徐漢屏

■ 一、 平拋運(yùn)動(dòng)的分解

物體以一定的初速度v0水平拋出后，物體只受到重力的作用，方向豎直向下，根據(jù)牛頓第二定律，物體的加速度方向與所受合外力方向一致，大小為a＝g，方向豎直向下；由于物體是被水平拋出的，在豎直方向的初速度為零，所以，平拋運(yùn)動(dòng)的豎直分運(yùn)動(dòng)就是自由落體運(yùn)動(dòng). 而水平方向上物體不受任何外力作用，加速度為零，所以水平方向的分運(yùn)動(dòng)是勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度大小就等于物體拋出時(shí)的速度v0.

■ 二、 平拋物體的位置

如圖1所示，以物體水平拋出時(shí)的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，以水平拋出的方向?yàn)閤軸的正方向，豎直向下的方向?yàn)閥軸的正方向，建立坐標(biāo)系，物體的位置可用它的坐標(biāo)x、y來(lái)描述. 從物體拋出瞬間開(kāi)始計(jì)時(shí)，因平拋運(yùn)動(dòng)水平方向的分運(yùn)動(dòng)為勻速直線運(yùn)動(dòng)，故平拋物體的水平坐標(biāo)隨時(shí)間變化的規(guī)律是x＝v0t；

因平拋運(yùn)動(dòng)豎直方向的分運(yùn)動(dòng)為自由落體運(yùn)動(dòng)，故平拋物體的豎直坐標(biāo)隨時(shí)間變化的規(guī)律是y＝■gt2.

以上兩式確定了平拋物體在任意時(shí)刻t的位置.

■ 三、 平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡

從以上兩式中消去t，可得

y＝■x2

式中g(shù)、v0都是與x、y無(wú)關(guān)的常量，所以■也是常量. 這正是數(shù)學(xué)中的拋物線方程y＝ax2. 實(shí)際上，二次函數(shù)的圖象叫做拋物線，就是來(lái)源于此！

y＝■x2是平拋運(yùn)動(dòng)物體在任意時(shí)刻的位置坐標(biāo)x和y所滿(mǎn)足的方程，我們稱(chēng)之為平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡方程. 由此方程可知，這是一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)、開(kāi)口向下的拋物線.

■ 四、 平拋物體的速度

由平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)不難得到：初速度為v0的平拋運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t后，其水平分速度vx＝v0，豎直分速度vy＝gt.

根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成規(guī)律可知物體在這個(gè)時(shí)刻的速度（即合速度）大小

v＝■=■，

設(shè)這個(gè)時(shí)刻物體的速度與豎直方向的夾角為θ，則有

tan θ＝■＝■.

■ 五、 平拋物體的飛行時(shí)間

由于平拋運(yùn)動(dòng)在豎直方向的分運(yùn)動(dòng)為自由落體運(yùn)動(dòng)，有

h=■gt2，故t=■，

即平拋物體在空中的飛行時(shí)間取決于下落高度h，與初速度v0無(wú)關(guān).

■ 六、 平拋物體的水平射程

由于平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向的分運(yùn)動(dòng)為勻速直線運(yùn)動(dòng)，故平拋物體的水平射程即落地點(diǎn)與拋出點(diǎn)間的水平距離

x＝v0t＝v0■

即水平射程與初速度v0和下落高度h有關(guān)，與其他因素?zé)o關(guān).

■ 七、 平拋物體的落地速度

根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，可得落地速度的大小

v=■=■

以θ表示落地速度與x軸正方向間的夾角，有

tan θ=■=■

即落地速度也只與初速度v0和下落高度h有關(guān).

■ 例1平拋一物體，當(dāng)拋出1 s后的速度方向與水平方向成45°角，落地速度方向與水平方向成60°角. （取g=10 m/s2），求：

（1） 初速度；

（2） 落地速度；

（3） 開(kāi)始拋出點(diǎn)距地面的高度；

（4） 水平射程.

■ 解析由題知如圖2，

（1） t1=1 s時(shí)vy=gt1.

vx=vy=v0.

v0=gt1=10×1 m/s=10 m/s.

（2） vt=■=■

vt=■ m/s=20 m/s.

（3） vy′=gt

vy′=vt·sin60°=20×■ m/s，vy′=10■ m/s.

t=■ s=■ s，h=■gt2=■×10×（■） m=15 s.

（4） x=v0t=10■ m.

■ 八、 將斜拋運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為平拋運(yùn)動(dòng)處理

斜拋運(yùn)動(dòng)的軌跡為開(kāi)口向下的拋物線，軌跡關(guān)于過(guò)最高點(diǎn)的豎直線對(duì)稱(chēng)，且過(guò)最高點(diǎn)后物體的運(yùn)動(dòng)即是平拋運(yùn)動(dòng)，因此可將斜拋運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為平拋運(yùn)動(dòng)處理.

■ 例2設(shè)乒乓球的球臺(tái)長(zhǎng)2L、網(wǎng)高h(yuǎn)，乒乓球反彈前后水平分速度不變，豎直分速度大小不變、方向相反，且不考慮乒乓球的旋轉(zhuǎn)和空氣阻力. 若球在球臺(tái)邊緣O點(diǎn)正上方以速度v1水平發(fā)出，恰好在最高點(diǎn)越過(guò)球網(wǎng)落在球臺(tái)的P1點(diǎn)，如圖3所示，求v1的大小.

■ 解析乒乓球先做平拋運(yùn)動(dòng)，反彈后再做斜拋運(yùn)動(dòng). 由斜拋運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)兩側(cè)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性，可將斜拋運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為平拋運(yùn)動(dòng)處理；根據(jù)題給條件“乒乓球反彈前后水平分速度不變，豎直分速度大小不變、方向相反，且不考慮乒乓球的旋轉(zhuǎn)和空氣阻力”，由乒乓球反彈前后運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性，可確定相應(yīng)的幾何關(guān)系. 具體解法如下：

設(shè)發(fā)球高度為h1，乒乓球從發(fā)出到第一次反彈前的飛行時(shí)間為t1，水平位移為x1.

根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)h1=■gt21，x1=v1t1，

且h1=h，2x1=L，

得v1=■■.

請(qǐng)進(jìn)一步討論：若球在O點(diǎn)正上方水平發(fā)出后，球經(jīng)反彈恰好越過(guò)球網(wǎng)且剛好落在對(duì)方球臺(tái)邊緣P2處，如圖4所示，求發(fā)球點(diǎn)距O點(diǎn)的高度h2.

■ 解析設(shè)發(fā)球的速度為v2，乒乓球從發(fā)出到第一次反彈前的飛行時(shí)間為t2，水平位移為x2. 根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)h2=■gt22，x2=v2t2，且3x2=2L. 設(shè)球從恰好越過(guò)球網(wǎng)到最高點(diǎn)的時(shí)間為t，水平位移為x，有h2－h(huán)=■gt2，x=v2t. 由幾何關(guān)系知，x2+x=L. 聯(lián)立以上各式，解得h2=■h.