楊旭

摘 要：回顧數(shù)學紛繁復雜的發(fā)展歷程，是什么力量推動了數(shù)學的發(fā)展，使數(shù)學歷經(jīng)幾千年發(fā)展到今天如此進步的程度，該文從三個方面闡述了推動數(shù)學發(fā)展的源動力，數(shù)學是依社會生產(chǎn)矛盾運動、數(shù)學內部矛盾斗爭、數(shù)學家不懈追求而發(fā)展，只有正確看待數(shù)學發(fā)展的源動力才能更好的傳承與發(fā)展數(shù)學事業(yè)，為人類造福。

關鍵詞：數(shù)學 社會生產(chǎn) 矛盾斗爭 數(shù)學家

中圖分類號：O1-0 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2012）12（a）-0-02

橫看中西、縱觀千年的世界數(shù)學發(fā)展歷程，在我們面前展現(xiàn)出一幅波瀾壯闊的景象，一條條涓細之流從源頭出發(fā)，會聚無數(shù)支流，勢不可擋，形成現(xiàn)在洶涌澎湃的數(shù)學大河，追溯數(shù)學發(fā)展的源動力在哪里？經(jīng)過我多年的研究得出如下結論。

1 數(shù)學依賴于社會生產(chǎn)矛盾運動而發(fā)展

數(shù)學是反映客觀世界的數(shù)量關系與空間形式的一門科學，它的發(fā)生與發(fā)展是建立在生產(chǎn)之上的，當生產(chǎn)力水平與人們的現(xiàn)實愿望出現(xiàn)矛盾時，數(shù)學便產(chǎn)生并不斷的發(fā)展。

數(shù)和形的概念可追溯至原始社會，由于當時社會生產(chǎn)力水平極低，雖然經(jīng)過近萬年的緩漫發(fā)展，但只累積了零散的、萌芽狀態(tài)的數(shù)學內容。直至奴隸社會鼎盛時期的古希臘，生產(chǎn)力水平已有較大提高，此時幾何學在生產(chǎn)實踐中才得到飛速的發(fā)展。在文藝復興時期航海得到迅速發(fā)展、機械得到廣泛使用、我國四大發(fā)明遠播西方，由此促進了西歐生產(chǎn)力水平快速發(fā)展，同時也使得自然科學得到迅猛發(fā)展，此時代數(shù)學在意大利這個封建王朝中取得了驕人的發(fā)展。17世紀歐洲隨著生產(chǎn)力水平提高，力學與技術水平得到了較大提高，為適應社會生產(chǎn)的需要，從更高層次向數(shù)學提出了新的要求與挑戰(zhàn)，把運動問題作為數(shù)學研究主要方向，從而產(chǎn)生變量的觀點，進而函數(shù)概念就產(chǎn)生了，隨后產(chǎn)生了數(shù)學的兩個重要研究領域，即解析幾何、微積分。

