王太勇，邢 元，李 琳，王品才

螺旋錐齒輪虛擬加工過程算法

王太勇1，邢 元1，李 琳1，王品才2

(1. 天津大學(xué)機械工程學(xué)院，天津 300072；2. 天津大學(xué)建筑設(shè)計研究院，天津 300072)

為了解決目前螺旋錐齒輪切削仿真中存在的仿真速度慢、精度低、過程不穩(wěn)定和缺乏獨立性等問題，以螺旋錐齒輪齒面成形過程為研究對象，運用“層片切割算法”進行三維實體幾何模型動態(tài)仿真以及三維切削實時仿真．該算法主要包括建立切削坐標系、刀具數(shù)學(xué)模型、刀具坐標系的轉(zhuǎn)換模型、層片分割模型、求交計算模型以及相鄰切削位置特征點的取舍模型．以此為基礎(chǔ)開發(fā)的螺旋錐齒輪虛擬加工軟件采用Windows作為開發(fā)平臺，以Visual C++6.0(VC)作為基礎(chǔ)編程語言，利用OpenGL圖形庫進行圖形顯示并將齒輪模型數(shù)據(jù)以規(guī)定格式輸出．經(jīng)驗證，該算法求交速度快、結(jié)果精確，相關(guān)開發(fā)軟件可靠準確．

螺旋錐齒輪；層片分割算法；虛擬加工

螺旋錐齒輪屬于復(fù)雜曲面零件的一種，設(shè)計和加工過程復(fù)雜，往往需要通過對切齒過程進行仿真來初步驗證所使用加工調(diào)整參數(shù)的合理性．同時，由切削仿真得到的精確幾何模型還可用于齒面接觸分析和有限元分析，進而在虛擬環(huán)境中確定所加工出的齒面是否滿足使用要求．目前，很多螺旋錐齒輪加工仿真系統(tǒng)均建立在已有三維造型仿真軟件基礎(chǔ)上[1-3]，增加了使用成本，降低了開放程度，且利用已有仿真軟件及仿真方法“加工”出的螺旋錐齒輪模型精度仍然較低，與實際加工得到的齒輪模型不一致，無法為后續(xù)的齒面接觸分析(TCA)等提供足夠精確的模型．已有的一些多軸數(shù)控仿真算法[4-11]也不適用于螺旋錐齒輪齒面成型仿真過程．雖然國外一些公司所開發(fā)的螺旋錐齒輪制造專家系統(tǒng)(GEMS系統(tǒng))已經(jīng)取得很大成果，建立了基于計算機網(wǎng)絡(luò)的一體化制造系統(tǒng)，但由于涉及到技術(shù)保密問題，公開發(fā)表的數(shù)控螺旋錐齒輪仿真系統(tǒng)資料很少．

為此，筆者針對目前螺旋錐齒輪切削仿真中存在的仿真速度慢、精度低、過程不穩(wěn)定和缺乏獨立性等問題，提出了基于“層片切割”的齒面成型過程仿真算法以實現(xiàn)螺旋錐齒輪虛擬加工過程，建立具有獨立環(huán)境和能夠真實模擬整個加工過程并得到精確齒面數(shù)據(jù)信息的仿真系統(tǒng)．

1 螺旋錐齒輪的層片分割算法

本文結(jié)合螺旋錐齒輪形狀特征和切削過程特點，采用“層片分割”算法進行刀具和輪坯的布爾運算．首先根據(jù)螺旋錐齒輪的幾何形狀，將其分割成有限相似的幾何特征，即分割特征集，再建立分割特征的數(shù)學(xué)模型，后續(xù)通過求解數(shù)學(xué)模型的方法得到齒面數(shù)據(jù)點信息，以實現(xiàn)虛擬加工．

利用層片分割法進行層面離散時需要考慮2個因素．一是毛坯形狀特征．它決定了層片分割方式．選擇一個好的分割方式可以簡化特征點的取舍過程，使特征點的取舍更加容易．二是毛坯加工區(qū)域．在進行求交計算前，先確定毛坯加工區(qū)域，再由加工區(qū)域確定層片分割范圍，可在很大程度上削減冗余計算，減小計算量，從而縮短計算時間．

