■梁 棟

自然
——數(shù)學(xué)教學(xué)的一種境界

■梁 棟

梁棟，天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)副校長(zhǎng)，數(shù)學(xué)特級(jí)教師，天津市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人；曾獲得第八屆蘇步青數(shù)學(xué)教育獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)和天津市優(yōu)秀教師、武清區(qū)杰出人才等多項(xiàng)榮譽(yù)稱號(hào)；先后發(fā)表教育教學(xué)論文40余篇，撰寫《自然數(shù)學(xué)》專著一部。

作為數(shù)學(xué)教學(xué)的一種境界，“自然”體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個(gè)方面，具體包括數(shù)學(xué)的解題思路、教師的教學(xué)過程、學(xué)生的學(xué)習(xí)過程都是自然的，教與學(xué)應(yīng)當(dāng)是充滿樂趣、充滿智慧的自然之旅。

一、數(shù)學(xué)的解題思路是自然的

數(shù)學(xué)解題是數(shù)學(xué)概念、思想方法于思維作用下的運(yùn)用。尋求解題途徑的思考過程有其自然的一面，教師應(yīng)注重在例題教學(xué)和技巧講解的過程中體現(xiàn)這種“自然”。

1.新課中的例題教學(xué)：勤練成就自然。

新授課的例題解法，例題難度一般較小，多是新學(xué)知識(shí)的簡(jiǎn)單應(yīng)用。對(duì)學(xué)生而言，此類例題易于理解，相當(dāng)于“描紅”。因此，在此類例題教學(xué)過程中，可以適當(dāng)增加“描紅”的時(shí)間和次數(shù)，使學(xué)生對(duì)基本方法的應(yīng)用達(dá)到條件反射的程度。

2.習(xí)題課中的例題教學(xué)：基礎(chǔ)呈現(xiàn)自然。

習(xí)題課是強(qiáng)化訓(xùn)練學(xué)生對(duì)知識(shí)、方法的運(yùn)用能力的解題活動(dòng)，題目具有一定的綜合性，但解題方法相對(duì)單一，且多數(shù)是剛剛講過的，學(xué)生容易確定解題的方向，困難是如何在復(fù)雜環(huán)境下應(yīng)用知識(shí)和方法。

掌握復(fù)雜環(huán)境下應(yīng)用知識(shí)的方法是學(xué)生解題能力形成的主要階段，也是良好思維方式形成的關(guān)鍵時(shí)刻。因此，教學(xué)中要突出定義、定理的直接運(yùn)用，注重展示解法的得來過程。教師要多聽聽學(xué)生的想法，如有可能，盡量順著學(xué)生的思路繼續(xù)下去。此外，對(duì)于公式的應(yīng)用而言，一般是用到的公式越基礎(chǔ)，解法的自然程度越高。因?yàn)?，越是基礎(chǔ)性的公式學(xué)生越容易想到，教師的任務(wù)是盡可能讓這種思路最終獲得成功，從而讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)解題并不神秘，平凡的方法有價(jià)值，也有生命力。

3.綜合復(fù)習(xí)課的例題教學(xué)：大眾化彰顯自然。

綜合復(fù)習(xí)課包含試卷講評(píng)課，這類課的例題常常涉及知識(shí)間的橫向聯(lián)系，對(duì)思維的深度要求比較高，解題的途徑多而相對(duì)復(fù)雜，對(duì)學(xué)生來說是個(gè)挑戰(zhàn)。

在教學(xué)過程中，如何找到一種學(xué)生樂于接受的思路就成為引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)解題的關(guān)鍵。在分析解法時(shí)，教師要時(shí)刻進(jìn)行如下的評(píng)估：用到的方法是不是學(xué)生熟悉的？應(yīng)用的公式、定理是不是常用的？解題的思路是不是符合多數(shù)人的思維習(xí)慣？如果得到了肯定的結(jié)論，就說明解法具備了大眾化的基本要素。此外，還要看這種想法是不是具有普遍性，對(duì)其他題目的解決能不能提供思考方式上的幫助，如果答案還是肯定的，那么就是大眾化的方法了。

4.解題技巧也自然。

在沒有明確解題思路或思路受阻時(shí)，為了能夠解決復(fù)雜的問題，或者使解題過程簡(jiǎn)單一些，就會(huì)涉及解題技巧。筆者認(rèn)為，技巧也是自然的。技巧既然是一種解題方法，就應(yīng)當(dāng)有它自然的一面，提取技巧中自然的元素，技巧將具有高于普通方法的價(jià)值。展現(xiàn)技巧中自然的成分，不僅能豐富學(xué)生的解題方法，而且能使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的魅力。

