殷光偉 高麗峰 付岱山 萬(wàn)志華

[摘 要]基于小波包變換和混沌理論提出了一種人民幣匯率建模及其預(yù)測(cè)的方法。首先，應(yīng)用小波包變換對(duì)人民幣兌美元日匯率收益序列進(jìn)行三層分解，得到從低頻到高頻八個(gè)頻率成分的時(shí)序，并在此基礎(chǔ)上作進(jìn)一步分析，以確認(rèn)它們都存在混沌特性；然后，應(yīng)用混沌理論分別建立從低頻到高頻八個(gè)時(shí)序的預(yù)測(cè)模型，進(jìn)行預(yù)測(cè)；最后，基于小波包理論對(duì)混沌模型預(yù)測(cè)的結(jié)果予以重構(gòu)，實(shí)現(xiàn)對(duì)人民幣兌美元日匯率收益序列的預(yù)測(cè)。與現(xiàn)有方法比較，結(jié)果表明該方法具有較高的精度, 有極大的應(yīng)用范圍。

[關(guān)鍵詞]小波包變換 匯率 混沌 預(yù)測(cè)

2005年7月21日,中國(guó)人民銀行宣布了改變?nèi)嗣駧艆R率形成機(jī)制的公告，我國(guó)開始實(shí)行以市場(chǎng)供求為基礎(chǔ)、參考一籃子貨幣進(jìn)行調(diào)節(jié)、有管理的浮動(dòng)匯率制度。由于人民幣匯率不再盯住單一美元，因此，人民幣匯率的變動(dòng)趨勢(shì)更加復(fù)雜化，匯率波動(dòng)帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)也大大超過(guò)以往，而匯率的頻繁波動(dòng)及由此帶來(lái)的外匯風(fēng)險(xiǎn)對(duì)于國(guó)際金融、貿(mào)易和投資都具有關(guān)鍵性的影響作用，因此，正確預(yù)測(cè)人民幣匯率的變化也變得越來(lái)越重要。

人民幣匯率預(yù)測(cè)問(wèn)題屬于時(shí)間序列預(yù)測(cè)范疇, 傳統(tǒng)的時(shí)間序列分析模型主要是基于線性自回歸(Auto Regression, AR)模型和線性自回歸滑動(dòng)平均(Auto Regression Moving Average, ARMA)模型，如矢量自回歸模型、雙線性模型以及門限自回歸模型等。這些模型對(duì)線性系統(tǒng)具有較好的預(yù)測(cè)效果，但用于預(yù)測(cè)人民幣匯率這樣的非線性系統(tǒng)時(shí)，準(zhǔn)確性較差。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)方法雖然具有逼近非線性的能力，然而，當(dāng)用它來(lái)預(yù)測(cè)人民幣匯率系統(tǒng)時(shí)，其結(jié)果并不理想，而且還存在著算法收斂速度、網(wǎng)絡(luò)推廣能力等目前難以突破的障礙和困難。匯率系統(tǒng)是混沌的，由于混沌的一定的確定性，使得它具有有限的預(yù)測(cè)能力，因此，匯率系統(tǒng)的長(zhǎng)期演化行為是不可預(yù)測(cè)的，而短期預(yù)測(cè)是可行的。然而用混沌模型對(duì)匯率系統(tǒng)進(jìn)行短期預(yù)測(cè)時(shí)，效果也不盡如人意。究其原因在于匯率系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)，由于各種因素交織在一起，使得匯率時(shí)序變得復(fù)雜，因此難以預(yù)測(cè)。

預(yù)測(cè)這樣復(fù)雜的匯率市場(chǎng)要有特殊的方法。匯率市場(chǎng)是受多種因素相互作用影響的，而影響匯率市場(chǎng)的不同因素又是在不同的時(shí)間尺度上發(fā)揮作用的，因而這些不同因素所引起的匯率價(jià)格波動(dòng)特征也是不同的，分散反映在相應(yīng)的不同時(shí)間尺度上。這也是造成匯率市場(chǎng)是混沌的原因。小波變換由于其獨(dú)特的多尺度分析能力而成為提取這類序列變化特征的有力工具。它的最大的優(yōu)點(diǎn)是能將時(shí)間序列按不同尺度分解成不同的層次，這就使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，便于分析和預(yù)測(cè)。然而，缺憾的是，小波變換只能在固定的頻率空間上分解，缺乏靈活性，存在著在時(shí)間分辨率高時(shí)頻率分辨率低的缺陷，這就可能丟失某些頻率空間中的重要價(jià)格波動(dòng)特征的信息；而小波包能夠克服上述缺陷。據(jù)此，本文應(yīng)用小波包變換對(duì)人民幣匯率預(yù)測(cè)進(jìn)行研究，以期提高人民幣匯率預(yù)報(bào)的精度。

一、小波包簡(jiǎn)介

設(shè){Vj；jZ}（Z是整數(shù)集）構(gòu)成L2（R）（R是實(shí)數(shù)）上的正交多分辨分析，其尺度函數(shù)、母波函數(shù)分別為（t）和 （t），它們滿足下述二尺度方程