以成形法銑削加工大輪和刀傾法銑削加工小輪為例，銑齒加工均采用具有直線刃銑刀盤來進行，簡化后的銑齒刀具的內(nèi)刀和外刀可被看作內(nèi)錐面和外錐面(見圖1)．加工時，刀具直線部分加工出齒輪嚙合面部分，頂端切削刃加工出齒輪的根錐面．在大輪和小輪加工過程中，沿齒輪錐面法向方向上的加工區(qū)域均為面錐和根錐之間的區(qū)域，因此可以在此區(qū)域內(nèi)對毛坯進行層片分割．如圖2所示，大輪加工區(qū)域為A點所在圓和B點所在圓之間的圓臺面，小輪加工區(qū)域為C點所在圓和D點所在圓之間的圓臺面．錐面層片分割結(jié)果如圖3所示．

圖1 簡化后的刀具模型Fig.1 Simplified cutting tool model

圖2 加工區(qū)域Fig.2 Cutting area

圖3 錐面層片分割結(jié)果Fig.3 Cone slicing results

為求得刀具直線刃部分加工出的嚙合面部分，首先將螺旋錐齒輪齒坯在面錐和根錐之間分解為一系列的圓臺面，然后在每個錐面上引出等角度間距的射線(見圖4)，射線方程為式(1)．將刀具與射線進行求交運算，所得交點即為嚙合齒面上的點(見圖5)，也就是說所有分割特征與刀具交點組成的點集構(gòu)成整個嚙合齒面．

式中：3α為射線所在錐面的壓力角；cR為射線所在圓錐面的上底面半徑；3u為射線上某一點距該射線上1z坐標為-L的點的距離；3θ為射線與1x軸的夾角.

圖4 錐面上射線Fig.4 Ray construction from cone

圖5 刀具與射線交點Fig.5 Intersection point of cutting tool and the ray from cone

為求得刀具底刃加工出的齒底部分，可在根錐面上引出垂直于錐面的一系列射線(見圖6)，刀具底刃與射線交點集組成齒底．其射線方程為

圖6 與根錐面垂直的直線生成Fig.6 Vertical ray construction from root cone

式中：3α為射線所在錐面的壓力角；cR為根錐面的上底面半徑；4u為射線的長度．

2 切削過程求交計算

在實際加工過程中，切削是逐步進行的，這一過程在仿真中是通過計算一系列離散時間的有效特征集來實現(xiàn)的．切削過程求交，即求取每一時刻刀具與毛坯相交的特征．所求得刀具與齒坯層片分割后的分割特征集在每一時刻的交點，它們的集合便是實際加工過程中刀具與毛坯相交特征的離散值．在求交過程中，還存在著相鄰2個時刻的特征集中元素的取舍問題．在對特征集中的元素進行取舍時應(yīng)堅持一個原則：在切削的過程中，毛坯的坯料是逐漸減少的．計算時可為特征集中的元素設(shè)置標志量，根據(jù)標志量對相鄰2個時刻的特征集中的元素進行取舍．

以成形法加工大輪為例，點的取舍可以選擇3θ和3u作為標志量，如圖7所示，在同一射線上，相鄰2個刀位切削所得特征點的取舍可根據(jù)3θ和3u進行判斷．由于切削過程中輪坯的材料不斷減少，所以對于外刀面切削，當(dāng)2點3θ值相同時應(yīng)保留3u值較大的點；而內(nèi)刀面切削剛好相反，應(yīng)該保留3u值較小的點．對于只有在當(dāng)前刀位才與切削刀面有交點的射線來說，直接將特征點保留即可．整個取舍過程實際上取決于成形法加工點的特點，即當(dāng)前刀位切削所得特征點完全取代上一刀位切削所得特征點，因此大輪切削過程中點的取舍較容易．

