陳樹敏

【摘要】本文以對偶模型描述研發(fā)型公司的現(xiàn)金流，假定公司可以通過注入資金來防止破產(chǎn)并可選擇在未來某一時刻投資于技術(shù)設(shè)備來提高自身收益，目標(biāo)是最小化注入資金總額.應(yīng)用混合奇異控制—最優(yōu)停時方法，本文得到最佳技術(shù)投資時機的半顯式表達式.

【關(guān)鍵詞】混合奇異控制—最優(yōu)停時；技術(shù)投資；對偶模型オ

1.引 言

近年來，經(jīng)典風(fēng)險模型的對偶模型R璽=x-ct+S0璽成為精算數(shù)學(xué)研究的熱點.模型中c表示單位時間費用，復(fù)合玃oisson過程S0璽=А篇㎞0璽﹊=1Y璱表示t時刻為止的累積盈利.其中N0璽是強度為λ0的玃oisson過程，Y璱,i=1,2，…是獨立同分布隨機變量.該模型經(jīng)常被用來描述制藥、石油勘探等研發(fā)型公司，更多模型的應(yīng)用可見文獻［1~3］.模型的相關(guān)研究可見［1~3,5,8］.以上工作主要考慮了模型的分紅問題及破產(chǎn)概率問題.此外,文獻［4］采用類似的模型（加入了擴散擾動）描述風(fēng)險投資的資金流,考慮(1)當(dāng)允許注入資金時的最佳獻PO時刻，(2)公司最佳分紅策略，并得到值函數(shù)及最佳策略的顯式表達式.

本文以科研機構(gòu)（公司、研究所等）為例對對偶模型進行分析.在這一背景下R可理解為公司用于研發(fā)的資金.公司單位時間向員工支付固定工資c開展研發(fā)工作,當(dāng)研究取得突破性進展時（如申請到專利、項目等）公司可以獲得收益Y璱.這里λ0代表了平均單位時間內(nèi)研發(fā)成果數(shù)量.我們假定公司可以得到外來資金（通過融資或其他方式）以保持公司的正常運轉(zhuǎn).此外,受文獻［4］啟發(fā),我們假定公司可以投資于某一項新技術(shù)（例如購買新技術(shù)設(shè)備或者科技文獻數(shù)據(jù)庫等），新設(shè)備的運用使得公司平均單位時間的成果數(shù)目由λ0增加到λ1.我們的目標(biāo)是最小化公司融資的期望貼現(xiàn)值.

2.模 型

為了對模型進行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)描述，我們給定概率空間(Ω,F,P)及濾子族F:={F璽}﹖≥0，記非減過程L璽為到t時刻為止累積向公司注入的資金.在技術(shù)投資之前，盈余過程滿足玠玆璽=-c玠玹+玠玈0璽+玠獿璽,R0-=x,其中x是初始盈余，L璽是一非減、F璽適應(yīng)過程，使得R璽≥0.因此我們只考慮R璽≥0的情形.記τ為公司投資于新技術(shù)的時間，在τ時刻公司支出資金I，在此之后公司的收益由S1,t=А篇㎞1,t﹊=1Y璱描述，其中{N1,t獇﹖≥0是參數(shù)為λ1>λ0的玃oisson過程.給定投資時機τ，公司的盈余滿足隨機過程

玠玆璽=-c玠玹+1﹖≤τ玠玈0璽+1﹖>τ玠玈1璽+玠獿璽-玠獻璽,R0-=0.

其中I璽=I1﹖≥τ表示技術(shù)投資過程，1│亍蔄是示性函數(shù).決策的目標(biāo)是最小化公司未來累積注入資金Jτ(x)=E瑇А要∞0И玡-rt玠獿璽,其中r是貼現(xiàn)率.我們的目標(biāo)是尋求τ*∈S，使得

V(x)錨﹊nfτ∈SJτ(x)=J│營*(x),x≥0.(1)

3.模型求解

以下求解值函數(shù)V.為了便于分析求解，我們假定Y璱的分布函數(shù)為F(z)=1-玡-μz.注意到Jτ(x)=E瑇А要│-0玡-rt玠獿璽+玡-rτ狤㏑│--I∫∞0玡-rt玠獿璽.

其中E㏑│--IА要∞0玡-rt玠獿璽П硎炯際跬蹲屎蟮娜謐識疃.記V1(y)=E瑈А要∞0玡-rt玠獿璽В則有

V(x)=﹊nfτ∈SE瑇А要│-0玡-rt玠獿璽+玡-rτ猇1(R│--I).(2)

由動態(tài)規(guī)劃原理易知V1滿足

-cV′1(y)+λ1А要∞0V1(y+z)玠獸(z)-(r+λ1)V1(y)=0.(3)

該方程有解V1(y)=C玡-βy,其中

β=［(λ1+r)-μc+［μc-(λ1+r)］2+4crμ］[]2c.ビ閃續(xù)性，方程(3)對y=0同樣成立.由此可得邊界條件V′1(0)=-1，進而C=1[]β.因此，V1(y)=玡-βy猍]│1﹜≥0+1[]β-﹜1﹜<0.給定初始盈余x，V1(x-I)表示公司在0時刻投資于新技術(shù)之后的累積注入資金.當(dāng)不考慮技術(shù)投資時，記注入資金為V0(x)=E瑇А要∞0И玡-rt玠獿璽.類似計算可得V0(x)=-1[]α-玡│聯(lián)-x1﹛≥0-1[]α-+x1﹛<0，其中

α-=-［(λ0+r)-μc+［μc-(λ0+r)］2+4crμ］[](2c).