二、教師教學(xué)的過程是自然的

很多數(shù)學(xué)問題的解法常常讓人感到出乎意料，難以想象，但如果仔細(xì)分析，就會(huì)發(fā)現(xiàn)解題的各個(gè)步驟都有熟悉的典型方法的影子，把這些相關(guān)的問題及解法梯次呈現(xiàn)，原本想不到的解法就自然而然地呈現(xiàn)出來了。

1.遞進(jìn)式原則讓解題過程更自然。

數(shù)學(xué)問題之間是有聯(lián)系的，這種聯(lián)系一般表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是問題本身在形式上、內(nèi)容上有密切的關(guān)系。如，有些題目通過變形就能轉(zhuǎn)化為另外的問題，有些題目的結(jié)論則是另外一些題目結(jié)論的一般化或特殊化。二是在思維方式上有一定的相似之處，通過類比就會(huì)找到新問題的解法。

經(jīng)常有這樣的情形，一道數(shù)學(xué)題擺在面前，學(xué)生絞盡腦汁都無法解決。而看著別人提供的解答，每一步又都能看得懂，并且發(fā)現(xiàn)自己沒能想到的關(guān)鍵之處也并非是新的方法，只是當(dāng)時(shí)沒有意識(shí)到。那么，為什么當(dāng)時(shí)沒有意識(shí)到呢？是因?yàn)閷W(xué)生很少有過類似的解題經(jīng)歷，熟悉的方法在陌生的環(huán)境下難以發(fā)揮作用。換句話說，一旦原本易于發(fā)現(xiàn)的聯(lián)系被各種繁亂的形式掩蓋，已知條件轉(zhuǎn)化的多樣性就會(huì)導(dǎo)致失之毫厘、謬以千里，想要迅速抓住問題的本質(zhì)會(huì)非常困難。

遞進(jìn)式原則能夠在一定程度上化解這個(gè)難題，并且利于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的快速構(gòu)建，使其養(yǎng)成良好的思維方式。所謂遞進(jìn)式原則，是指利用已經(jīng)掌握的典型方法、解題經(jīng)驗(yàn)，作為解決新問題時(shí)思考的基礎(chǔ)，把一道復(fù)雜問題分解成若干個(gè)已知的簡(jiǎn)單問題，層層遞進(jìn)，最后水到渠成地破解難題。

2.遞進(jìn)式原則讓教學(xué)設(shè)計(jì)更自然。

遞進(jìn)式原則遵循這樣一個(gè)基本思想：題目的難易不僅要看題目本身需要的方法和思維含量，還要看其中用到的數(shù)學(xué)方法的呈現(xiàn)方式和呈現(xiàn)時(shí)機(jī)，呈現(xiàn)的方式不同、時(shí)機(jī)不同，效果是有天壤之別的。對(duì)于綜合性比較強(qiáng)的題目，教師可遵循以下步驟來設(shè)計(jì)教學(xué)。

第一步，教師要清楚題目的解法是什么，解法中哪些是學(xué)生自己能想到的，哪些是不容易想到的，不容易想到的稱之為核心方法。第二步，核心方法在什么載體中出現(xiàn)過，在出現(xiàn)過的載體中學(xué)生感到最自然的是哪個(gè)，把這些載體羅列出來，然后找出和本題有密切關(guān)系的載體。也可以回憶核心方法在學(xué)生第一次接觸時(shí)是解決的哪道題，當(dāng)時(shí)為什么用這種方法，第一次的印象往往是深刻的，學(xué)生會(huì)感到親切。第三步，篩選出來的載體能否轉(zhuǎn)化為本題的某一部分或全部，如果不能，還需要什么題目來過渡，然后再確定這些過渡性題目，當(dāng)這些題目與要解的題目之間漸近關(guān)系比較明顯時(shí)，準(zhǔn)備工作結(jié)束。第四步，把這些相關(guān)的題目按照由易到難的順序排列，如果題與題之間感覺順暢，那么教學(xué)設(shè)計(jì)完成，否則在跳躍性較大的題目之間再加入銜接的題目。

三、學(xué)生學(xué)習(xí)的過程是自然的

從不自然到自然是在學(xué)生學(xué)習(xí)一種方法后，通過一系列的變化，讓學(xué)生體驗(yàn)方法并覺得方法是有用的，從而慢慢接受新的方法，會(huì)使用新的方法，會(huì)進(jìn)行更深入的思考，最終成為一種自然的方法。

