祁居攀

含參不等式“任意性”與“存在性”問(wèn)題歷來(lái)是高考考查的熱點(diǎn)與難點(diǎn)，善于將此類問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題是解題的關(guān)鍵所在．

題目：已知函數(shù)f(x)=2x3x+1,x∈(12,1］－13x+16,x∈［0,12］ 函數(shù)g(x)=a玸inπ6x－2a+2(a>0)，若存在x1,x2∈［0,1］，使得f(x1)=g(x2)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.

分析：本題從邏輯角度來(lái)看，它是一個(gè)存在性問(wèn)題，若記函數(shù)f(x)的值域?yàn)镕, g(x)的值域?yàn)镚,則它們之間滿足F∩G≠,因此，本題可轉(zhuǎn)化為求兩函數(shù)的值域問(wèn)題．

解析：當(dāng)x∈(0,12］時(shí)，f(x)是單調(diào)遞減的一次函數(shù)，故f(x)∈［0,16］

當(dāng)x∈(12,1］時(shí)，因f′(x)=4x3+6x2(x+1)2>0，f(x)是單調(diào)增函數(shù)，得f(x)∈(16,1］

綜上所述，x∈［0,1］，f(x)∈［0,1］；

當(dāng)x∈［0,1］時(shí)，π6x∈［0,π6］，又a>0，故g(x)是單調(diào)增函數(shù)，得g(x)∈［2－2a,2－32a］.

因函數(shù)f(x)的值域?yàn)镕, g(x)的值域?yàn)镚,則它們之間滿足F∩G≠,解得12≤a≤43從而滿足題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍是［12,43］．

探討之一：若將本題條件“若存在x1,x2∈［0,1］，使得f(x1)=g(x2)成立”改為“若對(duì)于任意的x2∈［0,1］”，總存在x1∈［0,1］使得f(x1)=g(x2)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是多少？

分析：任意的x2∈［0,1］”，總存在x1∈［0,1］使得f(x1)=g(x2)成立可轉(zhuǎn)化為G罠．

解析：由條件得2－2a≥02－32a≤1 解得23≤a≤1.

探討之二：能否將本題條件“若存在x1,x2∈［0,1］，使得f(x1)=g(x2)成立”改為“若對(duì)于任意的x1∈［0,1］”，總存在x2∈［0,1］使得f(x1)=g(x2)成立？

分析：對(duì)于任意的x1∈［0,1］”，總存在x2∈［0,1］使得f(x1)=g(x2)成立可轉(zhuǎn)化為F罣．

解析：由條件得2－2a≤02－32a≥1 解得a∈,所以不能如此改編．

探討之三：若將本題條件“若存在x1,x2∈［0,1］，使得f(x1)=g(x2)成立”改為“若存在x1,x2∈［0,1］，使得f(x1)≤g(x2)成立”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是多少？

分析：存在x1,x2∈［0,1］，使得f(x1)≤g(x2)成立，可轉(zhuǎn)化為f(x1)┆玬in≤g(x2)┆玬ax

解析：由條件只需2－32a≥0即a≤43．

探討之四：若將本題條件“若存在x1,x2∈［0,1］，使得f(x1)=g(x2)成立”改為“若任意x1,x2∈［0,1］，使得f(x1)≤g(x2)成立”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是多少？

分析：任意x1,x2∈［0,1］，使得f(x1)≤f(x2)成立，可轉(zhuǎn)化為f(x1)┆玬ax≤g(x2)┆玬in

解析：由條件只需2－2a≥1即a≤12．

探討之五：若將本題條件“若存在x1,x2∈［0,1］，使得f(x1)=g(x2)成立”改為“若對(duì)于任意的x1∈［0,1］”，總存在x2∈［0,1］使得f(x1)≤g(x2)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是多少？

分析：任意的x1∈［0,1］，總存在x2∈［0,1］使得f(x1)≤g(x2)成立，可轉(zhuǎn)化為 f(x1)┆玬ax≤ゞ(x2)┆玬ax．┆

解析：由條件只需2－32a≥1即a≤23．

探討之六：若將本題條件“若存在x1,x2∈［0,1］，使得f(x1)=g(x2)成立”改為“若對(duì)于任意的x2∈［0,1］，總存在x1∈［0,1］使得f(x1)≤g(x2)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是多少？

分析：任意的x1∈［0,1］，總存在x2∈［0,1］使得f(x1)≤g(x2)成立，可轉(zhuǎn)化為f(x1)┆玬in≤g(x2)┆玬in．

解析：由條件只需2－2a≥0即a≤1．

說(shuō)明：以上探討中的“≤” 改為“≥” 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是多少？（讀者自己完成）

提醒注意：

若任意（或存在）x1,x2∈［0,1］，使得f(x1)=(≤,≥)g(x2)成立，與任意（或存在）x∈［0,1］使得ゝ(x)=(≤,≥)g(x)成立之間的區(qū)別，對(duì)于f(x1)=(≤,≥)g(x2)成立，可轉(zhuǎn)化為求兩函數(shù)的值域問(wèn)題，對(duì)于f(x)=(≤,≥)g(x)成立，只能轉(zhuǎn)化為f(x)－ゞ(x)=(≤,≥)0恒成立問(wèn)題，通過(guò)求f(x)－g(x)的最值加以解答，不能用f(x),g(x)兩函數(shù)的最值解之．

總之，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法是解決含參問(wèn)題最重要的方法之一，因此對(duì)各類問(wèn)題只要進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化與化歸，便能使此復(fù)雜問(wèn)題得以簡(jiǎn)捷地解決．