王勇 龔俊峰

⊙襄陽一中一般地，如果[fx]是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數，并且[Fx=fx]，那么[abfxdx=Fb-Fa].這個結論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓—萊布尼茨公式.為了方便，我們常常把[Fb-Fa]記成[Fxba]，即[abfxdx=Fxba=Fb-Fa].

一、對微積分基本定理的解讀

1. 根據定積分的定義求定積分，往往比較困難，而利用上述定理求定積分比較方便.

2. 利用微積分基本定理計算定積分[abfxdx]的關鍵是找到滿足[Fx=fx]的函數[Fx].通常，我們可以運用基本初等函數的求導公式和導數的四則運算法則從反方向上求出[Fx].

3. 在微積分基本定理中，函數[Fx]叫做函數[fx]在區(qū)間[a,b]上的一個原函數.因為[[Fx+c]=Fx]（其中[c]為任意常數），所以[Fx+c]也是函數[fx]的原函數.求導數運算與求原函數運算互為逆運算.

二、微積分基本定理的活用

1. 計算定積分

例1計算定積分：[0π2sin2x2dx].

分析利用定積分的性質及微積分基本定理求定積分時，有時需先化簡，再求積分.

解[0π2sin2x2dx=0π21-cosx2dx]

[=0π212dx-0π2cosx2dx]

[=12xπ20-12sinxπ20=12π2-0-12sinπ2-sin0]

[=π4-12=π-24].

點撥本題先利用降冪公式對被積函數進行降冪后，再利用定積分的性質及微積分基本定理進行計算.

例2計算定積分：[-332x+3+3-2xdx].

分析這類定積分不能直接積分，也不能換元轉化，只能變換被積函數去掉其中的絕對值符號，應用定積分的性質，分區(qū)間討論.

解 設[y=2x+3+3-2x=-4x x≤-32,6-32

[∴-332x+3+3-2xdx]

[=-3-32-4xdx+-32326dx+3234xdx]

[=-2x2-32-3+6x32-32+2x2332]

[=-2×-322--2×-32+6×32]

[-6×-32+2×32-2×322=45.]

點撥對于分段函數的定積分，可利用定積分的性質將其轉化為各個小區(qū)間上的定積分的和.

2. 研究定積分中的參數問題

例3已知[f(x)=ax2+bx+c(a≠0)]，且[f(-1)=2]，[f(0)=0]，[01f(x)dx=-2]，求[a]、[b]、[c]的值.

分析根據三個條件列出三個方程，解方程組即可求出[a]、[b]、[c]的值．

解由[f(-1)=2]得，[a-b+c=2].①

又[f(x)=2ax+b]，∴[f(0)=b=0].②

而[01f(x)dx=01(ax2+bx+c)dx]

[=(13ax3+12bx2+cx)10][=13a+12b+c=-2]．③

聯(lián)立①②③，解得[a=6]，[b=0]，[c=-4]．

點撥本題主要考查函數知識間的聯(lián)系，同時考查了導數、定積分等基本運算能力．解答本題的方法是：根據題設條件，列出方程組，通過解方程組求[a]、[b]、[c]的值．

例4 設[fx=ax+b]，且[-11[fx]2dx=1]，求[fa]的取值范圍.

解析由[-11[fx]2dx=1]可知，

[-11ax+b2dx=-11a2x2+2abx+b2dx]

[=a23x3+abx2+b2x1-1=1].

即[2a2+6b2=3]且[-22≤b≤22].

于是[fa=a2+b=-3b2+b+32=-3b-162][+1912]，結合二次函數的圖象知，[-22≤fa≤1912].

故[fa]的取值范圍為[-22,1912].

點撥先由[-11fx2dx=1]得到[2a2+6b2=3]，再由[2a2+6b2=3]得到[b]的取值范圍，然后轉化為關于[b]的二次函數的值域問題，注意定義域為[-22,22].

