張清華 陳六新 李永紅

摘要：該文介紹了課題組在圖論及其應用課程的教學改革、教材建設和網站建設等方面的建設思路和方法。在圖論及其應用課程的教學改革方面，論文從分類教學、探究方式學習教學等方面進行了闡述；在教材建設方面，提出了凸顯具有較強課程體系、突出研究前沿、注重學科交叉滲透、強化學科應用等特點的教材編寫思路。

關鍵詞：圖論；教學改革；課程建設；分類教學

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2012）34-8235-03

圖論及其應用是現(xiàn)代數(shù)學的一個重要分支，在自然科學、社會科學、機械工程中有重要的意義，生活中的大量事物之間可用圖來描述，如交通圖、規(guī)劃圖、調度圖、關系圖等。圖論的發(fā)展歷經大體上可以劃分為三個階段[1]：第一階段是萌芽階段，大約是從1736年到十九世紀中葉，歐拉提出的哥尼斯堡的七橋問題是最具代表性的工作；第二階段是發(fā)展階段，大約從十九世紀中葉到二十世紀中葉，圖論相關問題得到研究者關注，如1852年的四色問題和1856年的漢密爾頓問題；第三階段是二十世紀中葉到現(xiàn)在，大量的生活中的問題如生產管理、交通運輸、通信、計算機等領域提出了一系列圖論問題[1]。特別是現(xiàn)代生活中，計算機的普及使得復雜問題的求解成為可能，圖論及其求解思想滲透到自然學科的各個領域，如運籌學、IT科學、控制論、社會科學和經濟學等不同領域。圖論越來越受到研究者廣泛的重視，并得到包含數(shù)學家在內的各個學科研究者的廣泛關注，各種國際學術交流活動十分活躍。

由于圖論的可視化數(shù)據(jù)結構可以對自然科學和社會科學中許多問題進行描述和建模，越來越多的高校把它單獨作為一門課程來開設，特別是研究生教育的大規(guī)模發(fā)展，圖論及其應用這門課程在很多工科高校中得到重視。當前，國內許多高校已為信息與計算科學、計算機科學與技術、信息工程、控制與管理科學等學科的研究生開設了圖論課程[2]。我校通信類、計算機類、自動化類、經管類、物理類、系統(tǒng)科學類等學科的研究生培養(yǎng)方案把《圖論及其應用》作為學位課來開設。教學規(guī)模逐年擴大，每年有近600人愿意修這門課程，而大約有400人成功選課，受益面非常廣泛。由于圖論課程具有基本理論嚴謹、系統(tǒng)性強、高度抽象、方法靈活、強調算法、證明方法奇特等特點，而且研究內容廣泛且解決問題的方法千變萬化。這些都給教學帶來一定的困難，如不加以探討和改進，勢必影響這門課程的教學效果。因此，必需對圖論課的教學進行探討。我們從在圖論的教學內容、教學形式、教材建設等方面積極探索與實踐，逐步形成了一套適合本科生或研究生學習的教學方法和教學模式。下面簡單介紹這些方法，希望能夠與同行共勉。

1圖論課程的教學現(xiàn)狀和存在問題

當前，圖論課程教學雖然取得了長足的進步，基本能夠適應學生對課程基本知識的需求。但是，在課程建設、教材建設、信息化建設、師資隊伍建設等方面相對比較滯后，特別是作為以信息學科為特色的教學研究型大學的本科生的選修課，也是我校研究生教育的一門公共基礎課，該課程的教學存在一些問題。

1.1教學內容陳舊

當前，我校圖論課程或離散數(shù)學的圖論部分的教學內容重理論、輕應用。圖論課程有概念多、公式復雜和定理難證明、難理解等問題，在一定程度上造成教學難，證明抽象度高，學生難以理解，學生不能真正理解圖論思想，更談不上靈活運用圖論知識來解決各種實際問題。多數(shù)授課方式都是采用先講概念，然后用大部分時間來講解定理及其證明，這主要源于圖論的任課教師多數(shù)都是數(shù)學教師的緣故。但這種以概念定理為主的教學方式對圖論這門的課程來說不太適合，它會使學生感到圖論的學習非?？菰铩Ｆ浯?，評價學生圖論課程學習的好壞，仍然是以傳統(tǒng)的筆試為主，試題主要以例題或習題為樣題。而我校相關專業(yè)的研究生學習圖論這門課主要是通過圖論中各種算法的學習來培養(yǎng)自己的編程能力或提高解決問題的能力。在教學內容上，我校圖論課程的教學側重于圖論知識體系介紹和定理證明，對圖論前沿的研究型課題的介紹相對較少，沒有很好的激發(fā)學生學習后的創(chuàng)新思考。