(1)

其中，系數(shù)滿足下面條件

(2)

雙尺度方程式表明：小波基（t）可以由尺度函數(shù) （t）的平移和伸縮的線性組合獲得，其構(gòu)造歸結(jié)為濾波器（hk的頻域表示）和 （ 的頻域表示）的設(shè)計(jì)。

對(duì)于固定尺度情況，定義一列遞歸函數(shù)如下

(3)

則稱由(3)式所確定的函數(shù)序列 （n =0,1,2,…, N）為由 =

確定的小波包。

小波包概念是在小波變換的基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)的。因此，有必要回顧一下小波變換。

圖1為小波變換示意圖。圖1中，L表示經(jīng)分解得到的低頻部分，H表示經(jīng)分解得到的高頻頻部分。下標(biāo)表示分解的層數(shù)。

由圖1可知，小波變換就是只對(duì)每一次分解得到的低頻部分作進(jìn)一步分解，而高頻部分保留不變，其過(guò)程是 ，

，… 。分解的最終結(jié)果是 ，即將原始序列 分解為一系列反映細(xì)節(jié)的高頻部分 和一個(gè)反映概貌的低頻部分 。由于其分解尺度是按照二進(jìn)制方式變化，所以這種分解在高頻段的頻率分辨率較差，而在低頻段的時(shí)間分辨率較差。它實(shí)質(zhì)上是對(duì)信號(hào)頻帶進(jìn)行指數(shù)等間隔劃分；而小波包變換，如圖2所示，不但對(duì)每一次分解得到的低頻部分作進(jìn)一步分解，而且對(duì)高頻部分也作同樣的進(jìn)一步分解。這就有效地彌補(bǔ)了小波變換的不足。

圖2 小波包變換示意圖

圖2中L表示低頻，H表示高頻，下標(biāo)表示小波包分解的層數(shù)。則分解具有如下關(guān)系：

小波包變換的最大特點(diǎn)是：能將信號(hào)頻帶進(jìn)行多層次劃分，對(duì)信號(hào)提供一種更加精細(xì)的分析方法，對(duì)小波變換中沒(méi)有細(xì)分的高頻部分進(jìn)一步分解，同時(shí)能根據(jù)被分析信號(hào)的特征，自適應(yīng)地選擇相應(yīng)頻帶，使之與信號(hào)譜相匹配。

從圖1和圖2比較可以看出，小波變換其實(shí)只是小波包變換的一個(gè)特例，小波包變換比小波變換能更加精細(xì)地刻劃時(shí)序的局部特征。因此，應(yīng)用小波包對(duì)人民幣匯率進(jìn)行預(yù)測(cè)，能得到更好的預(yù)測(cè)效果。

二、人民幣匯率預(yù)測(cè)研究

本文以人民幣兌美元日匯率的收益序列為樣本，進(jìn)行建模和預(yù)測(cè)研究。實(shí)證分析的數(shù)據(jù)選取2005-07-21-2010-12-30的人民幣兌美元日匯率數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來(lái)源于http://fx. Sauder. Ubc. ca/data.html。

人民幣兌美元日匯率的收益序列需經(jīng)如下處理得到，即

對(duì)價(jià)格序列 取對(duì)數(shù)，然后再進(jìn)行一階差分，可得：

通過(guò)上述處理，將價(jià)格序列 轉(zhuǎn)換成對(duì)數(shù)收益序列 。 序列即為人民幣兌美元日匯率的收益序列。

1.小波包分解及特征分析

應(yīng)用小波包變換對(duì)人民幣兌美元日匯率收益序列建模和預(yù)測(cè)，首先要對(duì)其進(jìn)行三層小波包分解（分解示意圖如圖2所示），這樣就將原始時(shí)間序列分解成從低頻到高頻八個(gè)頻率成分的時(shí)序，分解層數(shù)的選擇是根據(jù)預(yù)測(cè)誤差最小而定。分解后得到的各頻率部分的波形圖如圖3所示。

若用表示原始時(shí)間序列，用 （ ）分別表示應(yīng)用小波包分解后得到的從低頻到高頻八個(gè)頻率成分的時(shí)序，則有如下關(guān)系

(4)

人民幣兌美元匯率系統(tǒng)是一個(gè)具有混沌特性的系統(tǒng)，因此，人民幣兌美元日匯率的收益序列經(jīng)小波包分解后的各頻率部分很可能仍然具有混沌特征，需要進(jìn)行判斷。判斷一個(gè)序列是否具有混沌特征，要看這個(gè)序列的最大Lyapunov 指數(shù)是否為正。如果為正，則此序列是混沌的。本文采用小數(shù)據(jù)量方法來(lái)求取各頻率部分的最大Lyapunov指數(shù)，其結(jié)果都為正，因此，可以判斷各頻率部分都具有混沌特性，可通過(guò)建立各自的混沌模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。

