邵明珠 羅詩裕

(東莞理工學(xué)院 電子工程學(xué)院，廣東東莞 523808)

機械功率對電力系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

邵明珠 羅詩裕

(東莞理工學(xué)院 電子工程學(xué)院，廣東東莞 523808)

從擺方程出發(fā)，借助能量法和相平面分析方法對電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行討論。結(jié)果表明，當(dāng)機械功率比較小的時候，系統(tǒng)的穩(wěn)定性不受影響;當(dāng)機械功率比較大時系統(tǒng)的不穩(wěn)定性開始凸現(xiàn)，機械功率越大系統(tǒng)越不穩(wěn)定。當(dāng)機械功率等于電磁功率時，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。系統(tǒng)的臨界狀態(tài)與系統(tǒng)參數(shù)有關(guān)，只需適當(dāng)調(diào)節(jié)這些參數(shù)就可以保證系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

電力系統(tǒng);穩(wěn)定性;擺方程;能量法;相平面分析法

電力系統(tǒng)是一個典型的動力學(xué)系統(tǒng)，它的動態(tài)行為包含了復(fù)雜的非線性。電力系統(tǒng)的混沌振蕩、頻率崩潰和電壓崩潰是導(dǎo)致電網(wǎng)事故的三大主要原因。1966年，美國西北、西南兩大電網(wǎng)互聯(lián)后不久，就曾發(fā)生過1分鐘內(nèi)出現(xiàn)6次“從未見過的”振蕩現(xiàn)象，導(dǎo)致兩系統(tǒng)解列。1996年，我國華北電網(wǎng)也曾發(fā)生過1分44秒內(nèi)的嚴(yán)重振蕩現(xiàn)象，導(dǎo)致入京電網(wǎng)與地方電網(wǎng)解列，造成了嚴(yán)重的“5.28”華北電網(wǎng)事故?？梢?，電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題是工程和技術(shù)十分關(guān)注的問題。

系統(tǒng)動力學(xué)理論指出，對于弱周期擾動情形，可建立二維Poincare映射。如果一個平面映射存在Smale馬蹄，這個映射就具有反映混沌屬性的不變集，系統(tǒng)就會出現(xiàn)Smale馬蹄變換意義下的混沌行為，而Melnikov方法則是判定這類系統(tǒng)是否具有Smale馬蹄變換的一種解析方法。如果系統(tǒng)還存在一族周期軌道，則Melnikov方法還可以用來判斷次諧分叉軌道是否存在及其軌道的穩(wěn)定性。文獻(xiàn) ［1－5］就用Melnikov方法分析了系統(tǒng)的分叉與Smale馬蹄混沌行為。

電磁功率對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響問題是一個值得關(guān)注的問題，以前的工作大都是將它作為系統(tǒng)參數(shù)之一進行討論。這種分析的特點是從全局出發(fā)對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行分析。換句話說，這種分析是將系統(tǒng)參數(shù)做為“整體”(集合)，并從系統(tǒng)穩(wěn)定性出發(fā)，對這些參數(shù)的相對大小進行估計。本文企圖從局部出發(fā)，把機械功率從參數(shù)集合中抽出來單獨進行分析，特別是對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響進行分析。也許，只有當(dāng)人們從“整體”和“個別”出發(fā)對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行分析后才可能對動力學(xué)系統(tǒng)有一個全面認(rèn)識。

基于簡單互聯(lián)的電力系統(tǒng)模型，人們已把電力系統(tǒng)運行的工程技術(shù)問題轉(zhuǎn)化為具有阻尼項、受迫項和固定力矩的“擺動”問題。在本文中，我們暫不考慮系統(tǒng)的阻尼項和受迫項，只討論機械功率對系統(tǒng)穩(wěn)定運行的影響。這時，描述系統(tǒng)的動力學(xué)方程退化為具有外力矩的擺方程，機械功率對電力系統(tǒng)的影響就等效于外力矩對擺動影響。本文就從這個具有外力矩的擺方程出發(fā)，借助能量法和相平面分析方法對電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行討論。結(jié)果表明，當(dāng)機械功率比較小的時候，系統(tǒng)的基本特征由無擾動系統(tǒng)決定，小的機械功率只導(dǎo)致相平面特征的微小變化，系統(tǒng)的穩(wěn)定性不受影響;當(dāng)機械功率比較大時系統(tǒng)的不穩(wěn)定性開始凸現(xiàn)，機械功率越大系統(tǒng)越不穩(wěn)定。當(dāng)機械功率等于電磁功率時，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。系統(tǒng)的臨界狀態(tài)與系統(tǒng)參數(shù)有關(guān)，只需適當(dāng)調(diào)節(jié)這些參數(shù)就可以保證系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

1 運動方程

涉及電力系統(tǒng)的一個重要問題就是它的物理模型問題。人們在不同的近似下提出了不同的物理模型對它進行了描述，其中簡單互聯(lián)的電力系統(tǒng)模型是一個用得最多、最廣泛的物理模型。從這個模型出