解析幾何與微積分的基本理論在生產(chǎn)中得到運用，它符合生產(chǎn)與技術的一些現(xiàn)實的客觀要求，在短時間內使數(shù)學取得極其輝煌的成就，在古代已出現(xiàn)樸素的極限思維，但由于生產(chǎn)力水平低、科技水平不高，所研究的領域多駐足于靜力學與固定不變的范疇內，沒有產(chǎn)生變量的觀念與微積分思想的社會基礎。1705年蒸汽機在物理學家紐可門的研制下獲得了使用，近代蒸汽機于1768年在瓦特研制下成功了，在此掀起了人類歷史上第一次工業(yè)革命，使社會生產(chǎn)力水平得到空前提升，繼而數(shù)學在18、19世紀出現(xiàn)大發(fā)展的格局。，生產(chǎn)力與科學技術在20世紀40年代逐漸得到較快發(fā)展，第一顆核彈于1945年爆炸、同時計算機得到應用；人造地球衛(wèi)星于1957年升空，繼而在超高壓、超高溫、宏觀、微觀的研究領域都得到突破，現(xiàn)代數(shù)學也因此得到了神速發(fā)展，都取得了豐碩成果。有許多科學家對1940年以后的數(shù)學做出的成就給出極高的評價，它完全超出了自古希臘至上個世紀四十年代期間的長達近2000年數(shù)學所取得的成就。純數(shù)學領域做出了重大成就，數(shù)學的邊緣學科開辟了一些新的領域，例如規(guī)劃論、計算數(shù)學、運籌學、對策論、控制論、信息論、經(jīng)濟數(shù)學、生物數(shù)學等等，隨著上述學科的出現(xiàn)系統(tǒng)科學獲得深入，同時也產(chǎn)生了多種數(shù)學新思維、新思潮，例如標準分析、模糊數(shù)學、構造數(shù)學、結構數(shù)學、計算機科學、突變理論等，機器證明與人工智能也相繼獲得重大突破。人類對自然界的各種現(xiàn)象的了解是隨著生產(chǎn)力水平的提高得到逐步深入，通過科學史的研究就發(fā)現(xiàn)了這個艱辛的歷史過程。在數(shù)學領域面里2000多年前就已經(jīng)將精確數(shù)學作為確定現(xiàn)象進行了研究；四百多年前開始將隨機數(shù)學作為隨機性現(xiàn)象進行了研究，如在工業(yè)革命時期生產(chǎn)中遇到的產(chǎn)品質量檢驗問題，極大的推動了統(tǒng)計學、概率等數(shù)學分支學科的發(fā)展；20多年前開始將模糊數(shù)學作為對模糊性現(xiàn)象進行研究，毋庸置疑，如果沒有電子計算機技術的發(fā)展，一定沒有模糊數(shù)學的產(chǎn)生。

階級斗爭、生產(chǎn)斗爭與科學實驗作為人類社會的三個矛盾運動，它們中生產(chǎn)斗爭將起到?jīng)Q定性的作用。人類社會生產(chǎn)以不同的方式向數(shù)學提出新問題、明確數(shù)學發(fā)展方向、為數(shù)學提供新的發(fā)展條件三個方面推動數(shù)學向前發(fā)展，類似于把顯微鏡提供給生物學家、把望遠鏡提供給天文學家一樣，正因為生產(chǎn)和科技將電子計算機提供給了數(shù)學家，從而推動了近代數(shù)學的在繁榮。數(shù)學理論雖然具有抽象性，但它最有力最深刻的描述了現(xiàn)實世界的數(shù)量關系與空間形式，所以在自然和社會科學、技術領域與社會生產(chǎn)實踐中數(shù)學知識得到更加廣泛的應用，對我們認識和改造自然發(fā)揮著極其重要的作用，它體現(xiàn)了在社會生產(chǎn)發(fā)展過程中數(shù)學內容對其起到巨大影響的反作用力，同時數(shù)學理論的真理性也得到了檢驗。數(shù)學不可能脫離社會生產(chǎn)的進步而獨立存在，一般情況下數(shù)學依賴于社會生產(chǎn)，因此彼此的發(fā)展與進步總體上是相適應，與社會生產(chǎn)相比數(shù)學發(fā)展有獨立性，時而落后或時而超越社會生產(chǎn)的進步。如公無前三世紀出現(xiàn)的二次曲線在經(jīng)過近兩千年塵封以后在行星運動中得以應用；非歐幾何出現(xiàn)后經(jīng)過近100年在相對論中得以應用；數(shù)理邏輯出現(xiàn)后在經(jīng)過一百年在計算機領域中得以廣泛運用，類似數(shù)學理論超越社會生產(chǎn)要求之前出現(xiàn)，是純粹數(shù)學本身矛盾運動所帶來的結果。

