劉瓊,黃立壯，李蘭

(1.2.廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西南寧 530004; 3.欽州學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，廣西欽州 535001)

一類n階非齊次微分方程初值問題的解

劉瓊1,黃立壯2，李蘭3

(1.2.廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西南寧 530004; 3.欽州學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，廣西欽州 535001)

關(guān)于常系數(shù)非齊次微分方程初值問題的顯示解，比較常用的是用古典微分方程理論和組合理論，由解的疊加原理，給出初值問題的解法及解的表達(dá)式。文中用形式冪級數(shù)法，給出了一種n階非齊次微分方程初值問題的解。

n階；常系數(shù)；非齊次微分方程；形式冪級數(shù);顯示解

1 引言

對于常系數(shù)非齊次微分方程初值問題的顯示解，有著廣泛的應(yīng)用,尤其是在社會(huì)、經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中有著極其重要的應(yīng)用，涉及此類問題的解，從理論上尋求更一般的解法很有必要，許多學(xué)者在這方面做了大量的工作，也取得了一些重要成果。文獻(xiàn)[1]研究了常系數(shù)線性齊次常微分方程初值問題的解，根據(jù)級數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，從麥克勞林級數(shù)出發(fā)，給出了常系數(shù)線性齊次常微分方程解的級數(shù)表示,文獻(xiàn)[2]探討冪級數(shù)自由項(xiàng)常系數(shù)線性微分方程cauchy問題解，得出了cauchy問題一般冪級數(shù)解的表達(dá)式，但是此類解表達(dá)式比較復(fù)雜，不容易掌握,文獻(xiàn)[3]研究了常系數(shù)非齊次微分方程初值問題，利用系數(shù)與初始值函數(shù)關(guān)系，根據(jù)疊加原理和比較系數(shù)法，得出了常系數(shù)非齊次微分方程初值問題顯示解的表達(dá)式，此類解要求級數(shù)在原點(diǎn)范圍內(nèi)一致收斂，避免了按通常解法帶來的求解相應(yīng)高次代數(shù)方程的麻煩，為計(jì)算機(jī)解決有關(guān)問題提供了方便，而文獻(xiàn)[4]分析了關(guān)于常系數(shù)非齊次微分方程初值問題的顯示解，引入形式冪級數(shù)推出了解的表達(dá)式，文獻(xiàn)[4]相對于文獻(xiàn)[1-3]方法比較新，技巧性強(qiáng)，因此本文在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上結(jié)合文獻(xiàn)[5]的組合數(shù)學(xué)知識(shí)，給出了一種n階非齊次微分方程初值問題的解。

2 有關(guān)定理

通常對于n階常系數(shù)非齊次微分方程初值問題一般形式：

對于這樣的非齊次微分方程的初值問題，許多人都進(jìn)行了探索，方法多種多樣，不管是哪種方法都是在特定的條件下，從冪級數(shù)的形式尋求求解的可能性，在有些條件下求出的解表達(dá)式比較復(fù)雜，因此在應(yīng)用方面價(jià)值不大，對于高次微分方程的求解在初始條件給出的情況下，解的表達(dá)式與系數(shù)有著密切的關(guān)系，即使已經(jīng)給出了解的表達(dá)式，絕大多數(shù)要想求出解，其過程往往很復(fù)雜，所以要求出解，系數(shù)的求法很關(guān)鍵，如在求解過程要引入適當(dāng)變換，從而使求解更簡單。

定理2.1

對于下列常系數(shù)微分方程初值問題

3 結(jié)束語

對于常系數(shù)非齊次微分方程初值問題的顯示解，很多學(xué)者都從不同方面進(jìn)行了探討，得出了這方面很多的研究成果，在引言中已經(jīng)闡述。本文主要是從形式冪級數(shù)方面入手，通過引入適當(dāng)?shù)淖儞Q，從而得出了一種簡便的階常系數(shù)非齊次微分方程初值問題解的表達(dá)式，得出此類解的證明過程往往不是很復(fù)雜，比較容易掌握。目的是使解此類問題的過程變得比較簡單，能夠在實(shí)際問題中解答這方面的問題，比較快速得出此類解，減少運(yùn)算的工作量，提高效率。但是對于這方面更加簡便的應(yīng)用，有待后續(xù)研究。

[1]樂茂華.常系數(shù)線性齊次常微分方程解的級數(shù)表示[J].大學(xué)數(shù)學(xué),1995,20(2):110-111.

[2]宮子安,余長安.冪級數(shù)自由項(xiàng)常系數(shù)線性微分方程cauchy問題解[J].松遼學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1994(1):40-42.

[3]余長安.常系數(shù)非齊次微分方程初值問題的顯示解[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1997(1):39-43.

[4]劉瓊.關(guān)于常系數(shù)非齊次微分方程初值問題的顯示解[J].廣西師院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1999(2):49-53.

[5]C.L.Liu(美),組合數(shù)學(xué)導(dǎo).[M].魏萬迪譯成都:四川大學(xué)出版社,1987.

An Exp licit Solution to Initial Values Problem s for a Class of N-th O rder Non-homogeneous Differential Equation

Liu Qiong1,Huang Lizhuang2,Li Lan3

(1.2.Collegeof Mathematicsand Information Science,GuangxiUniversity,Nanning 530004,Cnina; 3.College of Mathematics and Computer Science,Qinzhou University,Qinzhou 535000,China)

As for the explicit solution to initial values problems for a non-homogeneous differential equation,the traditional differential equation theory and portfolio theory are often applied.In this paper,by themethod of formal power series,the author gives an explicit solution to initial problem of non-homogenous differential equation with constant coefficients.

n-th order;constant coefficient;non-homogeneous differential equation;formal power series;an explicit solution

O175.1

A

1673-8535（2012）06-0050-05

劉瓊，湖南益陽人，廣西欽州學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院教授，碩士生導(dǎo)師，主要研究方向：微分方程理論及應(yīng)用。

黃立壯（1984-），男，廣西大學(xué)碩士研究生，主要研究方向：微分方程理論及應(yīng)用。

（責(zé)任編輯：高堅(jiān)）

2012-09-12

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10861003),廣西自然科學(xué)基金項(xiàng)目(0832018z, 0895004-1,0992027-1),欽州學(xué)院“專業(yè)綜合改革試點(diǎn)項(xiàng)目”（欽學(xué)院發(fā)[2012]119號(hào)）

李蘭，女，欽州學(xué)院2012屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科學(xué)生，研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。