宋興富

數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，因?yàn)槲覀冎罃?shù)學(xué)概念是反映客觀事物本質(zhì)屬性的思維形式，是思維的基本單位或者說(shuō)是思維的細(xì)胞.提高數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性在很大程度上就是提高數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)的有效性.因此有效性教學(xué)成為了數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重心.中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念（中學(xué)數(shù)學(xué)概念的主要的中心的部分）就是重中之重，概念教學(xué)和學(xué)習(xí)，首先就要認(rèn)真研究數(shù)學(xué)核心概念，思考其教學(xué)對(duì)策和措施，作為教師就要充分理解核心概念的本質(zhì)以及在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位和作用.

首先，簡(jiǎn)單的表述一下核心概念的作用.核心概念必須具有基礎(chǔ)性（即在相應(yīng)領(lǐng)域具有的基礎(chǔ)的地位）、聯(lián)系性（即有利于形成概念的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，聯(lián)系通暢，便于記憶與檢查）、遷移性（即具有自我生長(zhǎng)的活力，容易在新的情境中引發(fā)新思想和新方法），所以可以說(shuō)它是數(shù)學(xué)鄰近分支的“靈魂”“棧道”“導(dǎo)火索”.其次，高中數(shù)學(xué)中的核心概念首當(dāng)其沖的無(wú)疑是函數(shù)的概念.本文就是要談?wù)勍ㄟ^(guò)教學(xué)實(shí)踐，實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)的做法和體會(huì).

一、函數(shù)概念的形成

第一個(gè)階段是由具體的現(xiàn)實(shí)或科學(xué)問(wèn)題中簡(jiǎn)單抽象出來(lái)的，從最初人們注意到一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的依賴關(guān)系，到約翰?貝努利的“由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量”，強(qiáng)調(diào)了函數(shù)要用公式來(lái)表示，再到歐拉“如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時(shí)，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數(shù)”，再次發(fā)展到柯西“在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時(shí)，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫作函數(shù)”，其間經(jīng)歷了多次表述上的演變，成為1930年新的現(xiàn)代函數(shù)定義為“若對(duì)集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱在集合M上定義一個(gè)函數(shù)，記為y=f(x).元素x稱為自變?cè)?，元素y稱為因變?cè)?從初中到高中的教材中可以看到一些函數(shù)概念發(fā)展的歷史痕跡（只是表現(xiàn)了兩個(gè)有代表性的形式），但作為高中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該深刻理解這一發(fā)展歷程，我們知道概念的形成過(guò)程決定著它的教學(xué)過(guò)程，所以，我們必須理解這一過(guò)程，并能從中得出這一概念的教學(xué)設(shè)計(jì).

二、學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解

高中學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解基礎(chǔ)是，一個(gè)數(shù)量隨著另一個(gè)數(shù)量變化而變化（或不變），即有一個(gè)數(shù)量叫作自變量，它的變化引起另一個(gè)叫作函數(shù)值的數(shù)量單值變化（或不變），構(gòu)成這一變與不變的整體.但是，對(duì)于高中要研究的定義域和值域并沒(méi)有上升為概念，只是知道自變量取一個(gè)范圍得到函數(shù)值的一個(gè)范圍.初中數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)行為一直發(fā)生在數(shù)量的、靜態(tài)的層次上，而高中要達(dá)到：“一個(gè)數(shù)集（非空）與另一個(gè)數(shù)集（非空）之間，存在一種對(duì)應(yīng)關(guān)系（當(dāng)然是指兩集合元素），對(duì)于前者的每一個(gè)元素，在后者中都能找到唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，兩個(gè)集合及對(duì)應(yīng)關(guān)系構(gòu)成一個(gè)整體”，乃至“函數(shù)是兩個(gè)數(shù)集之間的一種特殊關(guān)系，這個(gè)關(guān)系滿足前者的任意一個(gè)元素都與后者中唯一元素對(duì)應(yīng)”這一水平，這就是要實(shí)現(xiàn)一次從具體到抽象的飛躍，若省略其中的發(fā)展過(guò)程，學(xué)生就不會(huì)真正理解的，以前流行的教學(xué)過(guò)程是，給出定義、分析定義，給出定義的注意事項(xiàng)、練習(xí)，這一過(guò)程就會(huì)有如章建躍所說(shuō)“在不適當(dāng)?shù)臅r(shí)候、用不適當(dāng)?shù)姆椒◤?qiáng)調(diào)細(xì)節(jié)，把學(xué)生‘教糊涂了”的后果.縱觀函數(shù)概念發(fā)展歷程，這兩種定義之間要經(jīng)歷一個(gè)從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的過(guò)程，即要通過(guò)學(xué)生易于理解和掌握的實(shí)例架設(shè)認(rèn)識(shí)、理解的橋梁.