2 數(shù)學依賴于其內部的矛盾斗爭而發(fā)展

數(shù)學內部矛盾斗爭是其發(fā)展歷程的顯著特征，它是推動數(shù)學向前發(fā)展的源動力之一。

數(shù)學研究對象是世界的空間形式與數(shù)量關系，建立在純粹意義上為了探究空間形式與數(shù)量關系，就必須超越現(xiàn)實世界的束縛，但形式脫離了內容的發(fā)展是不存在的，所以數(shù)學為了實現(xiàn)這種割裂，必須按它的本質企圖去探索，此種根本矛盾是數(shù)學之本質，也是在數(shù)學領域的特殊體現(xiàn)，在不斷解決與重復此種矛盾的過程中，使認識逐漸趨于現(xiàn)實，以此數(shù)學不斷地前行，使數(shù)學由簡單至復雜，由低級到高級發(fā)展。自然數(shù)得到最早認識，經(jīng)過斗爭才出現(xiàn)零與負數(shù)，如不引進這些數(shù)，那么遇到數(shù)的減法就不能完成；除法是在引進分數(shù)后使乘法有了逆運算而產(chǎn)生的，從此解決了許多實際問題；接著又遇到了是否所有的數(shù)量都可以用有理數(shù)來表示的問題，最終出現(xiàn)了無理數(shù)，化解了數(shù)學第一次危機，使邏輯學得到發(fā)展與幾何學達到系統(tǒng)化；求方程解的過程引入了虛數(shù)，當時被人們認為不現(xiàn)實，但它解決了實數(shù)所不能完成的問題，為虛數(shù)爭取到存在意義；同樣由歐幾里得幾何發(fā)展到多種幾何體系也數(shù)學內部的矛盾運動的結果。由于許多問題用傳統(tǒng)方法解決不了以至于給數(shù)學帶來了極大的沖擊，如在19世紀發(fā)現(xiàn)五次以上代數(shù)方程不可由加、減、乘、除、開方求其解；解決古希臘的幾何學中三大問題不可由圓規(guī)與直尺作圖來完成等，這些結論說明了使用傳統(tǒng)方法的局限性，要想使人類認識得到深入，數(shù)學完全轉變了它的研究方向，如抽象代數(shù)取代了代數(shù)學，分析和計算數(shù)學取代求解方程的根。類似情況在第三次危機中也有多次顯現(xiàn)，如整數(shù)算術形式系統(tǒng)具有不完整性、諸多問題具有不可判定等都提高了人們的認識水平，數(shù)理邏輯也得到了很好發(fā)展。

無窮小量的矛盾反映了數(shù)學內部有限和無限的沖突；集合論與數(shù)理邏輯涉及到無限集合，而數(shù)學離開無限集合就行不通，僅考慮可數(shù)集合或有限集合是極端觀點，如果只這樣思考，那么絕大部分數(shù)學就不存在了，如使用計算機做四色定理的證明，它也要把無限多種情形的地圖歸納為有限的情況，計算機對無限的情形也是做不到的，所以數(shù)學將永遠無法回避有限和無限這個矛盾。

數(shù)學中有應用上清楚和邏輯上嚴格之間的沖突，對此注重實用的人盲目去應用，但注重嚴密的人提出許多批評，只有兩者達成一致，矛盾才得以解決，如最初只是形式演算的算符演算和δ函數(shù)得到盲目應用，直到出現(xiàn)廣義函數(shù)論的嚴格系統(tǒng)。在數(shù)學中兩種重要趨勢一直受到關注，即學科不斷分化與學科不斷綜合的趨勢，兩者的矛盾辨證運動是否定之否定歷程，到19世紀末學科分化達到很精細程度，幾何、代數(shù)、分析等已出現(xiàn)各自不同的發(fā)展領域，學科之間的聯(lián)系不夠緊密，它們在語言、理論、方法等可以不相通，數(shù)學沒有統(tǒng)一的圖景。從克萊因用“群”的思想統(tǒng)一了幾何，至康托爾奠定公理化和集合論，數(shù)學逐步由分化又走向了綜合，對數(shù)學的認識越是理解整體的諸多方面，就能更好的把握整體。有人試圖把目前的數(shù)學進行統(tǒng)一，但這種統(tǒng)一是相對與暫時的，隨生產(chǎn)與科技的進步，又會產(chǎn)生新的數(shù)學分支，形成新的分化，就是在分化與綜合中數(shù)學不斷得到發(fā)展。