圖7 成形法加工大輪時點取舍判斷方法示意Fig.7 Sketch of point selection approach in wheel format machining

與成形法加工大輪相比，刀傾法加工小輪的加工過程較復(fù)雜，因此點的取舍要復(fù)雜得多．以齒坯層片分割后的一個圓臺面與外刀面相交的特征點取舍為例，將3θ和3u作為取舍標志量，根據(jù)其取舍情形可分為以下3種情況．

(1) 完全替換．如圖8(a)所示，此種情況與成形法加工大輪中前后兩刀位關(guān)系類似，可用當(dāng)前刀位切削所得的特征完全取代上一刀位的特征，即用在當(dāng)前切削位置上刀具切削面與分割特征的交點集代替上一切削位置上刀具切削面與分割特征的交點集，并將其作為描述當(dāng)前切削位置上本分割錐面上的特征點集．具體的取舍方法為前后2個切削位置的點集中的點所在射線θ3值相同時，保留u3值較大的點．

(2) 部分替換．如圖8(b)所示，此時刀具和齒坯在相鄰2個切削位置上有部分區(qū)域重合．且前后2次的重合區(qū)域不是包含與被包含的關(guān)系，而是有部分相交，也就是說，后一切削位置上刀具切削面與分割特征的交點集應(yīng)部分取代前一位置上刀具切削面與分割特征的交點集．即當(dāng)前切削位置上齒面特征點集的取舍為：Q點所在射線左側(cè)射線上取上一切削位置計算所得特征點集，即u3值較大的點；Q點所在射線右側(cè)射線上取當(dāng)前切削位置計算所得特征點集，即u3值較大的點．

圖8 刀傾法加工小輪時點取舍判斷方法示意Fig.8 Sketch of point selection approach in pinion generation machining

(3)不替換．如圖8(c)所示，在此切削位置，刀具外刀面與齒坯沒有交點，即當(dāng)前切削位置上齒面特征點集應(yīng)為上一切削位置計算所得特征集．取舍原則為，前后2個切削位置的點集中的點所在射線3θ值相同時，應(yīng)保留3u值較大的點．

3 算 例

本文開發(fā)的螺旋錐齒輪加工仿真系統(tǒng)建立在Windows開發(fā)平臺下，使用Visual C++6.0編程工具實現(xiàn)．其可視化過程主要通過OpenGL標準圖形庫進行顯示．為了滿足不同切削加工仿真的需求、增強仿真環(huán)境的可重復(fù)利用性，同時又可以為仿真提供基本數(shù)據(jù)，建立了參數(shù)化刀具和毛坯生成模塊，通過建立刀具和毛坯簡化數(shù)學(xué)模型和數(shù)據(jù)接口，將模型參數(shù)化，并通過輸入?yún)?shù)控制刀具和毛坯的幾何尺寸．

在對切削過程實現(xiàn)可視化仿真的過程中，需要建立與實際加工相同的運動模式．仿真中運動的實現(xiàn)實際上是通過不斷改變每一刷新時刻各部分模型的顯示位置實現(xiàn)的，其運動是各自獨立的．但是必須保持顯示過程中機床的運動、刀具的運動和齒坯的運動變化一致．這一過程可通過利用控制參數(shù)建立不同的繪圖坐標系實現(xiàn)，其中，控制參數(shù)即機床的運動參數(shù)．本仿真系統(tǒng)中所顯示的機床模型是利用已有的三維造型軟件建立的STL模型，通過在VC工程中讀取相應(yīng)部件的STL模型并渲染，可以將其顯示在仿真環(huán)境中．在建立各個部件的STL模型時，可以使各個部件均處于機床坐標系下．在機床的運動過程中，不斷地改變機床各部件在機床坐標系下的位置即可實現(xiàn)對機床的仿真．

為了驗證軟件的可靠性和準確性，基于天津天大精益數(shù)控技術(shù)有限公司的TDNC-W200加工中心，利用表1所示的齒坯、刀具和加工調(diào)整參數(shù)，進行螺旋錐齒輪大輪成型法虛擬加工仿真及設(shè)計加工．加工機床和加工結(jié)果如圖9所示，虛擬加工結(jié)果與實際加工結(jié)果顯示了很好的一致性．