優(yōu)化問題(2)是一混合奇異控制—最優(yōu)停時問題.為求解這一優(yōu)化問題，我們需要以下驗證性定理.

定理1 若非負(fù)函數(shù)v滿足

玬in(-cv′(x)+λ0А要∞0(v(x+y)-v(x))玠獸(y)-rv(x),V1(x-I)-v(x))=0,v′(0)=-1,

(4)

則v(x)≥V(x).進一步，若存在點x璫使得

-cv′(x)+λ0А要∞0v(x+y)-v(x)玠獸(y)-rv(x)=0,﹛∈(0,x璫)，(5)

v(x)=V1(x-I),x∈(x璫,∞)，(6)

則v(x)=V(x)，且τ*錨玦nf珄t≥0;R璽≥x璫}是最佳投資時間.

驗證性定理的證明可見［7］.

以下求解方程(4)~(6).由x璫的定義，在(0，x璫)上v滿足

-cv′(x)+λ0А要∞0v(x+y)玠獸(y)-(r+λ0)v(x)=0.

以上方程有通解v0(x)=A玡│聯(lián)+x+B玡│聯(lián)-x,x∈(0,x璫),其中A,B是待定參數(shù)，ウ聯(lián)+=μc-(λ0+r)+［μc-(λ0+r)］2+4crμ[]2c.因此v可表示為

v(x)胿0(x),x∈［0,x璫］,

V1(x-I),x∈（x璫,∞).

以下確定參數(shù)A,B,x璫.由v在x璫處一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，

A玡│聯(lián)+x璫+B玡│聯(lián)-x璫=1[]β玡-β(x璫-I),

Aα+玡│聯(lián)+x璫+Bα-玡│聯(lián)2x璫=-玡-β(x璫-I）.(7)

因此，

A=玡-α+x璫玡-β(x璫-I)α-[]β+1α--α1,B=玡-α-x璫玡-β(x璫-I)α+[]β+1α--α1.

再由v′(0)=-1，Aα++Bα-=-1.將A,B代入可得

α+(α-/β+1)玡-(α++β)x璫-α-(α+/β+1)玡-(α-+β)x璫=(α+-α-)玡-βI.(8)

求解以上非線性方程可得x璫，進而我們可求得A,B.

引理1 非線性方程組(7)~(8)存在唯一解(A,B,x璫)，且x璫∈(I,∞),A<0

引理2 v″(x)>0,x∈R+＼{x璫}.

以下是本文主要結(jié)論.

定理2 v=V,相應(yīng)的，τ*=玦nf珄t≥0;R璽=x璫}是最佳投資時間.

證明 我們只需驗證滿足驗證性定理各條件.由v的構(gòu)造可知(5)~(6)成立，且v′(0)=-1.以下證明v滿足(4).直接計算可知，

-cV′1(x-I)+λ0А要∞0(V1(x-I+z)-V1(x-I))玠獸(z)-rV1(x-I)≥0,x∈(x璫,∞),

且有v0(x)≤V1(x-I)，x∈(0,x璫).記y=x-I，則對﹛∈(x璫,∞),y>0.顯然，

-cV′1(y)+λ0А要∞0(V1(y+z)-V1(y))玠獸(z)-rV1(y)=(λ0-λ1)А要∞0(V1(y+z)-V1(y))玠獸(z)≥0.

ゼ荝(x)=﹙0(x)-猇1(x-I).則由方程組(7)，R(x璫)=v0(x璫)-V1(x璫-I)=0.

又由(8),得R′(I)=v′0(I)-V′1(0)>0.

又R′(x)=0,﹛∈(I,∞)存在唯一解x璫，因此，R′(x)>0,﹛∈(I,x璫)，R(x)<㏑(x璫)=0,x∈(I,x璫).

特別的，R(I)<0.對x∈(0,I)，由引理2可知R′(x)=﹙′0(x)+1>0.ヒ虼薘(x)<0對x∈(0,I)同樣成立.ヒ虼(4)成立.根據(jù)驗證性定理，v=V，而τ*=玦nf珄t≥0;㏑璽=獂璫}即為最佳投資時間.オ

【參考文獻】オ

［1］Albrecher,H.,A.Badescu,et al.(2008).“On the dual risk model with tax payments.” Insurance:Mathematics and Economics 42(3):1086-1094.

［2］Avanzi,B.and H.U.Gerber (2008).“Optimal dividends in the dual model with diffusion.” ASTIN Bulletin 38(2):653-667.

［3］Avanzi,B.,J.Shen,et al.(2010).Optimal Dividends and Capital Injections in the Dual Model with Diffusion.

［4］Bayraktar,E.and M.Egami (2008).“Optimizing venture capital investments in a jump diffusion model.” Mathematical Methods of Operations Research 67(1):21-42.

［5］Bayraktar,E.and V.Young (2011).“Proving regularity of the minimal probability of ruin via a game of stopping and control.” Finance and Stochastics:1-34.

［6］Ng,A.C.Y.(2009).“On a dual model with a dividend threshold.” Insurance:Mathematics and Economics 44(2):315-324.

［7］Oksendal,B.(2005).Stochastic differential equations:an introduction with applications Berlin Heidelberg New York,Springer-Verlag.

［8］Yao,D.,H.Yang,et al.(2011).“Optimal dividend and capital injection problem in the dual model with proportional and fixed transaction costs.” European Journal of Operational Research 211(3):568-576.