2.混沌建模

2005-07-21-2010-12-30人民幣兌美元日匯率的收益序列，其樣本數(shù)量1371個(gè)，將其進(jìn)行三層小波包分解后，得到八個(gè)頻率成分的時(shí)序。由于分解后的時(shí)間序列都具有混沌特性，因此，對(duì)它們應(yīng)分別建立混沌模型，再進(jìn)行預(yù)測(cè)?；煦鐣r(shí)間序列預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)是相空間的重構(gòu)理論，首先要通過(guò)重構(gòu)相空間矢量來(lái)重構(gòu)相空間。

小波包分解得到的各混沌時(shí)間序列可表示為， ，則重構(gòu)的相空間矢量為

(5)

式中為時(shí)滯時(shí)間； 為嵌入維數(shù)，可由零階近似法確定；

，且 ， 為樣本值個(gè)數(shù)。由嵌入理論可知，存在一映射：使得

(6)

當(dāng)時(shí)間序列的觀察函數(shù)是光滑的且嵌入維數(shù)足夠大時(shí)，式（6）的動(dòng)力學(xué)行為與重構(gòu)前原系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為是拓?fù)涞葍r(jià)的。在實(shí)際應(yīng)用中，使用一標(biāo)量方程來(lái)代替式（6）的矢量方程，即

(7)

式（7）就是對(duì)分解后的時(shí)間序列建立的混沌模型，根據(jù)此模型就可由 預(yù)測(cè)出 。

3.預(yù)測(cè)研究

2005-07-21-2010-12-30人民幣兌美元日匯率的收益序列，其樣本數(shù)量1371個(gè)，將其進(jìn)行三層小波包分解后，得到八個(gè)頻率成分的時(shí)序，每個(gè)頻率成分的時(shí)序均有1371個(gè)數(shù)據(jù)。對(duì)各時(shí)序分別建立形如式（7）的混沌模型后，即可用于預(yù)測(cè)。具體的做法是，每個(gè)時(shí)序的前1350個(gè)數(shù)據(jù)用于確定預(yù)測(cè)模型和優(yōu)化模型參數(shù)，后面21個(gè)數(shù)據(jù)用于實(shí)際預(yù)測(cè)。對(duì)各時(shí)序分別建立混沌模型，并進(jìn)行預(yù)測(cè)，即可得到各時(shí)間序列的混沌預(yù)測(cè)結(jié)果。

各時(shí)間序列的混沌預(yù)測(cè)結(jié)果得到之后，再采用小波包重構(gòu)方法將它們進(jìn)行合成即可得到最終的預(yù)測(cè)結(jié)果，即人民幣兌美元日匯率收益序列的預(yù)測(cè)結(jié)果，其預(yù)測(cè)結(jié)果如圖4所示。圖中實(shí)線為實(shí)際值，虛線為預(yù)測(cè)值。預(yù)測(cè)均方根誤差為1.6320e-004，方向精度為1。

本文也采用式（7）所示的混沌模型以及小波變換的方法對(duì)人民幣兌美元日匯率收益序列進(jìn)行了預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果如下：（1）混沌模型的預(yù)測(cè)均方根誤差為0.0014，方向精度為0.6；（2）小波變換的預(yù)測(cè)均方根誤差為3.9197e-004，方向精度為1。

由預(yù)測(cè)指標(biāo)分析可知，應(yīng)用小波包變換的預(yù)測(cè)和應(yīng)用小波變換的預(yù)測(cè)明顯優(yōu)于直接采用混沌模型預(yù)測(cè)，這表明了多尺度分解的有效性；而小波包變換，由于克服了小波變換在時(shí)間分辨率高時(shí)頻率分辨率低的缺陷，使預(yù)測(cè)精度比混沌模型的預(yù)測(cè)和小波變換的預(yù)測(cè)都有了很大的提高，表明小波包變換能比小波變換更好地提取了匯率價(jià)格分散在不同尺度上的特征。

三、結(jié)論

本文應(yīng)用小波包變換和混沌理論提出了一種人民幣匯率建模及其預(yù)測(cè)的小波包與混沌理論相結(jié)合的方法。同單獨(dú)采用混沌預(yù)測(cè)方法或小波預(yù)測(cè)方法相比，它既能更好地刻劃時(shí)間序列的規(guī)律，克服小波固定分解方式提取多尺度特征的缺陷，更好把握匯率價(jià)格變化的所有特征，又能更好捕捉混沌狀態(tài)的特征。通過(guò)把它用于人民幣兌美元日匯率收益序列的實(shí)證預(yù)測(cè)表明，對(duì)于匯率這一類復(fù)雜的時(shí)間序列的預(yù)測(cè)問(wèn)題，本文所提的方法能夠達(dá)到預(yù)測(cè)均方根誤差為1.6320e-004的高精度，優(yōu)于目前已有的其他多數(shù)預(yù)測(cè)方法。因此，可以說(shuō)，本文所提的方法具有極廣的應(yīng)用領(lǐng)域。

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