發(fā)，可導(dǎo)出相角ξ滿足的動力學(xué)方程

其中

而

Pm是發(fā)電機的機械功率，Ps是發(fā)電機的電磁功率，H是發(fā)電機等效轉(zhuǎn)動慣量，δ0是平衡相位。其他參數(shù)的意義見文獻(xiàn) ［6－7］。如果不考慮系統(tǒng)的阻尼項和受迫項影響，方程 (1)可化為

系統(tǒng) (4)的Hamiltonian由公式 (5)給出

其中ξs=arcsin σ。下面分別對σ=0和σ≠0兩種情況進行討論。

2 無擾動系統(tǒng)的相平面特征

對于無擾動 (σ=0)系統(tǒng)，方程 (4)化為

或等價系統(tǒng)

系統(tǒng) (7)有一個穩(wěn)定固定點(ξ，ζ)SEP=(0，0)和兩個不穩(wěn)定固定點(ξ，ζ)UFP=(±π，0)，且存在如下形式的運動積分

根據(jù)h的大小，相平面上的軌道可分為三類。

1)h=2。h=2的軌道是異宿軌道，且可將它表示為

其中±號分別對應(yīng)上、下相平面的兩條異宿軌道，這兩條軌道把相平面分為內(nèi)外兩個區(qū)域。系統(tǒng)沿這條軌道運動的周期Ts為無窮。

2)0＜h＜2。當(dāng)0＜h＜2時，軌道是周期的，描寫的是系統(tǒng)圍繞平衡位置的周期運動，相應(yīng)的解可表示為

其中k=h/2是橢園函數(shù)的模，k∈(0，1)，snτ和cnτ是Jacobian橢園函數(shù)。系統(tǒng)沿這條軌道的運動周期

K(κ)是第一類橢園積分。當(dāng)h單調(diào)增加時，系統(tǒng)的周期T0從2π增加到無窮。

3)h＞2。當(dāng)h＞2時，軌道也是周期的，描寫了系統(tǒng)圍繞不穩(wěn)定平衡位置的周期運動，且可用Jacobian橢園函數(shù)表示為

式中κ'是橢園函數(shù)的補模，dnτ為Jacobian橢園函數(shù)。振動周期由

給出，當(dāng)h單調(diào)減少時，周期Tr由零增加到無窮。

3 系統(tǒng)的穩(wěn)定性

3.1 能量法

如果σ是一個小量，系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以用能量法進行分析。由于σ是一小量，系統(tǒng)的相平面特征與無擾動系統(tǒng)基本一樣?？紤]到擾動效應(yīng)，系統(tǒng)的解可近似地表示為

其中O(σ)表示與σ同階的小量。從物理上考慮，擾動結(jié)果相當(dāng)于外力矩作用使系統(tǒng)能量增加所作的功。而外力矩作功可以表示為

積分上下限表示外力矩作用區(qū)域。將式 (9)，(10)和 (11)代入上式，完成積分可分別得到

可以看出，由于外力矩作用，系統(tǒng)的能量增加了Wi(i=1，2，3)。于是，系統(tǒng)的能量積分 (8)發(fā)生了相應(yīng)變化，由式 (14)，(15)，(16)還可具體表示為

比較式 (17)和 (8)可以看出，由于外力矩作用，系統(tǒng)的相平面特征發(fā)生了變化。方程 (17)描寫的是相柱面上哪類軌道決定于h+W2和h+W3的值。當(dāng)h+W2＜2+W3時，系統(tǒng)仍然是穩(wěn)定的。

根據(jù)劉維定理，對于保守系統(tǒng)，相面積保持不變。由于外力矩的作用，系統(tǒng)的相面積將發(fā)生變化。力矩引起的相面積變化可表示為

其中s0是外力矩為零時系統(tǒng)的相面積，s是外力矩不為零時系統(tǒng)的相面積。假設(shè)粒子的相空間密度是均勻的，穩(wěn)定系數(shù)可定義為

對于振蕩型周期軌道 (10)，相面積大小由異宿軌道 (9)包含的相面積決定，且可具體表示為

其中E(κ，φ)和F(κ，φ)分別是第二類和第一類橢圓函數(shù)，而

對式 (20)微分，并代入式 (19)，可得系統(tǒng)的穩(wěn)定系數(shù)

其中Δh=W2由式 (15)給出。

3.2 相平面分析方法

如果σ不是小量，系統(tǒng)的穩(wěn)定性可借助相平面分析方法進行討論。假設(shè)相平面上相點的分布是均勻的，系統(tǒng)的穩(wěn)定性則由相面積決定，面積越大系統(tǒng)越穩(wěn)定。為此，需首先求出σ=0對性σ≠0情況下系統(tǒng)的相面積。引入作用量