3 數(shù)學依賴于數(shù)學家們不懈追求而發(fā)展

《疇人傳》中記載中國眾多的數(shù)學、天文學家的傳記，例如僧一行是唐朝著名的數(shù)學與天文學家，他將天文學和數(shù)學統(tǒng)一起來，他的二次內插法公式的研究是世界上最早的，他對北極高度與日影長度的觀測是世界上首次對子午線的測量，創(chuàng)立“開元大衍歷”，對我國歷法做出重大成績，得到后人的稱頌。我國南北朝時期數(shù)學家祖沖之在世界上享有盛名，他將圓周率π精確至6位小數(shù)當屬世界最早，這個成果創(chuàng)下近千年世界記錄，他自小對數(shù)學與天文學有深厚興趣，苦讀專研，不時提出大膽設想，再經(jīng)過實踐進行驗證。祖沖之與其子合編數(shù)學名著《綴術》，被當時唐朝選定為學校教學用書，后來朝鮮、日本也將其作為學校課本。世界人民對祖沖之在數(shù)學上的貢獻給出很高評價，他的塑像矗立在莫斯科大學受到人們的敬仰，并將月球上一座山脈命名為祖沖之環(huán)形山，名揚海內外。在我國數(shù)學史上著名數(shù)學家梅文鼎（1683—1721年）自幼酷愛數(shù)學與天文學，從29歲起數(shù)十載不斷的學習和研究，成為十七世紀末期我國最有影響的數(shù)學家，他在歷法上專研我國古代70多家歷法，并和西方歷法統(tǒng)一研究，在數(shù)學上提出筆算、籌算、對數(shù)、三角等，后來又研究方程和勾股諸術，終成大器，自成一派，他的著作《勿庵歷算書目》多達二百多卷，在這些著作中數(shù)學著作占據(jù)大半，它包含初等數(shù)學的各分支學科。梅轂成是他的孫輩，自幼向他學習數(shù)學，受到良好的數(shù)學熏陶，23歲時他進宮學天文與數(shù)學，撰寫《數(shù)理精蘊》，并把他祖父的共60卷成果匯編成《梅氏叢書輯要》，自己所著數(shù)學書40卷，如這樣的大有作為的數(shù)學世家在全世界數(shù)學發(fā)展歷程中也是少見的，完全可與當時的瑞士伯努里家族相提并論。

數(shù)學史中瑞士數(shù)學家歐拉（1707—1783年）一生中共發(fā)表500多篇論文，在他離世后又相繼發(fā)表了他留下的多篇手稿，這樣他發(fā)表的數(shù)學著作多達886篇之多，可謂是一位高產(chǎn)作家，歐拉用畢生的精力全部投入到數(shù)學研究之中，所觸及的范圍較廣，1735年他左眼不幸失明；1766年右眼也失明，所有這些困難都沒有妨礙他對數(shù)學孜孜不倦的追求，雙目失明的歐拉在他人的幫助下，記錄下他數(shù)學研究的成果，憑借自己僅存的記憶力，艱苦頑強的進行研究，在最嘈雜的環(huán)境中他也能將精力高度集中于數(shù)學創(chuàng)造。讓人感受到欽佩與驚訝的是歐拉不只學術專著極多，而且他的專著中語言通俗易懂，所使用的數(shù)學符號簡潔明快，例如用f（x）代表函數(shù)關系，e是常數(shù)且代表自然對數(shù)底，小寫字母a、b、c代表ΔABC三個內角的對邊，大寫符號∑代表和式，符號i表示虛單位……這些記號都被后人所沿用。又如最美妙的數(shù)學公式歐拉公式，它與最重要的五個常數(shù)π、e、i、0、1相聯(lián)系，歐拉受到后來眾多數(shù)學家們的敬仰與懷念，他是一切人的導師，給他以極高的評價。

