向秀橋

摘 要：離散數(shù)學(xué)是一門理論性很強(qiáng)的基礎(chǔ)課程，它在計(jì)算機(jī)科學(xué)及相關(guān)領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用背景。該課程內(nèi)容涵蓋面廣，包含若干獨(dú)立分支，知識(shí)點(diǎn)多，概念抽象，學(xué)習(xí)難度較大。該文結(jié)合近年來從事離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)的實(shí)際，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和教學(xué)資源等方面，探討了如何提高離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)水平和質(zhì)量，以利于學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)和今后的科學(xué)研究。

關(guān)鍵詞：離散數(shù)學(xué) 教學(xué)質(zhì)量 教學(xué)方法 教學(xué)資源

中圖分類號(hào)：G4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2012）12（a）-0-02

眾所周知，當(dāng)今很多學(xué)科的研究與發(fā)展都和計(jì)算機(jī)相關(guān)，而離散數(shù)學(xué)作為信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)重要的基礎(chǔ)理論課程之一，著重培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰?，并使他們掌握處理離散結(jié)構(gòu)所必須的描述工具和方法。學(xué)生只有掌握了離散數(shù)學(xué)中的相關(guān)理論知識(shí)，才能在隨后的課程學(xué)習(xí)中更好地發(fā)揮和拓展相關(guān)的設(shè)計(jì)技術(shù)和編程技術(shù)等，從而更好地駕馭計(jì)算機(jī)知識(shí)。離散數(shù)學(xué)課程主要包括集合論、數(shù)理邏輯、代數(shù)結(jié)構(gòu)與圖論、組合數(shù)學(xué)等。由于這門課各個(gè)章節(jié)相對(duì)獨(dú)立，內(nèi)容之間缺少聯(lián)系，知識(shí)點(diǎn)呈現(xiàn)多、散、抽象等特點(diǎn)，這些都會(huì)給教師和學(xué)生在學(xué)習(xí)上帶來很大的困難，大多數(shù)學(xué)生在開始學(xué)時(shí)不知道要學(xué)習(xí)什么，學(xué)完之后也不知道怎么應(yīng)用。以下內(nèi)容是筆者近年來從事離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)的實(shí)際，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)手段等方面進(jìn)行了一些初步探討，淺談一些自己的體會(huì)和

做法。

1 提高學(xué)生對(duì)《離散數(shù)學(xué)》課程的認(rèn)識(shí)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性

離散數(shù)學(xué)課程是一門基礎(chǔ)性課程，該課程內(nèi)容包含了數(shù)學(xué)的多個(gè)分支，初學(xué)者感到內(nèi)容多，頭緒雜，知識(shí)的聯(lián)系較為松散，而且《離散數(shù)學(xué)》中敘述問題的方式，尤其是解題方法等，和學(xué)生以前的連續(xù)的學(xué)習(xí)方法完全不同，學(xué)生在學(xué)的時(shí)候會(huì)比較吃力；此外，許多學(xué)生沒有認(rèn)識(shí)到離散數(shù)學(xué)課對(duì)后續(xù)諸多主干課程（例如，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、操作系統(tǒng)、數(shù)據(jù)庫、編譯原理、軟件工程）的指導(dǎo)性作用，看不到該課程的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，對(duì)該課程缺乏學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)主動(dòng)性，學(xué)習(xí)效果不甚理想。因此，為了調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高授課效率，要求教師在給學(xué)生上第一堂課時(shí)就指出學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)課程的重要作用。例如，通過離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以掌握數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)結(jié)構(gòu)和圖論的基本知識(shí)，提高專業(yè)理論水平，并會(huì)運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決計(jì)算機(jī)中的一些實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和縝密的邏輯推理能力。同時(shí)，在后續(xù)講解各種基本概念、定理、定理證明、計(jì)算方法等基本內(nèi)容之外，教師應(yīng)多舉一些具有代表性的例子，隨時(shí)介紹所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用背景和發(fā)展方向，注意引導(dǎo)學(xué)生對(duì)離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的地位的認(rèn)識(shí)，調(diào)動(dòng)和培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的興趣。比如，教師可以強(qiáng)調(diào)數(shù)理邏輯部分內(nèi)容在計(jì)算機(jī)的硬件設(shè)計(jì)中應(yīng)用非常突出，可以利用命題中各個(gè)聯(lián)結(jié)詞的運(yùn)算規(guī)律來解決電路設(shè)計(jì)的問題，還可以介紹離散數(shù)學(xué)中哥尼斯堡七橋問題、著名的蘇哥拉底三段論、土耳其商人和帽子的故事、一筆畫問題、地圖染色問題，等。