1.2圖論教學沒有很好地體現(xiàn)學科之間的滲透思想

圖論課程是在不同學科發(fā)展基礎上衍生形成的，它在很大程度上具有學科交叉、相互滲透的特點，因此圖論的產生和發(fā)展得益于各學科的交叉與滲透以及各個學科對圖的需求，如“樹”就是來源于化學、電子學和純數(shù)學[3，4]。圖論提供的理論和方法應用于不同學科，特別是我校的計算機學科和通信學科。各學科的發(fā)展和需求又為圖論提供新的概念、新的課題、新的研究方法和新的研究目標，推進圖論的理論發(fā)展。但目前來講，由于教師專業(yè)方向的限制，我們的教學主要圍繞圖論的基本數(shù)學理論，缺乏內容上的交叉和滲透，使得教學有些枯燥乏味，有的學生是為了應付學分而選課。

1.3圖論教學改革缺乏創(chuàng)新

當前，我校研究生教育發(fā)展迅速，專業(yè)對圖論課程知識的需求日益凸顯，圖論課程的重要性得以提高。但是由于師資隊伍發(fā)展相對較慢，而且對任課教師的專業(yè)要求較高，整個教師隊伍的教學方法還有待優(yōu)化，教師授課基本沿襲本科的教學模式，即“理論+證明+例子”的傳統(tǒng)教學模式，它不利于調動學生學習積極性，也不能體現(xiàn)這門課程的應用性和學科交叉性，教材上的例題有些陳舊，且形式固化，很少能夠與研究生的專業(yè)問題結合起來，幾乎沒有體現(xiàn)專業(yè)的需求和差異。

鑒于上述這些問題，圖論的教學改革迫在眉睫。學校高度重視“圖論及其應用”和“離散數(shù)學”課程的建設，設立專項的研究生創(chuàng)新計劃，以重點項目的形式對“圖論及其應用”課程進行專項建設，希望獲得階段性和實質性的結果，推動圖論及其應用課程的教學改革，提高本科和研究生的教育教學質量。

2圖論教學改革的思考與探索

針對我校圖論教學中存在的諸多問題，我們成立了專門的課題組，對該課程進行重點建設，在教學改革、教材建設、網站建設等方面進行了思考和探索。

2.1教學改革

“圖論及其應用”作為研究生后續(xù)課程如“算法分析與設計”、“算法復雜性分析”、“運籌與控制”、“信號分析”、“人工智能”、“網絡優(yōu)化”等的先修課程，也作為本科專業(yè)高年級的選修課，其重要性也是不言而喻的，很多研究生導師也要求學生選擇這門課程。針對我?！秷D論及其應用》這門課程中概念比較多、論證方法獨特而又千變萬化的特征，再加上課時短（48學時），而且選修的學生遍及全校幾乎所有的研究生專業(yè)和不同學科和層次（本科階段有的同學沒有學過），這些都給教學帶來相當?shù)睦щy，對這門公共基礎課進行教學改革是我校研究生教學改革的重要方向。課題組在以下幾方面試行教學改革嘗試。