數(shù)學發(fā)展史中希臘的數(shù)學家泰奧思之女希帕提亞（310—415年）當屬第一位女數(shù)學家，她撰寫了評注書是有關阿波羅尼與丟番圖的。女數(shù)學家中最偉大的當屬德國的生于猶太家族數(shù)學世家的諾特，諾特在1900年就讀于愛爾蘭根大學，在大學1000多名學生中只有兩位是女性，諾特在博士導師的指導下寫了《三元雙二次型不變量的完全系》論文，諾特于1916年去了哥廷根，此時數(shù)學家希爾伯特正在研究廣義相對論，在此諾特做了很多工作，后人對她的貢獻給予很高的評價，但是在大學里對婦女有歧視，希爾伯特曾幾次向學校提出授予諾特講師，但是在格廷根召開的哲學教授會議對此請求堅決反對，諾特于1919年到1922年間走上了一條特殊的發(fā)展之路，在環(huán)中選擇理想論為研究對象，她在抽象代數(shù)領域做出了重大貢獻，她在代數(shù)學派的代表著作是一般理想論，諾特于1922年獲得特別教授稱號，因為猶太人遭到納粹分子的迫害，諾特于1933年去美國作教師，于1935年去逝。后來著名物理學家愛因斯坦對諾特在代數(shù)學中貢獻給予很高評價，諾特是最有創(chuàng)造性的最重要的女性數(shù)學天才。

布爾巴基學派對現(xiàn)代數(shù)學有較大的影響，在第一次世界大戰(zhàn)后期法國數(shù)學界青黃不接，后繼無人，面對德國與蘇聯(lián)數(shù)學快速發(fā)展以及紅極一時的波蘭學派法國數(shù)學落后了。在1924年前后一批十八九歲的有志青年包括狄多涅、亨·嘉當、韋伊等人，這些人不滿法國數(shù)學發(fā)展現(xiàn)狀，決心發(fā)動數(shù)學革命以振興法國，他們把研究的范圍拓展到“函數(shù)論王國”之外，他們嚴謹治學，如饑似渴的閱讀，深入研討最新的數(shù)學成果，掌握數(shù)學發(fā)展中出現(xiàn)的新概念，他們走出國門傾聽國外數(shù)學家的演講，學習數(shù)學前沿內容。由于他們目標明確、措施得力，不久就形成自己獨創(chuàng)的數(shù)學思想“數(shù)學結構的觀點”，對拓撲空間、代數(shù)幾何、可換環(huán)、泛函分析、多復變函數(shù)論、李群等數(shù)學相關領域做出杰出貢獻，對現(xiàn)代純數(shù)學研究的最新成果予以高度概括，推動法國數(shù)學研究水平并轟動全世界。布爾巴基學派所具有的創(chuàng)造與開拓精神確實令后人欽佩，他們中一大批數(shù)學家的科研態(tài)度是十分嚴謹?shù)?，一本?shù)學著作有時推倒后重新撰寫十次，經(jīng)過多次校對后才去發(fā)表，如《數(shù)學原本》中的第一章節(jié)內容就花費了整30年才得以正式發(fā)表。這些數(shù)學家們對自己的學問嚴格要求，一絲不茍，他們既有深厚的數(shù)學興趣與情感、淵博的學識和寬厚的數(shù)學基礎，還要具有數(shù)學獨立研究的精神，把數(shù)學作為自己崇高的使命，這些因素是他們在數(shù)學上取得巨大成績的主要原因。

以古今中外數(shù)學家們在推動數(shù)學事業(yè)發(fā)展過程中所煥發(fā)出來的寶貴的精神力量，化作我們寶貴財富，以推動我們各項事業(yè)的發(fā)展。

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