1.基本方法的教學(xué)與自然性原則的運(yùn)用。

基本數(shù)學(xué)方法是構(gòu)成學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的根基，也是學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。對(duì)基本方法的教學(xué)，最難解決的是調(diào)動(dòng)學(xué)生參與的主動(dòng)性和積極性，否則很難引起學(xué)生思維上的深入，也容易造成學(xué)生對(duì)方法的理解只停留在形式化的表層，對(duì)后繼的學(xué)習(xí)產(chǎn)生消極影響。一是要在最初接觸方法時(shí)強(qiáng)化學(xué)生對(duì)方法應(yīng)用的形式和條件的判斷。二是要有一定數(shù)量的變式練習(xí)來鞏固基本方法，多設(shè)置一些問題的情景與學(xué)生的習(xí)慣、經(jīng)驗(yàn)形成強(qiáng)烈反差的題目，將數(shù)學(xué)問題生活化、生動(dòng)化，不斷激發(fā)學(xué)生的求知欲，提高學(xué)生解決具體問題的能力。

2.典型方法的教學(xué)與自然性原則的運(yùn)用。

典型方法的教學(xué)中涉及的一些解題方法，學(xué)生對(duì)方法本身能夠理解卻不知方法的由來。自然性原則主張教師不去糾纏方法得來的過程，而是告訴學(xué)生這種方法是什么，展現(xiàn)方法的妙處，讓學(xué)生感到方法的價(jià)值，并嘗試應(yīng)用這種方法。

方法的本質(zhì)不難講清楚，方法的妙處和價(jià)值會(huì)在解題過程中體現(xiàn)出來，關(guān)鍵是教師如何設(shè)置題目讓學(xué)生體驗(yàn)方法，不同的題目效果有著很大的差異。因此，題目的選取應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：一是合理控制難度。以學(xué)生經(jīng)過思考就能直接運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的程度為宜。二是在推理和思辨上要求不能太高，但一定要有思維含量。三是注重“形”“神”兼?zhèn)洹Ｋ氖遣灰笕?，突出“精”。五是要自然、貼切，不要刻意雕飾。六是根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)，在載體和表述上進(jìn)行適當(dāng)變化。

3.綜合題目的解法與自然性原則的運(yùn)用。

綜合題目的解法具有復(fù)合性的特點(diǎn)，這種解法可能是學(xué)生熟悉卻從未用過的。教學(xué)中可以用強(qiáng)化的方式達(dá)到從不自然到自然的過渡。當(dāng)然，強(qiáng)化不等于用大量的題目反復(fù)練習(xí)，而是要通過有啟發(fā)性的問題，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，通過一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)使學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出數(shù)學(xué)問題，并嘗試從不同的角度尋求解決問題的方法，獲取解題經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)解題應(yīng)在鞏固知識(shí)、理解方法的前提下，使學(xué)生形成自己的思維模式，最終具有創(chuàng)新的意識(shí)和本領(lǐng)。

4.思維過程的展示與自然性原則的運(yùn)用。

學(xué)生掌握數(shù)學(xué)方法和形成思維方式需要一定的內(nèi)化和感悟的過程，要縮短這個(gè)過程，只靠分析解題思路是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還應(yīng)有思維過程的展示，而展示思維過程的有效方法之一是“現(xiàn)場(chǎng)直播”。

一般情況下，學(xué)生看不到教師解題時(shí)在思路受阻后是如何變換角度，最終突破難關(guān)的真實(shí)情形。面對(duì)一道陌生的難題，教師如何繞過思維障礙，變換思路，迅速?zèng)Q策，確定解題方向、目標(biāo)，是學(xué)生最關(guān)心、最需要的，也是價(jià)值最大的。“現(xiàn)場(chǎng)直播”是教師課前不作任何準(zhǔn)備，在課堂上把學(xué)生提出的疑難問題當(dāng)作例題，現(xiàn)場(chǎng)講解，從而讓學(xué)生看到教師最自然的解題思路，體驗(yàn)教師探索問題的軌跡，學(xué)會(huì)如何思考。這樣，拉近了教師和學(xué)生之間的距離，使學(xué)生真切地了解解決數(shù)學(xué)問題的全過程，有利于學(xué)生形成良好的思維方式。

（責(zé)任編輯 張 嶸）