孫立群

（接上期）

只有一個(gè)國王的星球

小王子握住我的手，在我的頭上摸了一下，我整個(gè)身體就縮小了，只有他的小姆指那樣大，他就把我放進(jìn)他的上衣口袋，于是我們從窗口飛出，直上云霄。

我實(shí)在好奇，想要知道外面是什么樣子。我把頭從口袋中伸出，只見到處都是美麗的星星，那銀河像是由鉆石綴滿的項(xiàng)鏈，高掛在天幕上。

我們來到一個(gè)小星球，那上面到處都是美麗的公園，公園里有許多國王和王后的雕塑像。我們進(jìn)入皇宮，小王子把我介紹給了國王。

我對國王說：“至高尊貴的國王，在我所生活的地球上有一個(gè)著名的戲劇家，他的名字叫莎士比亞。他曾經(jīng)這么說：‘我可以局限在一個(gè)小房子里，而認(rèn)為自己是無窮空間的國王?！?/p>

“每個(gè)人由于生活環(huán)境的限制，他所看到的和所理解的空間及事物往往不一樣，主觀看法不一樣，對同一事物就會(huì)有不同的爭論?！?/p>

“我的祖先最初視界不大，以為他們生活的地球表面是平的。有一天，有一個(gè)人要去南方，他的馬車卻往北跑，人們笑他是‘南轅北轍，一定不會(huì)到達(dá)目的地，其實(shí)很可能這個(gè)人早就知道地球是圓的，只要往北走就可以走到他所要去的南方。”

“是的，我們以前也以為我們的星球是平的?！眹鯇ξ艺f。

“這不奇怪。我現(xiàn)在剪下3塊很薄的紙（見圖一），我把它們的邊緣黏起來。你可以看到3個(gè)不同的曲面。

第一個(gè)曲面像一個(gè)橢圓球，第二個(gè)曲面是圓柱，第三個(gè)是一個(gè)環(huán)面。我們現(xiàn)在可以看出它們是不一樣的。假定我們生活在這些曲面上，而且我們的身體不斷地縮小，小到平貼在表面上，我們在這表面上舉目四望，就會(huì)覺得我們生活在一個(gè)平面上，而不知道它是橢球面、圓柱形面還是環(huán)面?！?/p>

“我同意你的說法，因?yàn)楫?dāng)我們變成渺小的生物之后，我們的眼睛只能看很小的一個(gè)范圍，我們不知道我們生活的空間到底是什么樣子?？墒沁@和我的問題有什么關(guān)系呢？”

“國王陛下，在不同的條件下，一些事物可能有不同的發(fā)展和結(jié)果。在我的國家有一個(gè)傳說：一個(gè)老人要把擋在他家門前的一座大山移走，他帶領(lǐng)著全家老少每天去挖山，他認(rèn)為每天挖一些，山不會(huì)增高，就算他在世時(shí)見不到山被移走，他的子子孫孫萬代不竭地去挖這座山總會(huì)被挖走。

“可是如果我現(xiàn)在不是叫老人去移山，而是叫他移一條弧線，擺在他面前的是一個(gè)圓（如圖二）：

連結(jié)頂點(diǎn)2和頂點(diǎn)6的弧是會(huì)和連結(jié)頂點(diǎn)3，8及頂點(diǎn)4，7的弧相交。想象這些弧都是由橡皮圈做成的，我是否能把弧2和6適當(dāng)移動(dòng)，使它們保留在表面上又不與任何其他的弧相交？

我可以告訴您，這位老人再加上他的萬代子孫是不能在平面上解決這個(gè)問題的，因?yàn)椴还芩麄冊鯓右苿?dòng)，都沒法完成我的要求。”

我說完了就站在一邊，讓國王和他的臣子們?nèi)ビ懻?。爭論了半個(gè)鐘頭之后，國王說：“我相信你的話，我們沒法解決這樣的問題。”

“現(xiàn)在你們經(jīng)過各種嘗試，得到經(jīng)驗(yàn)，知道這問題是不能解決的，可是處在環(huán)狀星球的人看到這個(gè)問題時(shí)會(huì)哈哈大笑，說：‘這是一個(gè)很簡單的問題，我們的3歲孩子都能解決。因?yàn)樗麄兊纳瞽h(huán)境和我們的不一樣，我們不能解決的問題，在他們那里很可能就變成可以解決的了?！?/p>

“你能不能告訴我他們是怎么解決的？我想知道結(jié)果。”

“好！現(xiàn)在我在這兩張長方形的白紙上把剛才的圖重畫一遍。我先畫頂點(diǎn)，然后畫弧線（如圖三），再把長方形的邊相對黏合起來，這樣我們的圖就處在環(huán)面上了。頂點(diǎn)1和5及頂點(diǎn)2和6在這兩個(gè)面上有不同的弧線連接，這些弧在環(huán)面上并不相交?！?/p>