2.1.1摸清學生底細，求同存異

作為一門研究生一年級的公共基礎課，面對不同層次和專業(yè)（學科）的學生，求同存異是我們必然的選擇?！扒笸庇袃蓚€方面的意思：一是盡管學生們各自情況不同，但要選修這門課應有一個基本的公共要求，這就是要求學生掌握圖論中的基本概念和結論以及基本方法。二是摸清學生選修該課程的共同興趣，為解決第一個問題，我們將在課堂教學上把主要精力放在基本概念的講解上和透析上，著重在于方法的剖析和應用。為此，我們在教學中注重引入大量的實例使同學們首先弄清這些基本概念和圖論中常用的基本方法，適當補充一些如狼羊過河、郵遞員問題、作色問題等有趣味的問題，增加課程的科普性和應用性。同時，對一些難度較大的定理證明采用具體圖例，講清論證方法的基本思路和一些可能會使學生感到困難的關鍵地方?！按娈悺笔橇幈Ａ敉瑢W們對圖論這門課程知識需求的不同。在講課時，我們將圖論的知識點剖析后，收集和整理出這個知識點在不同學科中的應用，給學生拋出來，讓他們根據(jù)自己的專業(yè)在課下去深究。如講到最優(yōu)二叉樹時，我們可以引出通信的編碼問題，讓通信方向的學生自己去完善。因此，課堂上著重講解使學生普遍感興趣的應用，而專業(yè)性較強的應用，指出方向，讓學生自己查閱文獻去理解和學習。

2.1.2針對專業(yè)需求，分類授課

由于我校研究生《圖論及其應用》課程是公共基礎課程，不同專業(yè)的需求和基礎不同，為此，課題組試圖分專業(yè)授課，增強授課的針對性，提高學生的學習質量，做到有的放矢。具體思路是，通過前幾屆學生選課情況的調查，并調研相關學院分管研究生教學的領導和部分代表性的研究生導師，了解相關學院和專業(yè)對《圖論及其應用》課程的基本要求和專業(yè)要求。然后根據(jù)專業(yè)需求的不同，我們課題組將進行分組備課和分組教學，對基本的圖論知識進行整體講解，對不同專業(yè)需求的內容進行分組教學，最簡單的操作方法是讓學生盡可能根據(jù)專業(yè)需求和研究需求選課，我們課題組將公布不同教師的教學傾向和特點以及專業(yè)背景，讓學生充分了解我們的意圖，讓圖論課既有基礎知識的學習，由于專業(yè)需求的深入教學，著力提高研究生教學質量。另外，我們試圖開展專題講座和討論會的方式，來解答和討論同學們提出的問題。對個別同學可以采用答疑、提供參考文獻等方法來滿足他們的求知渴望。

2.1.3從接受學習到探究學習

教師如何將圖論及其應用課程傳統(tǒng)的接受學習方式轉變?yōu)樘骄繉W習方式，從而提高學生的積極性，提高教學效率，是本課題組的嘗試研究的一個重要內容。所謂接受學習[6]是以聽講和練習為主要方式的學習方式，以突出教學的結果為標志。在接受學習中，學習的主要內容是以定型的形式呈現(xiàn)給學習者的。因此接受學習是本科階段的普遍教學方法，對于研究生來講，面對知識總量不斷增加，知識更新日益加快的當今社會，僅僅掌握一些基本的知識是遠遠不夠的，因此，用這種學習方法為研究生教學無法實現(xiàn)研究生創(chuàng)新能力培養(yǎng)的目標。所謂探究學習指的是學生構建知識體系，形成科學研究方法的各種活動[6]。因此，在研究生的圖論及其應用課程的教學過程中，引導學生探究學習的是本課題的重點。課題組試圖研究《圖論及其應用》的探究學習教學模式，旨在培養(yǎng)研究生的創(chuàng)新意識、應用知識的遷移能力、對待事實證據(jù)的科學態(tài)度、對科學探究所需要的多種能力。

2.2教材建設

教材建設是課程建設的重要工作。課題組認為當前的教材雖然內容豐富，但有的內容過于理論化，有的內容體系復雜，對我校相關專業(yè)不太合適，有的內容過于簡單，在一定程度上不能滿足我校研究生教學的需求。為此，既要考慮到我校研究生的專業(yè)需求，又要結合研究生具有求知欲望強烈、勇于鉆研的特點，同時兼顧各學科學生修課需要，我們正在組織編寫一本深度和廣度適中且具有我校特色的研究生“圖論及其應用”課教材。課題組在為本科生多年開設離散數(shù)學和為研究生開設圖論及其應用的教學實踐基礎上，試圖編寫“圖論及其應用”新教材。該教材有以下幾個特點。