2 合理優(yōu)化安排教學(xué)內(nèi)容

《離散數(shù)學(xué)》課程的教學(xué)內(nèi)容一般包括：數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)系統(tǒng)、圖論、格和布爾代數(shù)等部分，這些部分可分別作為一門獨(dú)立的課程，容易造成教學(xué)內(nèi)容繁多與教學(xué)課時(shí)數(shù)偏少的矛盾。為了讓學(xué)生在有限的學(xué)時(shí)下掌握更多的知識(shí)，教師應(yīng)根據(jù)離散數(shù)學(xué)課程的專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)，制定科學(xué)合理的教學(xué)大綱，適時(shí)調(diào)整課程結(jié)構(gòu)，優(yōu)化重組課程體系，深入研究和吃透教材，認(rèn)真準(zhǔn)備深度和廣度適合學(xué)生基礎(chǔ)與特點(diǎn)的教學(xué)內(nèi)容；把握好課程內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)，對(duì)離散數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行取舍，將整個(gè)教學(xué)內(nèi)容分成離散數(shù)學(xué)（一）和離散數(shù)學(xué)（二），其中離散數(shù)學(xué)（一）的教學(xué)內(nèi)容主要包括：數(shù)理邏輯、集合論、關(guān)系和圖論；離散數(shù)學(xué)（二） 包括：代數(shù)系統(tǒng)、格和布爾代數(shù)；根據(jù)上課的時(shí)數(shù)，明確各章的授課時(shí)數(shù)，離散數(shù)學(xué)（一）開成必修課，共64個(gè)學(xué)時(shí)，其目的是讓學(xué)生掌握離散數(shù)學(xué)中一些基本的數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)方法，而將內(nèi)容較抽象的離散數(shù)學(xué)（二）開成專業(yè)選修課，共32 學(xué)時(shí)，目的是為學(xué)生繼續(xù)深造夯實(shí)其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。離散數(shù)學(xué)（一）一般在大二第一個(gè)學(xué)期開出，而離散數(shù)學(xué)（二）在大四第一個(gè)學(xué)期開出。這種學(xué)習(xí)方法可以減低學(xué)習(xí)的難度，內(nèi)容可分為必學(xué)與選學(xué)兩個(gè)學(xué)期開出，對(duì)于普通學(xué)生只要夠用就行，而對(duì)一些想要深造的學(xué)生，就要給他們提供深入的知識(shí)。

3 采用形式多樣的教學(xué)方法

離散數(shù)學(xué)的概念、結(jié)論繁多，理論性和邏輯性強(qiáng)，包含了大量抽象且需要記憶的內(nèi)容。要想提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果，教師要探討可行的、先進(jìn)的教學(xué)方法，合理準(zhǔn)備和優(yōu)化安排教學(xué)方式如下。

3.1 內(nèi)容講解清楚易懂，主次分明

課堂講授時(shí)，語言簡潔明了，通俗流暢，速度快慢得當(dāng)，內(nèi)容講解由淺入深，循序漸進(jìn)，主次分明，合理地分配講解時(shí)間，重難點(diǎn)精講、細(xì)講，認(rèn)真分析，對(duì)于比較容易理解和掌握的內(nèi)容，可以一筆帶過，比如，集合論基礎(chǔ)的很多內(nèi)容在中學(xué)數(shù)學(xué)中已經(jīng)學(xué)過，所以只要回歸以下就可以了，重點(diǎn)放在用集臺(tái)論的方法解決實(shí)際應(yīng)用問題上，圖論部分重點(diǎn)放在基本概念的理解和實(shí)際問題的處理上，代數(shù)系統(tǒng)這部分內(nèi)容要在代數(shù)系統(tǒng)、群、子群、循環(huán)群、變換群、正規(guī)子群的概念及相關(guān)問題的理解上下功夫，特別要掌握同構(gòu)和同態(tài)的概念及應(yīng)用，對(duì)于其它的代數(shù)系統(tǒng)如環(huán)、域及布爾代數(shù)則可以略講。同時(shí)，注重理論的理解，推行研究型教學(xué)。教學(xué)過程中要把很多概念、定理需要把證明的方法告訴他們，而不是只告訴學(xué)生結(jié)論。

3.2 課堂教學(xué)注意歸納總結(jié)

離散數(shù)學(xué)的內(nèi)容比較多而且還散，所以要充分挖掘各章節(jié)內(nèi)容之間縱向與橫向的聯(lián)系，揭示出不同知識(shí)之間的相同內(nèi)涵。一般離散數(shù)學(xué)都是安排兩節(jié)課，第一節(jié)課開課前對(duì)上一次課的內(nèi)容進(jìn)行小結(jié)，第二節(jié)課開課前對(duì)第一節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行小結(jié)，每節(jié)、每章講完后適當(dāng)進(jìn)行小結(jié)。例如，通過對(duì)一些抽象的和難以記憶的重要知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)發(fā)現(xiàn)，離散數(shù)學(xué)討論的內(nèi)容大多以靜態(tài)（基本概念）與動(dòng)態(tài)（運(yùn)算、操作、推理） 這條主線貫穿始終，這就是，集合論中是元素（靜態(tài)）及其上的運(yùn)算（動(dòng)態(tài)）；代數(shù)系統(tǒng)中是集合（靜態(tài)）及運(yùn)算（動(dòng)態(tài)）；數(shù)理邏輯中是公式（靜態(tài)）和推理（動(dòng)態(tài)）。又比如，在講完代數(shù)系統(tǒng)這部分內(nèi)容時(shí)，可在前一個(gè)概念的基礎(chǔ)上增加一個(gè)性質(zhì)（封閉性、結(jié)合性、幺元、逆元），依次闡述代數(shù)系統(tǒng)、半群、含幺半群、群這幾個(gè)概念，并進(jìn)行小結(jié)，讓同學(xué)們?cè)谛〗Y(jié)中對(duì)自己所掌握的知識(shí)點(diǎn)理清頭緒，輕松掌握這幾個(gè)容易混淆的概念。