小王子說：“也就是說，在平面上生活的人們不能解決的問題，在環(huán)狀面生活的人卻能解決?！?/p>

國王的問題的解決

“是的，你說得很對。我就是要說明一個(gè)很簡單的道理：任何人處在不同的環(huán)境和不同的時(shí)間時(shí)，對一些事物的處理方式或了解就不一樣。一些人看來簡易的東西，對另外的人可能就是深?yuàn)W的。一些看來是不能解決的問題，如果把立足點(diǎn)換一換，很可能就可以解決了?！?/p>

“那么為王子分配領(lǐng)土的問題是否可以解決？”國王焦急地問。

“國王，為王子分領(lǐng)土的問題可以這樣看。如果把每個(gè)王子的領(lǐng)地用標(biāo)有1，2，3，4，5的小圓圈來表示，如果兩個(gè)領(lǐng)地有接壤，就用一個(gè)弧線連結(jié)起來。先看在平面上是否可以把任何一個(gè)頂點(diǎn)和其他頂點(diǎn)用弧相連且互不相交？我們的地球上有一位名叫庫拉托斯基的數(shù)學(xué)家在50年代后就已證明這不可能。不管你怎樣安排它們都會(huì)如圖四（a）一樣，總是有弧會(huì)相交，可是我卻可以在環(huán)面上安排，使這些弧不相交，請您看圖四（b）。

因此你們?nèi)绻幌朐賹@問題傷腦筋，做不可能做的事，我可以提出一個(gè)卑微的建議：請你們移民到一個(gè)環(huán)狀星球上去，這樣你們的領(lǐng)土分配問題就可以解決了?！?/p>

“等一等！學(xué)數(shù)先生，你只說這問題在平面上不能解決，或許在圓球面上是可以解決的呢？”國王說。

這時(shí)我拿起筆在圖四（a）上畫了兩條如圖五左邊的有箭頭的弧線。然后拿剪刀沿著弧線剪，最后用漿糊把它黏起來，就像圖五所表示那樣：

“你看，我得到的是在圓球面上的圖，它的頂點(diǎn)的相對位置不變，因此，在圓面上這問題仍然不能解決?！?/p>

“這真是奇妙的事，你能不能再告訴我一些關(guān)于曲面的新鮮事呢？”

只有一個(gè)面的扭帶

看到國王的興致這樣高，我繼續(xù)講下去。

“請你們看我手上的長方形紙條，你們知道它有四個(gè)邊、有兩個(gè)面：如果我讓紙條正對你們，你們可以說一個(gè)面是前面，另外一個(gè)面是后面；如果把紙條平放在桌上，你們可以說一個(gè)面是上面，另外一個(gè)面是下面?！?/p>

“如果我手上拿的是圓球或是一個(gè)玉環(huán)，你們也可以說他們有兩個(gè)面，一個(gè)是里面，一個(gè)是外面。因此我們會(huì)以為所有的曲面都有兩個(gè)面，對不對？”

大家都點(diǎn)點(diǎn)頭。我把手上的紙條扭了一下，然后把頭尾兩端黏好，得到了如圖六的曲面：

“現(xiàn)在你們可以看到，這個(gè)曲面只有一個(gè)邊，你們?nèi)绻幌嘈趴梢杂檬置?，它不像圓柱曲面有兩個(gè)邊，更巧妙的是，這個(gè)曲面只有一個(gè)面！”

國王搖搖頭：“我看到的是兩個(gè)面?！?/p>

“這是你的眼睛在欺騙你，固有的看法使你不容易接受事實(shí)。怎樣證明圓柱形的面有兩個(gè)呢？你會(huì)說很容易，我可以在一面上涂上紅色，另外一面上涂上藍(lán)色，這樣就能明顯地看出兩個(gè)面來。好，現(xiàn)在請你用紅色彩筆把這個(gè)扭帶涂上顏色。”

涂上顏色之后，國王說：“唉呀！果然只有一個(gè)面，我現(xiàn)在得到一個(gè)全紅的扭帶！”

我拿著原先做好的圓柱紙圈，沿著中間平行兩個(gè)邊的大圓剪去，就得到了兩個(gè)圓柱。

“你們能不能猜想：當(dāng)用剪刀把這個(gè)只有一面的扭帶順著平行一邊的紙條的中間剪下去，會(huì)得到多少個(gè)扭帶？”

其他的人都異口同聲地說：“兩個(gè)！”

我把剪刀交給國王，國王以為可以分成兩個(gè)扭帶，實(shí)際上卻沒有剪開，得到的是一個(gè)更長的扭帶。

國王目瞪口呆，喃喃自語：“這是怎么一回事？”

我又做了一個(gè)扭帶，對國王說：“如果沿著紙條寬的三分之一的一個(gè)平行邊剪，你會(huì)得到不同的結(jié)果。你們?nèi)ピ囼?yàn)和研究吧，我已經(jīng)很疲倦了，我要回我的小房子做我的無窮空間國王夢了。再見了，國王和大臣！再見了，可愛天真的人們！”

于是我回到了地球……