三、實(shí)施教學(xué)

首先，引入具體函數(shù)關(guān)系.例如，（1）數(shù)學(xué)課本的價(jià)格是7.75元/本，買x本所需錢y元；（2）某人騎自行車的速度為7.75米/秒，騎行x秒的距離y米.列出x,y的關(guān)系式，并考慮兩者的異同.對(duì)于這兩個(gè)函數(shù)關(guān)系，學(xué)生很容易理解，而且基本上能夠順利完成.可能有的教師會(huì)認(rèn)為，這樣的問(wèn)題沒(méi)有意思，不能大幅提升學(xué)生對(duì)概念的理解，但是，要注意這確是理解概念的必由之路，這個(gè)思維過(guò)程就是要讓學(xué)生“自動(dòng)地”向理解高度邁進(jìn).當(dāng)然，這組例子只是說(shuō)明相同的表達(dá)式未必是相同的函數(shù)，引入類似的例子是幫助學(xué)生以具體的函數(shù)為背景，逐漸認(rèn)識(shí)函數(shù)的要素之一，我們還可以繼續(xù)研究下去，比如，此二函數(shù)自變量范圍不同，是怎樣影響函數(shù)取值范圍不同的？在將來(lái)研究函數(shù)圖像時(shí)，仍可以此為例討論其圖像的異同等.以上這個(gè)過(guò)程可以稱之為辨別不同的刺激模式.

在課堂教學(xué)中，我們不要怕在建立、認(rèn)識(shí)概念的環(huán)節(jié)上“費(fèi)”時(shí)間，從長(zhǎng)遠(yuǎn)的角度看，這是值得的甚至是必要的！實(shí)踐中，筆者就是在此多花些時(shí)間，讓學(xué)生“自行”認(rèn)識(shí)函數(shù)概念，并在恰當(dāng)時(shí)機(jī)讓學(xué)生自己總結(jié)所得，知道學(xué)生完成類似“已知函數(shù)y=x2的值域是［0,1］，是寫(xiě)出其一個(gè)定義域”的問(wèn)題，結(jié)果讓相鄰的學(xué)生互相對(duì)比發(fā)現(xiàn)，這“一個(gè)”定義域可以是不同的，再讓學(xué)生思考他們所關(guān)心的函數(shù)是否相同，進(jìn)而說(shuō)明題中所說(shuō)的函數(shù)是一個(gè)類.如此，學(xué)生應(yīng)該逐漸領(lǐng)悟定義中的一些詞句.值得一提的還有，學(xué)生從文字描述到符號(hào)描述過(guò)渡，也需要一定的時(shí)間和實(shí)踐來(lái)完成，所以，純粹的符號(hào)語(yǔ)言不要給得過(guò)早.

其次，引入具體事例，比如乘出租車的費(fèi)用、峰谷制用電收費(fèi)等，讓學(xué)生自己解決實(shí)際問(wèn)題，并從中認(rèn)識(shí)到分段函數(shù)的價(jià)值，而不應(yīng)該一開(kāi)始就研究類似“y=x2(x>1)

2-x(x≤1)”的人為分段函數(shù).結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，可以讓學(xué)生逐漸認(rèn)識(shí)到函數(shù)的分類（應(yīng)該弄清楚不同的分類標(biāo)準(zhǔn)），這一過(guò)程就是分化和類化不同刺激模式.

涉及具體函數(shù)類后，也需要經(jīng)歷由具體到抽象的過(guò)程，并以此達(dá)到類別屬性在學(xué)生頭腦中的穩(wěn)定狀態(tài).比如，要引導(dǎo)學(xué)生自行鑒別指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的不同屬性，等等.以下著重說(shuō)明三角函數(shù)的概念的形成與教學(xué)設(shè)計(jì).

三角函數(shù)的發(fā)展歷程比較復(fù)雜，但是我們可以略去歷史上的“坎坷”，而讓學(xué)生從自然現(xiàn)象和實(shí)際問(wèn)題中感受到周期的概念，因?yàn)槿呛瘮?shù)實(shí)際上是一類周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型.有不少教師在引入三角函數(shù)時(shí)，會(huì)忽略教材中有關(guān)周期現(xiàn)象的描述，如水車、摩天輪、潮汐現(xiàn)象、太陽(yáng)光線射角的變化規(guī)律等自然現(xiàn)象和實(shí)際問(wèn)題，他們的理由是“浪費(fèi)時(shí)間”，但這一忽略卻錯(cuò)過(guò)了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)

機(jī)會(huì)，從而也導(dǎo)致在處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)，不能順利地建立三角函數(shù)模型，也就使這一學(xué)習(xí)過(guò)程失去了實(shí)際意義.