3. 求曲邊梯形的面積

例5由曲線[y=x2]和直線[x=0]，[x=1]，[y=t2]，[t∈(0,1)]所圍成圖形（如圖陰影部分）面積的最小值為（ ）

A．[14] B．[13] C．[12] D．[23]

解析[S=S1+S2=0t(t2-x2)dx+t1(x2-t2)dx]

[=(t2x-13x3)t0+(13x3-t2x)1t]

[=t3-13t3+13-t2-13t3+t3]

[=43t3-t2+13(0

由[S=4t2-2t=0]，解得[t=12]或[t=0]（舍去）．

當[t]變化時，[S]、[S]的變化情況如下表：

[[t]&[(0,12)]&[12]&[(12,1)]&[S]&-&[0]&[+]&[S]&↘&極小值[14]&↗&]

∴當[t=12]時，[S]取得極小值[14]，此極小值就是[S]的最小值，[Smin=14]．故選A．

點撥本題利用定積分的幾何意義、定積分的性質和微積分基本定理求出[S=43t3-t2+13(0

例6如圖所示，在一個邊長為1的正方形[AOBC]內，曲線[y=x2]和曲線[y=x]圍成一個葉形圖（如圖中陰影部分），向正方形[AOBC]內隨機投一點（該點落在正方形[AOBC]內任何一點是等可能的），則所投的點落在葉形圖內部的概率是（ ）

A．[12]B．[13]C．[14] D．[16]

解析全部事件的結果構成的區(qū)域面積為[S=1]，陰影部分的面積為[S0=01(x-x2)dx][=(23x32-13x3)10=13]，所以，所投點落在葉形區(qū)域內的概率為[13]．故選B．

點撥本題是定積分與幾何概型的交匯綜合題，題目設計得小巧玲瓏、韻味十足，體現(xiàn)了高考“出活題、考能力”的基本要求．

4. 求變速直線運動的路程

例7一物體做變速直線運動，其[v-t]曲線如圖所示，求該物體在[12s~6s]間的運動路程．

分析由圖可以看出物體在[0≤t<1]時做加速運動，[1≤t<3]時做勻速運動，[3≤t≤6]時也做加速運動，但加速度不同，也就是說[0≤t≤6]時，[v(t)]為一個分段函數，故應分三段求積分才能求出該物體在[12s~6s]間的運動路程．

解析[v(t)=2t?????(0≤t<1),2????(1≤t<3),13t+1??(3≤t≤6).]由變速直線運動的路程公式可得，

[s=126v(t)dt=1212tdt+132dt+36(13t+1)dt]

[=t2112+2t31+(16t2+t)63=494m．]

所以物體在[12s~6s]間的運動路程是[494m]．

點撥用定積分解決變速直線運動的位移與路程問題時，將物理問題轉化為數學問題是關鍵．做變速直線運動的物體所經過的路程[s]，等于其速度函數[v=v(t)(v(t)≥0)]在時間區(qū)間[[a,b]]上的定積分．因此，利用微積分基本定理求出[s=abv(t)dt]．而變速直線運動的速度函數往往是分段函數，故求積分時要利用積分的性質將其分成幾段分別求．

5. 求變力所做的功

例8如圖所示，一物體沿斜面在拉力[F]的作用下由[A]經[B]，[C]運動到[D]，其中[AB=50m]，[BC=40m]，[CD=30m]，變力[F=14x+5?(0≤x≤90),20??(90

分析從[A→B→C]是變力且力的方向與物體的運動方向不一致，故應先求出變力[F]在運動方向上的分力，從[C→D]是恒力且力的方向與物體的運動方向一致．

解析在[AB]段運動時[F]在運動方向上的分力[F1=Fcos30°]，在[BC]段運動時[F]在運動方向上的分力[F2=Fcos45°]．

由變力做功公式得，

[W=050(14x+5)cos30°dx+5090(14x+5)cos45°dx]

[+20×30]

[=38(12x2+20x)500+28(12x2+20x)9050+600]

[=112534+4502+600≈1724J]．

點撥解決這類問題的關鍵應弄清做功的力是恒力還是變力，而且要弄清力與物體的運動方向是否一致．