將式 (10)代入，并完成積分，可得

當(dāng)σ≠0時，系統(tǒng) (6)有一個穩(wěn)定固定點(ξ，ζ)SFP=(ξs，0)和一個不穩(wěn)定固定點(ξ，ζ)UFP=(π－ξs，0)。分支線 (同宿軌道)的Hamiltonian值為

而分支線的相軌跡可表示為H=Hsx或

分支線有兩個零點ξu和π－ξs，其中ξu由方程 (28)給出。

圖1給出了σ=0;0．2;0．4;0．6;0．8;1等情況下的分支軌道。對應(yīng)于σ=0的分支軌道是異宿軌道。

圖1 從外到內(nèi)σ=0;0.2;0.4;0.6;0.8;1時系統(tǒng)的相平面特征

對應(yīng)于σ≠0的分支軌道是同宿軌道。同宿軌道包圍的面積 (如圖1所示α－形區(qū)域)由公式 (29)給出

其中α(ξs)是ξs≠0和ξs=0時分支線包圍的面積比α(ξs)=Aα/Ao，并可表示為下列積分

且可近似由公式 (31)給出。

式 (25)和 (29)分別給出了異宿軌道和同宿軌道包圍的面積，而系統(tǒng)的穩(wěn)定性正好由公式 (31)決定。

分析表明，當(dāng)σ=1時，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。由式 (2)可知σ=Pm/Ps，臨界條件σ=1給出了

上面的分析表明，當(dāng)機械功率比較大時系統(tǒng)的不穩(wěn)定性開始凸現(xiàn)，機械功率越大系統(tǒng)越不穩(wěn)定。當(dāng)機械功率等于電磁功率時，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。

4 結(jié)論

機械功率對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響問題是一個值得關(guān)注的問題，以前的工作大都是將它作為系統(tǒng)參數(shù)之一進行討論，本文把它從參數(shù)集合中抽出來單獨進行分析。描述電力系統(tǒng)的動力學(xué)方程是一個包含了阻尼項、受迫項和固定力矩的廣義擺方程。本文討論了機械功率 (固定力矩)對系統(tǒng)穩(wěn)定運行的影響。描述系統(tǒng)的動力學(xué)方程是一個為具有外力矩的擺方程，機械功率對電力系統(tǒng)的影響就等效于外力矩對擺動系統(tǒng)的影響。利用能量法和相平面分析方法對電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行了討論。結(jié)果表明，當(dāng)機械功率比較小的時候，系統(tǒng)的基本特征由無擾動系統(tǒng)決定，小的機械功率只導(dǎo)致相平面特征的微小變化，系統(tǒng)的穩(wěn)定性不受影響;當(dāng)機械功率比較大時系統(tǒng)的不穩(wěn)定性開始凸現(xiàn)，機械功率越大系統(tǒng)越不穩(wěn)定。當(dāng)機械功率等于電磁功率時，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。系統(tǒng)的臨界狀態(tài)與系統(tǒng)參數(shù)有關(guān)，只需適當(dāng)調(diào)節(jié)這些參數(shù)就可以保證系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

［1］王寶華，楊成梧，張強．電力系統(tǒng)分叉與混沌研究綜述［J］．電工技術(shù)學(xué)報，2005，20(7)：1－10．

［2］張強．電力系統(tǒng)非線性振蕩研究［J］．電力自動化設(shè)備，2002，22(5)：17－19．

［3］羅曉華．簡單互聯(lián)電力系統(tǒng)的相平面特征與混沌振蕩［J］．東莞理工學(xué)院學(xué)報，2008，15(1)：35－37．

［4］張衛(wèi)東，張偉年．電力系統(tǒng)混沌振蕩的參數(shù)分析［J］．電網(wǎng)技術(shù)，2000，24(12)：17－20．

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［7］邵明珠，羅詩裕．二階非線性對簡單互聯(lián)電力系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響［J］．東莞理工學(xué)院學(xué)報，2011，18(1)：51－54．

The Impact of Mechanical Power on Power System Stability

SHAO Ming-zhu LUO Shi-yu
(College of Electronic Engineering，Dongguan University of Technology，Dongguan 523808，China)

The paper discussed the stability of power systems by using the energy method and phase plane analysis method from the pendulum equation．The results show that when the mechanical power is relatively small，the stability of the system is not affected;when mechanical power is large，the instability of the system has become distinct，and the larger mechanical power is，the more instability．When mechanical power is equal to the electromagnetic power，the system is in critical condition．The critical condition of the systems is related to system parameters，just adjusting appropriately these parameters so as to ensure stabilities of the system．

power system;stability;pendulum equantion;energy method;analyseis method of phase plane

TM 712;O415.5

A

1009－0312(2012)01－0039－05

2011－04－26

邵明珠 (1942—)，女，浙江寧波人，教授，主要從事電粒子與物質(zhì)相互作用研究。