調，響應時間約為12ms，存在明顯的穩(wěn)態(tài)誤差，誤差值約為±1Hz。產生穩(wěn)態(tài)誤差的原因為當僅存在基波矢量，q軸分量為零時，對應的d軸相位即為基波相位。但是如果存在諧波矢量，其旋轉速度與基波不同，矢量合成后將影響q軸分量大小，q軸分量為零時對應的d軸相位與基波相位將有偏差。因此，PLL算法對諧波較為敏感。圖8為PLL算法的斜坡響應，斜坡條件與圖5相同。同樣，受諧波分量影響，檢測結果存在約±1Hz的誤差。

圖7 PLL算法階躍響應Fig.7 Step response of PLL

圖8 PLL算法斜坡響應Fig.8 Ramp response of PLL

由仿真對比結果可以看出，三線DFT頻率檢測算法的階躍響應和斜坡響應性能優(yōu)于PLL算法，其具有較小的穩(wěn)態(tài)誤差和更快地階躍響應性能。由于選擇采樣點數N時已保證基波與諧波主瓣互不重疊，可極大地減弱諧波對檢測結果的影響，因此該算法對諧波干擾的抑制性較強。

4.2 實驗驗證

在雙級矩陣變換器樣機上對三線DFT算法進行驗證。三相電壓采樣頻率為5kHz，信號采樣通道中低通濾波器的截止頻率為2.1kHz，采樣點數N為30，df為167Hz。采用的電壓采樣傳感器為LV25-P，模-數轉換芯片MAX1308為8路同時采樣。在TMS320F2812 DSP芯片中實現三線DFT算法。

設定電源頻率分別為360Hz、400Hz、500Hz和800Hz時，檢測結果如圖9中由下到上曲線所示。f0初始值為500Hz，算法根據檢測頻率范圍不同進行步長為167Hz的迭代計算，對360～800Hz頻率范圍進行檢測。從圖9中可以看出，4組頻率檢測均有約4ms的響應時間。由于采樣序列初始值為空，檢測結果在開始階段有波動。進入穩(wěn)態(tài)后，在360Hz、400Hz和800Hz頻率下，穩(wěn)態(tài)誤差均約為±0.5Hz，而500Hz頻率下，穩(wěn)態(tài)誤差約為±0.3Hz?？梢?，如f0的選取與基波頻率相同，A-1和A1幅值相等，可消除采樣過程中的共模誤差，檢測結果會更加精確。

圖9 4種頻率下實驗結果Fig.9 Experiment result of 4-frequency estimation

圖10 為斜坡響應的檢測結果，有約±0.5Hz紋波，延遲約為3ms。與仿真結果相比，采樣點數N減小，延遲時間相應減??；實驗穩(wěn)態(tài)誤差比仿真結果稍大，可以認為是由電壓傳感器采樣誤差等非理想因素造成。對比實驗波形與仿真波形，結果基本一致。

圖10 斜坡頻率實驗結果Fig.10 Experiment result of ramp-frequency estimation

5 結論

（1）基于三線DFT的頻率檢測算法可實現對連續(xù)變化頻率的實時檢測，克服了柵欄效應。

（2）該算法采樣點數少，采用旋轉坐標法計算3個譜線幅值，與傳統(tǒng)DFT相比，計算量小且實時性強。

（3）按照文中方法選擇算法參數，無主瓣幅值泄露。迭代法估計頻率初值，可檢測360～800Hz頻率。

（4）仿真和實驗結果證明，該算法具有較高的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)精度。提高采樣精度并減少計算舍棄誤差，可使穩(wěn)態(tài)精度得到進一步提高。

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