2.2.1突出現(xiàn)代特色，推出學科前沿課題

我們根據(jù)圖論的本質和發(fā)展趨勢，特別是信息學科的發(fā)展趨勢和最新研究動態(tài)，重新編寫教材，力爭引進與我校學科相關的圖論最新進展，強調圖論在信息科學中的應用，特別結合通信背景、計算機背景、控制與自動化背景、光信息背景等介紹相關圖的新理論，如Petri網與網絡流的內容，增加哈弗曼編碼及其應用的內容。從而引入學生去深入研究和討論，激發(fā)學生的創(chuàng)新欲望和求知欲。

2.2.2各學科的交叉和滲透

課題組通過多年的教學和調研發(fā)現(xiàn)目前的《圖論及其應用》教材主要介紹圖論在數(shù)學其他領域（如組合數(shù)學、矩陣論、拓撲學、群論、運籌學等）的應用，對信息學科中的應用介紹相對較少。本課題將在新的教材中除了介紹圖論的基本理論和方法外，重點增加介紹圖論在電子學、信息處理、管理科學、控制理論和計算機科學等方面的應用。并力爭增加圖論與其他數(shù)學分支的相互交叉和相互滲透上做一些介紹。借助于同構概念把圖與群聯(lián)系在一起，增加學科之間的滲透。

2.2.3弱化證明，注重應用分析

圖論來源于實踐又服務于實踐。從這個意義上講我們將在《圖論及其應用》教材中把理論和應用放在重要同等的位置。按照“定義一定理一應用”的編寫模式，每章節(jié)的前一部分是定義和理論部分，緊接著介紹知識的應用部分，主要是應用圖論的知識解決具體的問題。對于專業(yè)性很強的應用，如通信方向、計算機或控制方向的問題，我們在章末給出閱讀指南；對圖論在計算機科學應用方面感興趣的同學可參閱《圖論與算法分析》等等。這樣將使學生在學習中結合自己的專業(yè)有的放矢地學習和討論。另外，弱化定理證明，著重分析圖論算法的思想，重點在于這些圖論算法的程序實現(xiàn)和應用。

2.3網站建設

為了展示圖論課程的相關信息，我們進行圖論及其應用課程的網站建設，建設成適合我校研究生教學的課程網站，試圖通過網站傳遞課程的性質和目的，將授課計劃、考試大綱、應用實例、案例分析等問題在網站上展示出來，同時把很多先關的參考文獻和最新的研究論文放在網站，共同學們下載學習。完善網站內容，把網站建成課程的展示窗口，同時將網站也建成老師與學生的交流平臺。為將該課程建設市級優(yōu)質課程打下基礎。

3結束語

總之，圖論課程的教學改革蘊含著豐富的內容，包括教學思想、教學方法、教學手段、課程建設和網站建設等。對圖論的教學并沒有固定的模式可循，在教學過程中，教師要轉變教學觀念，“以教師為主導、以學生為主體”，因材施教，以提高學生素質為根本宗旨，把握學科教育的本質和目的，以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神、學習能力和實踐能力為重點，采取各種有效手段和措施，充分挖掘學生的創(chuàng)造力和潛力，培養(yǎng)學生嚴謹、認真、規(guī)范的科學態(tài)度，使學生能利用所學的知識和掌握的技能去解決實際問題。

致謝：特別感謝重慶郵電大學研究生教育創(chuàng)新計劃資助項目（No.Y201110）、重慶市研究生教育改革研究項目（No.yjg123103）、重慶市高等教育教學改革研究（No.103161）和重慶市高等教育教學改革研究重點項目（No.1202033）的支持！

參考文獻：

[1]徐俊明.圖論及其應用課程建設探索[J].教育與現(xiàn)代化，1997（2）：41-46.

[2]黃曉學，苗正科.從七橋問題看圖論的本原思想與文化內涵[J].數(shù)學教育學報，2008，17（4）：22-25.

[3]圖論課程教學改革的探索與實踐[J].中國教育創(chuàng)新導刊，2010（26）：53.

[4]謝政，戴麗，陳摯.關于圖論課教學的思考[J].數(shù)學理論與應用，2005，25（4）：139-140.

[5]劉廣軍，劉信生，陳祥恩.對圖論課堂教學的探討[J].周口師范學院學報，2009，26（2）：46-48.

[6]楊朝鳳.基于接受學習與探究學習的圖論教學設計與實踐[J].保山師專學報，2007，26（2）：30-32.