望西軍 宋開福

【摘要】探究向量的除法運(yùn)算，給出向量除法運(yùn)算的運(yùn)用.

【關(guān)鍵詞】向量；向量的除法オ

向量，它既有大小（數(shù)），又有方向（形），因而向量是數(shù)的一部分.在數(shù)軸上的向量坐標(biāo)是一個(gè)實(shí)數(shù)a（它的起點(diǎn)在原點(diǎn)0，終點(diǎn)對(duì)應(yīng)這個(gè)實(shí)數(shù)a）；在平面中的向量坐標(biāo)是實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）（它的起點(diǎn)在原點(diǎn)（0，0），終點(diǎn)對(duì)應(yīng)這個(gè)點(diǎn)（x，y））；在空間中的向量坐標(biāo)是三實(shí)數(shù)組（x，y，z）（它的起點(diǎn)在原點(diǎn)（0，0，0），終點(diǎn)對(duì)應(yīng)這個(gè)點(diǎn)（x，y，z））.在這個(gè)意義上，向量可以看作實(shí)數(shù)的一種推廣.另一方面，在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，復(fù)數(shù)（x+y玦）曾被推廣到四元素（x玦+y玧+z玨+a），而其中的﹛玦+獃玧+z玨被發(fā)展成現(xiàn)在的向量.向量運(yùn)算有著自身的特點(diǎn)，有些運(yùn)算律與實(shí)數(shù)相同，有些與實(shí)數(shù)運(yùn)算律不相同.

向量自有加、減、數(shù)乘及數(shù)量積運(yùn)算之時(shí)，人們就已經(jīng)研究過除法運(yùn)算問題，然而幾百年來，前人沒有留下關(guān)于向量除法的文字，也沒有看到關(guān)于向量除法的解釋.向量，你真的沒有除法運(yùn)算嗎？

我們先看一個(gè)例子，求方程（x2-3）(x2+1)=0的解.

1.當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，解集x∈В華

2.當(dāng)x為實(shí)數(shù)時(shí)，解集x∈{±3}；

3.當(dāng)x為復(fù)數(shù)時(shí)，解集x∈{±3,±玦珆.

如果回答方程（x2-3）(x2+1)=0無解、有兩解或有四解都不對(duì)，因?yàn)樗诓煌姆秶鷥?nèi)，解集不同.

對(duì)向量的除法運(yùn)算也應(yīng)如此.

設(shè)a，b都是非零的向量：

（1）當(dāng)a與b不共線時(shí)，a[]b沒有意義；

（2）當(dāng)a,b共線時(shí)赼[]b=λ∈R

當(dāng)a，b同向時(shí)，λ=|a|[]|b|;當(dāng)a,b反向時(shí)，λ=-|a|[]|b|.

由此可見，向量的除法運(yùn)算是共線向量范圍內(nèi)存在的一種運(yùn)算，向量a,b共線的表示a=λb實(shí)質(zhì)上是向量除法的變形記法.

下面再來看向量除法運(yùn)算的運(yùn)用.

(1）向量除法在判斷兩向量共線方面的運(yùn)用.

例1 （新課標(biāo)《數(shù)學(xué)》2004年版必修4教材（玃98）例6）已知a=（4，2），b=（6,y），且a∥b，求y.

解 由a∥b輆[]b=2(2,1)[]3(2,y/3)∈R輞=3.

例2 （新課標(biāo)《數(shù)學(xué)》2004年版必修4教材（玃98）例7）已知A(-1，-1),B(1，3),C(2，5),判斷A，B，C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系.

解 ∵〢B=(2,4),〢C=(3,6)蒔〢B猍]〢C=2[]3,

∴〢B∥〢C.又AB∩AC=A,

∴A,B，C三點(diǎn)共線.

（2）向量除法在線段的定比分點(diǎn)中的運(yùn)用.

例3 設(shè)點(diǎn)P1(x1,y1)，P2(x2，y2)，點(diǎn)P(x,y)分有向線段㏄1P2為λ，即㏄1P=λ㏄P2（λ∈R，且λ≠-1），求P1,P2,P之間的關(guān)系.

解

如圖，㏄1P猍]㏄P2=|㏄1P獆[]|㏄P2獆=x-x1[]x2-x=y-y1[]y2-y=λ，或オ㏄1P猍]㏄1P2=|㏄1P獆[]|㏄1P2獆=x-x1[]x2-x1=y-y1[]y2-y1=λ[]λ+1.

向量除法將向量、向量的模及點(diǎn)的坐標(biāo)連在一起.

例4 (新課標(biāo)《數(shù)學(xué)》2004年版必修4教材(玃101)練習(xí)第7題)已知A(2,3),B(4,-3),點(diǎn)P在線段AB的延長線上，且|〢P獆=3[]2|㏄B獆，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則

〢B猍]〢P=2[]x-2=-6[]y-3=1[]3,∴P(8，-15).

ァ靜慰嘉南住開オ

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修4《數(shù)學(xué)》A版.