章建躍曾這樣說(shuō)：三角函數(shù)是刻畫(huà)周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，是勻速圓周運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)表現(xiàn)；角是“轉(zhuǎn)”出來(lái)的，與單位圓上的點(diǎn)(x,y)可以建立一種對(duì)應(yīng)關(guān)系；研究勻速圓周旋轉(zhuǎn)最重要的是……三角函數(shù)是圓的幾何性質(zhì)的代數(shù)表示.這一段話道出了在幫助學(xué)生建立三角函數(shù)概念，以及認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的順序等.前面提到的四個(gè)周期現(xiàn)象的例子中，前兩個(gè)就是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，后兩個(gè)則是這種現(xiàn)象的另一類表現(xiàn)形式，因此這兩例應(yīng)該在學(xué)生認(rèn)識(shí)三角函數(shù)概念以后再引入.筆者在課堂教學(xué)實(shí)踐中就是采用這樣的順序或模式，首先與學(xué)生共同考察勻速圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)心圓周上一點(diǎn)的變化規(guī)律，在平面直角坐標(biāo)系中實(shí)現(xiàn)這一規(guī)律，用幾何的方法找出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，再表述為代數(shù)表達(dá)式，如“單位圓上一動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)與其旋轉(zhuǎn)角θ的關(guān)系是怎樣的”，在實(shí)施教學(xué)的過(guò)程中，著意實(shí)現(xiàn)“三角函數(shù)從單位圓中來(lái)，再到單位圓中去”的過(guò)程，從而也就實(shí)現(xiàn)了學(xué)生能夠自覺(jué)地運(yùn)用單位圓來(lái)探究三角函數(shù)的圖像、性質(zhì)，而不再是以往“單位圓是研究三角函數(shù)的一個(gè)有效工具”的觀點(diǎn).在研究其圖像時(shí)，沒(méi)有放過(guò)“勻速圓周運(yùn)動(dòng)可以表現(xiàn)出正弦曲線”轉(zhuǎn)化機(jī)會(huì)，而且在這一轉(zhuǎn)化過(guò)程中，還可以讓人感受到，幾何圖形是代數(shù)關(guān)系的變現(xiàn)形式，同一個(gè)幾何現(xiàn)象可能有不同的代數(shù)刻畫(huà)，這樣一來(lái)，再去理解后兩個(gè)周期現(xiàn)象就不難了.在教學(xué)過(guò)程中，我們還可以利用適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到，三角函數(shù)的很多性質(zhì)實(shí)際是來(lái)源于單位圓！從實(shí)際教學(xué)效果來(lái)看，學(xué)生確實(shí)能夠接受并牢固掌握三角函數(shù)這一本質(zhì)，也使得教學(xué)難點(diǎn)得以化解.

四、體會(huì)與感想

在高中課堂教學(xué)中，如果抓不住數(shù)學(xué)概念的核心，不能保持前后一致、貫穿始終的數(shù)學(xué)思想主線，在學(xué)生沒(méi)有基本了解數(shù)學(xué)概念和思想方法時(shí)就陷入枯燥而且量大的解題操練，導(dǎo)致教學(xué)缺乏必要的根基，教學(xué)活動(dòng)不得要領(lǐng)，在無(wú)關(guān)大局的細(xì)枝末節(jié)上耗費(fèi)學(xué)生的寶貴時(shí)間，數(shù)學(xué)課堂中效益、質(zhì)量“雙低”.學(xué)生花大量時(shí)間學(xué)數(shù)學(xué)，做無(wú)數(shù)的練習(xí)，但數(shù)學(xué)基礎(chǔ)仍很脆弱，離手就忘.

五、努力的方向

我們的有效性教學(xué)還處在一個(gè)發(fā)展階段，作為教師還需要不斷地學(xué)習(xí)、研究數(shù)學(xué)概念教學(xué)，尤其是核心概念的教學(xué).這就要求教師本身研究核心概念以及概念的核心，研究概念在數(shù)學(xué)中的地位和功能，研究概念的發(fā)展歷程，把握概念之間的聯(lián)系和脈絡(luò)，整體地認(rèn)識(shí)初高中數(shù)學(xué)的知識(shí)體系和學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，從而認(rèn)識(shí)到學(xué)生的認(rèn)識(shí)體系，提高教師駕馭教材、使用教材、設(shè)計(jì)教學(xué)的能力.總之，概念的發(fā)展歷程決定著概念的教學(xué)設(shè)計(jì).

ァ靜慰嘉南住開(kāi)オ

章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2007.