表1 大輪設(shè)計參數(shù)與加工基本參數(shù)Tab.1 Wheel design parameters and machining parameters

圖9 大輪成形法加工仿真與實切Fig.9 Wheel visual format machining and real format machining

為了避免機床精度對仿真結(jié)果的影響，將自行開發(fā)的仿真系統(tǒng)仿真結(jié)果與在Solidworks中通過宏程序建立相同參數(shù)的切削模型進行仿真的結(jié)果進行對比．具體做法為，在齒輪凹面上取5×6點陣，即在5個分割層片上分別按一定間隔取凹面上的6個點，做數(shù)據(jù)對比．如圖10所示，測量結(jié)果表明自開發(fā)仿真系統(tǒng)與Solidworks 仿真系統(tǒng)的仿真結(jié)果對比差值數(shù)量級為10-4m，即本算法所得點的精度達到10-4,m數(shù)量級．因此，本算法計算結(jié)果準確、方法可行．

圖10 自開發(fā)仿真系統(tǒng)與Solidworks仿真系統(tǒng)的仿真結(jié)果差值Fig.10 Difference between the results from self-developed system and those from Solidworks

4 結(jié) 語

本文根據(jù)螺旋錐齒輪齒面成形過程的特點，針對目前仿真中存在的速度慢、精度低的問題，提出了“層片分割”算法，即先將齒坯模型進行層片分割并建立分割特征的數(shù)學(xué)模型，然后將刀具數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換到齒輪坐標系下，求解刀具切削面與分割特征的交點并對其進行取舍，最后得到每一切削時刻的齒面數(shù)據(jù)點．通過建立切削坐標系、刀具數(shù)學(xué)模型、刀具坐標系的轉(zhuǎn)換模型、層片分割模型、求交計算模型以及相鄰切削位置特征點的取舍模型，在虛擬仿真環(huán)境中利用程序?qū)崿F(xiàn)了這一算法的建立過程．校驗結(jié)果表明，該算法求交精度較高，方法可行，相關(guān)開發(fā)軟件可靠準確．在后續(xù)的TCA分析中，可以通過仿真系統(tǒng)得到的比較精確的齒面數(shù)據(jù)點進行曲面重構(gòu)，從而進一步提高齒面接觸分析的精度．此算法雖然在文中主要針對螺旋錐齒輪進行仿真，但是由于其快速性和精確性，也可以通過進一步研究將其應(yīng)用于五軸甚至多軸的數(shù)控加工中心仿真系統(tǒng)．

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Visual Machining Algorithm of Spiral Bevel Gear Forming Process

WANG Tai-yong1，XING Yuan1，LI Lin1，WANG Pin-cai2
(1. School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. Tianjin University Research Institute of Architecture Design and Urban Planning，Tianjin 300072，China)

Since many problems exist in the simulation of spiral bevel gear machining，like slow speed，low precision，unstable process，lack of independence and so on，a visual simulation system of 3D real machining was constructed by slice algorithm on the basis of spiral bevel gear forming process in this paper. The algorithm includes cutting coordinate system construction，cutting tool modeling，cutting tool coordinate system transforming，slice modeling，calculation modeling and point selection at adjacent position. Then the spiral bevel gear machining simulation software was developed on Windows by Visual C++6.0 and OpenGL graphics library，which will output gear model and data document. Experiment proved that this visual simulation algorithm has advantages in fast speed and high precision，and that the related software is reliable and correct.

spiral bevel gear；slice algorithm；visual machining

TH132.41；TP391.9

A

0493-2137(2012)02-0116-06

2010-09-30；

2011-04-28.

國家自然科學(xué)基金資助項目(50975193)；國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃(863計劃)資助項目(2007AA042005).

王太勇（1962— ），男，教授，博士生導(dǎo)師，tywang@139.com.

邢 元，smileinsun1123@yahoo.com.cn.