3.3 加強(qiáng)師生互動(dòng)和雙向交流，重視學(xué)生作業(yè)及課堂測(cè)驗(yàn)

為了隨時(shí)檢驗(yàn)課堂內(nèi)容的教學(xué)效果，打破沉悶的課堂氛圍，讓同學(xué)專注于該門課程的學(xué)習(xí)，在課堂教學(xué)過程中，教師要注意師生互動(dòng)，實(shí)現(xiàn)雙向交流，創(chuàng)設(shè)有意思的問題情境，多用些提問式、疑問式、反問式的語句，有針對(duì)性地提問和展開討論，以吸引學(xué)生的注意力，培養(yǎng)學(xué)生自主分析問題、解決問題的綜合能力，從而使教學(xué)達(dá)到最佳效果。同時(shí)，想要深刻的了解學(xué)生的掌握內(nèi)容的情況，還可以在講完每一部分內(nèi)容之后就少量重點(diǎn)或難點(diǎn)問題進(jìn)行課堂測(cè)驗(yàn)，把測(cè)驗(yàn)成績作為平時(shí)成績的重要部分（該門課的考核成績由平時(shí)成績和考試成績按一定比例組成），給學(xué)生施加一定的學(xué)習(xí)壓力，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和主動(dòng)性。此外，教師課后要給學(xué)生布置一些少而精的習(xí)題，并認(rèn)真仔細(xì)批改學(xué)生作業(yè)習(xí)題，及時(shí)總結(jié)前一個(gè)階段的習(xí)題及學(xué)習(xí)情況，把作業(yè)里普遍出現(xiàn)錯(cuò)誤的問題拿到課堂上討論解答，課后幫助學(xué)生解答一些模糊不清的知識(shí)，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解。

3.4 有效利用多媒體教學(xué)手段與網(wǎng)絡(luò)資源

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展與普及，網(wǎng)絡(luò)上視頻教學(xué)材料、教案、習(xí)題等各種教學(xué)資源應(yīng)有盡有，在教學(xué)過程中引入網(wǎng)絡(luò)課件已逐漸成為一種時(shí)尚?！峨x散數(shù)學(xué)》的相關(guān)專題都是建立在大量的定義、定理基礎(chǔ)上的，若采取多媒體手段制作課件，既能用更加生動(dòng)直觀的圖、表來表達(dá)內(nèi)容，將概念、理論提出的背景以及在計(jì)算機(jī)技術(shù)中的應(yīng)用介紹給學(xué)生，讓學(xué)生可以更深刻的理解其中意義，可以讓老師采用傳統(tǒng)的“黑板、粉筆”方式與現(xiàn)代多媒體相結(jié)合的辦法，從大量的板書中擺脫出來，讓老師可以有更多機(jī)會(huì)與學(xué)生進(jìn)行互動(dòng)和交流。另一方面，通常一到兩名教師承擔(dān)離散數(shù)學(xué)這門課程，教學(xué)任務(wù)較為繁重，外出進(jìn)修、交流的機(jī)會(huì)較少，教師可以充分利用豐富多彩的網(wǎng)上教學(xué)資源和教學(xué)手段，采用別人的先進(jìn)成果，擴(kuò)大知識(shí)面，不斷提高自己的業(yè)務(wù)素質(zhì)和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，進(jìn)而更好地組織離散數(shù)學(xué)的教學(xué)活動(dòng)。

4 結(jié)語

離散數(shù)學(xué)的教學(xué)離不開其在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用，而計(jì)算機(jī)科學(xué)的深入發(fā)展亦離不開離散數(shù)學(xué)。教無定法，要把離散數(shù)學(xué)這門課程教好，就要充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用，提倡以學(xué)生為本的高度負(fù)責(zé)的精神，認(rèn)真掌握教學(xué)規(guī)律，合理安排教學(xué)內(nèi)容，不斷研究和采用新的教學(xué)方式，借助于現(xiàn)代化教學(xué)手段，最大限度地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，達(dá)到教與學(xué)相和諧，教學(xué)水平和質(zhì)量均提高的

目的。

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